立体几何大题训练题含答案

1、/ ABC=亨,AB=4, BC=3, CD=后,AD=2 , PA=4.D(1)证明：CD,平面PAD;立体几何大题训练题、解答题(共17题；共150分).如图，在四棱锥 P-ABCD中，PA，平面ABCD,在四边形 ABCD中,(2)求二面角 B-PC-D的余弦值.如图，在四棱锥 F- 将O中，平面ABCD,在四边形中，*乜?。=,， .15 = 4, BC = 3, CD二巴.山二玷，尸44.(1)证明：UDJ平面巴山；(2)求B点到平面PCQ的距离.如图，在四棱锥 户MUD中，底面为长方形，PA1.底面ABCD,尸.二.45 = 4, 8c = 3,石为 尸5的中点，F为线段5c上靠近

2、B点的三等分点.(1)求证：平面 PBC ,(2)求平面与平面 产匚。所成二面角的正弦值.如图，四边形 A3C7?为正方形，瓦F分别为HZ). 3c的中点，以DF为折痕把，口FC折起，使点 到达点尸的位置，且PF工SF.(1)证明：平面 ?石尸_|_平面 FD；(2)求 D产与平面所成角的正弦值.如图，在三角锥 尸一.遂U中，AB=BC= 2。，PH = FB = PC=AC = 4,。为XC的中点.(1)证明：尸0,平面H3C(2)若点山在棱BC,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.如图，在三角锥 尸一一道0中，BC= 2乖,Pd = FE = PC = H = 4。为AC的中点.(1

3、)证明：产。，平面ABC;(2)若点31在棱BC上,且二面角M-FA - C为30 ,求PC与平面尸所成角的正弦值.如图，在四棱锥 P- ABCD中，AB/ CD,且 /BAP=/ CDP=90. ( 12 分)(1)证明：平面 PAB，平面PAD;(2)若 PA=PD=AB=DC /APD=90,求二面角 A- PB- C 的余弦值.如图，长方体 ABCDRiBiCiDi的底面 ABCD是正方形，点 E在棱AAi上，BEX EC.(1)证明：BE，平面ERCi；(2)若AE=AE,求二面角B-EC。的正弦值.如图，直四棱柱 ABCD-AiBiGDi的底面是菱形， AAi=4, AB=2, Z

4、 BAD=60, E, M, N分别是BC,BBi , AiD的中点(i)证明：MN / 平面 CiDE;(2)求二面角A-MAi-N的正弦值。.已知三棱柱,IBC-ACy,底面三角形45匚为正三角形，侧棱底面ABC, 二Z.Li=6,巨为的中点，声为8c中点.(1)求证：直线HF.，/平面BEg,(2)求平面 SEC：和平面所成的锐二面角的余弦值.如图，已知三棱柱 ABC-ABiCi , 平面 A1AC1C，平面 ABC, ZABC=90.Z BAC=30, AiA=AiC=AC, E, F 分别是AC, A1B1的中点(1)证明：EF BC(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.如图

5、，四面体 ABCD中， ABC是正三角形， 4ACD是直角三角形， ZABD=ZCBD, AB=BD.(I )证明：平面 ACDL平面ABC;(n)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE- C的余弦值.如图，四棱锥 P-ABCD中，侧面 PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD, AB=BC=5 AD,/ BAD=Z ABC=90 ； E 是 PD 的中点.(I )证明：直线 CE/平面PAB；(n )点M在PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45。，求二面角M - AB- D的余弦值.如图，已知多面体ABCABiG,A1A,B1B,C

6、1C 均垂直于平面ABC , Z ABC=120 ,AiA=4,CiC=1, AB=BC=B1B=2.3(I )证明：AB1,平面 A1B1C1；(n )求直线AG与平面ABB1所成的角的正弦值.如图所示多面体中， ADL平面PDC,四边形ABCD为平行四边形，点 E, F分别为AD, BP的中点，AD=3, AP= 3PC =厄(1)求证：EF/平面PDq(2)若/ CDP= 120,求二面角E- CP- D的平面角的余弦值.如图，四棱锥 尸.烟匚管中，侧棱 尸X垂直于底面ABCD,1贬=2a1二Am V为尸5的中点，.切平行于5C，平行于面 PCD .尸=(1)求EC的长；(2)求二面角.

7、M - PM- D的余弦值.如图，在斜三棱柱,坊C-J01G中，.Iff J_侧面国51clC BC = 2 ,眄=4 ,二书,(i )求证：平面 山。4平面ABC;(n)若E为CC1：中点，求二面角 一的正切值.又因为CD=行，ad=2 b所以 AC- = AD1 + CLT,即 CQ_L.S,因为PA,平面ABCD, CD C平面ABCD,所以，因为二，所以CD,平面PAD;(2)解：以点D为坐标原点，的延长线为x, DC为y轴,过点D与pa平行线为z轴，建立空间直角坐标系，如图：作 BG X -IPx .9与点 G, sin 匚 DAS = sin( L DAC + / JC)=$in

8、& DJCcos BJC+cos L DJCsin Z JJC答案解析部分一、解答题国.【答案】(1)解：连接 AC,由 /ABC= 5 , AB=4, BC=3,则由百=3,所以P（_2板ZXO, 0, 0),1 I。5 0), B一丁,丁 9=(-2收 R 4), 正=|2收回-4), SC = 设平面PDU的一个法向量为 西二工、马,（Z5P-ffi = 0|-2昌卢%= 0则一，即 L L设平面PCB的一个法向量为 祗=1,y,二）,/=。卜板q+ 4 - 42 = 0祁那公一飞2旧五+By 4z=fl所以二面角B-PC-D的余弦值为.-30【解析】【分析】（1）连接AC,证出CD.4

9、D,利用线面垂直的性质定理可得FM-LCD,再利用线面垂直的判定定理即可证出 .（2）以点D为坐标原点，.工。的延长线为x, DC为y轴，过点D与尸. 平行线为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面FDC的一个法向量与平面 FG5的一个法向量，利用向量的数量积即可求解 .【答案】 （1）解：在平面中，吗,= 则a匚=5,又上）二； 8$ = *,即.4DCD,又2 J 平面 ABCD,则 PACD,又 Pjn.W= J ,CD_L 平面 PAD（2）解：在平面 46c工 中，过A作BC的平行线交CD的延长线于 M,-/二4C =与二上及处=与因为 ABU = 4,4=6.：=4, BC = 3,

10、则（7 = 5,又因为 8 =小，3 = 2小，所以.上，C空. a 1所以1 1- 1怙口mtcc+ ,USA MB&NC皿=Ttr = 2d-I又 3 =2收 则IfD二 和 所以 MC=26，在 附/山中， 二，I； .1-.;一 ,从而得到面 面垂直；(2)DP与平面所成的角就是上尸QH，在三角形中求其正弦值.【答案】(1) PA=PC=AC=4且O是AC的中点PO ACAB=BC=2 J2, AC=4,.齿十3C2= （心/ ABC=90 连接 BO则 OB=OCPO2+bO2=PB2POX OB, POX OCOBn oc=oPOL 平面 ABC(2)过点C作CH OM交OM于点H

11、-11 -又PO,平面 ABCpoch 才一 口工=匚-_OMCPOOJ，CH的长度为点 C到平面POM的距离在 COM 中，CM= , OC=2 / OCM=453一,. - . - I-,-，；:OM=工【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）由线面垂直可得面面垂直，易找点面距，可求.【答案】（1） PA=PC=AC=4且O是AC的中点PO AC- AB=BC=2 叵 AC=4,/ ABC=90 连接 BO则 OB=OCPO2+bO2=PB2PO OB, PO OCOBn oc=oPOL 平面 ABC PO,平面 ABC,PO OBAB=BC=2 0 O 是 AC 的中点OB

12、 AC OB,平面 PAC如图所示以O为坐标原点， 55f为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系O-xyz-12 -则 P (0,0, 2收)A (,0, -2,0) , C (0,2,0) , B (2,0,0)平面PAC法向量为诃=(1,0,0)设M (x, 2-x, 0)平面PAC法向量为 君=(1 ,入，口，JP= (。，2,率),JJ/= (x, 4-x, 0)-U- ?廊=0X +2(4 -工)=0h十四一x)=0即得到，=4，x=-4 (舍)4-3-X1-2-O2-34TrinvMnrSA-PAM的法向量7? = L 一52,耶记PC与平面PAM所成的角为0疝式Q |cOS(PC?

13、或二即PC与平面PAM所成的角为的正弦值为-13 -【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理易得；（2）先由条件建系，找到点M的位置，再用公式求线面角.【答案】（1）证明：Z BAP=Z CDP=90,，PA，AB, PD CD,AB/ CD, .1.ABXPD,又 PAH PD=P 且 PA?平面 PAD, PD?平面 PAD, .AB,平面 PAD,又 AB?平面 PAB,平面PABL平面PAD;（2）解：-. AB/ CD, AB=CD ，四边形ABCD为平行四边形，由（1）知ABL平面PAD,ABXAD,贝U四边形 ABCD为矩形，在4APD中，由PA=PD, /APD=90,可得

14、PAD为等腰直角三角形,设 PA=AB=2a,贝U AD=班才取AD中点O, BC中点E,连接P。OE,以O为坐标原点，分别以 OA、OE、OP所在直线为x、v、z轴建立空间直角坐标系,则：D （,0），B （区曲,0），P（0，0，卧）,C （一隹4，曲田）.丽二（一向用二港=1也Z,一在d 正二（-2亚什,0Q）.设平面PBC的一个法向量为 U =（7 fy /）,in-PB=Q /日由I 一 ，得5-2ciy - Jlaz - 0.，取y=1,得力=（。-2松1=0. AB，平面 PAD, AD?平面 PAD,AB AD,又 PD PA, PAH AB=A,.PDL平面PAB,则 后力为

15、平面PAB的一个法向量，司一臣明。,一卧）.cos=祈=邛=一下由图可知，二面角 A-PB- C为钝角，面角A-PB-C的余弦值为 _【解析】【分析】（1.）由已知可得PAL AB,PD CD,再由AB/CD,彳#AB PD,利用线面垂直的判定可得AB,平面PAD,进一步得到平面 PABL平面PAD；-14 -（2.）由已知可得四边形 ABCD为平行四边形，由（1）知AB，平面PAD,得到ABXAD,则四边形 ABCD为矩形，设PA=AB=2q 则 AD=牵取AD中点O，BC中点E,连接PO OE,以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、v、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的

16、一个法向量，再证明 PD，平面PAB,得 可为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A-PB- C的余弦值.8.【答案】（1）解：由已知得，51GJ平面*155卜4,5EU平面.凶?4，故 2JCj J-2J2T.又BELEC,所以SE_L平面叵目 由（1）知/刃上氏=90 ,由题设知Rr ABE = Rr AE,所以AEB=45 ,故 AE=AB以Q为坐标原点， 目的方向为x轴正方向， 叵可为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则 C(0, 1, 0) , B (1,1,0), Q(0, 1, 2) , E (1, 0, 1) , CE=(l -11), CG

17、=(0,O,2).设平面EBC的法向量为二(x, y, x),则(盘.下二Q1即 lv-y4-z= 0.所以可取=一 1 一 D.设平面EC。】的法向量为司=(x, y, z),则前=0, (2z=ot-一即.A=卜一十三=0-15 -而二a所以，二面角 耳一EC-C的正弦值为 曲.2【解析】【分析】（1）根据题意由线面垂直的性质得出线线垂直，再由线线垂直的判定定理出线面垂直。（2）建立空间直角坐标系，分别求出各个点的坐标以及对应的向量的坐标，构造出法向量n由向量垂直的数量积为零，求出法向量 n,同理求出平面 ECCi的法向量m,则两个平面垂直即为两个法向量垂直，利用数量积的运算公式即可求出两

18、个法向量所成角的余弦值，从而求出该角的正弦值即为二面角 3 EC C的正弦值。E分别为BB卜的中点，所以Afl|8C,且.-I1-29.【答案】（1）解：连结为G“E.因为M , 4万1。.又因为N为ap的中点，所以ND由题设知三DC,可得51cll三JQ,故上田WD，因此四边形 MNDE为平行四边形,AfNllED 又 AFNC 平面 C3,所以 MN/平面 C QE.国0,0： 4）,忘=（-2.00设平面A/aQ的法向量为 彳=（见-16 -lvyjT=o=卜禺7 取K = L得其中一个法向量卜2心-0 易知平面1A上的一个法向量为质=（0仇IT 小,j M 师- . eosv?,而=f

19、=-T siup?,而= -7-.收 1一 八+交 1=0设平面 SEC的法向量为 而=1几）则朴5E = 0,而5C=0,即1，令了广3,则耳=0,勺=1,即访=&m1）,所以 #成=9,故直线dF/平面BEg.（2）解：设平面，方仁的法向量H =(0,0, 11,则 cos 丽 丽曲|1。【解析】【分析】先利用题中的垂直关系建立合适的空间直角坐标系，写出相关点的坐标；（1）求出直线的方向向量和平面的法向量，禾J用两者垂直进行证明；（2）利用两个半平面的法向量的夹角进行求解.【答案】（1）连接A1E ,因为A1A=A1C , E是AC的中点，所以 A1E，AC.-17 -又平面 AiAC。，

20、平面ABC , AiEC 平面AiACC 平面AiACC叶面abc=ac ,所以，AiE,平面 ABC , 则 AiE, BC.又因为 AiF/ AB , Z ABC=90 ,故 BC AiF.所以BC平面AiEF.因此EF BC.（2）取BC中点G , 连接EG , GF ,则egfa是平行四边形.由于AiE,平面ABC , 故AEiEG , 所以平行四边形 EGFA为矩形.由（I）得BC1平面EGFA ,则平面AiBC,平面EGFA , 所以EF在平面AiBC上的射影在直线 AiG上.连接AiG交EF于。，则/EOG是直线EF与平面AiBC所成的角（或其补角）不妨设AC=4,则在RtAiE

21、G中,AiE=2 和,EG= Ji.由于。为AiG的中点，故E0= OG -3-5在门 ,lc EC-OGEG所以 cosZOG= 2OOG =因此，直线EF与平面AiBC所成角的余弦值是 7方法二：连接AiE ,因为AiA=AiC , E是AC的中点，所以 AiEXAC.又平面 AiACG，平面ABC , AiE匚平面AiACC ,平面AiACC 叶面 ABC=AC , 所以，AiE,平面ABC如图，以点E为原点，分别以射线 EC , EA为y , z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E二yz.不妨设AC=4,则Ai （0, 0, 2G , B （瓦1，0）,为他 a 2折，反折，C（0, 2,

22、 0）.因此，6=（专力2目 前=1一框” .由余就=0得EF3C.【解析】【分析】（D根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直，即可得到线线垂直;（2）通过线面垂直，找到直线与平面所成的角，结合余弦定理，求出相应的角即可-i8 -.【答案】(I )证明：如图所示，取 AC的中点O,连接BO, OD. ABC是等边三角形，.OBI AC. ABD与4CBD 中，AB=BD=BC /ABD=/CBD, ABD CBD,AD=CD. ACD是直角三角形，二.AC是斜边，ZADC=90 :DO= = AC.DO2+BO2=AB2=BD2 ./ BOD=90 :OB OD.又 DOH AC=O,，OB，平

23、面 ACD.又OB?平面ABC,平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,.瓦百口 %小.-1.点E是BD的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设AB=2.则 O (0, 0, 0) , A (1, 0, 0) , C ( 1, 0, 0) , D (0, 0, 1) , B (0,二，=(-1,0, 1),=JC= ( - 2, 0, 0).、一r防*而二0 _设平面ADE的法向量为 m=(x, v, z),则一 一 ，即同理可得：平面 ACE的法向量为 可=(0, 1,-19 -面角D- AE-C的余弦值为【解析】【分析】(I )如图所示，取 AC的中点O,连接BO, OD. 4

24、ABC是等边三角形，可得 OBLAC.由 已知可得：ABDCBD, AD=CD. 4ACD是直角三角形，可得 AC是斜边，/ ADC=90 .可得DO=5AC.利用DO2+BO2=AB2=BD2 ,可得OBLOD.利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明.(n )设点D, B到平面ACE的距离分别为hD.根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得D = g = 年 =1,即点E是BD的中点.建立如图所示的空间直角料&始曲坛8E坐标系.设AB=2.利用法向量的夹角公式即可得出.13.【答案】(I )证明：取PA的中点F,连接EF,BF,因为E是PD的中点,所以 EF |4aD, A

25、B=BC= 4 ad, /BAD=/ ABC=90 , . BC/ J AD,.BCEF是平行四边形，可得 CE/ BF, BF?平面PAB, CF?平面PAB, 直线CE/平面PAB；(n )解：四棱锥P ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD, AB=BC=gAD,/ BAD=Z ABC=90 ； E 是 PD 的中点.取AD的中点O, M在底面ABCD上的射影 N在OC上，设 AD=2,则AB=BC=1, OP=和,/ PCO=60 ；直线BM与底面ABCD所成角为45 :可得：BN=MN, CN= BmN, BC=1,可得：1+ BN2=BN2 , BN=二,MN=

26、二 J17-J作NQAB于Q,连接MQ ,所以/ MQN就是二面角 M - AB - D的平面角,面角M-AB-D的余弦值为:-20 -【解析】【分析】(I )取PA的中点F,连接EF,BF,通过证明C日BF,利用直线与平面平行的判定定理证明即可.(II )利用已知条件转化求解 M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M - AB- D的余弦值即可.【答案】解：(I)由第=J皿得皿=4为=2板，所以故由BC = 2,耳跖=工CQ= L 1-L 3G CCj BC得用J =后,由 AB = BC=L Z,45U=120口得C 二 2瓦由CCVAC,得/C1=拒 所以 溺= M 故 皿1

27、5gl.因此平面 二洛汇.(n)如图，过点。作CpXJ,交直线用足于点D,连结.9.小R由，坳，平面*声13得平面4向匚11平面-21 -由_L得平面, 所以CyaD是dC与平面月:所成的角 由5二收工同=2区水71 =而得口/0物1=/向上两三方所以 CQ =百,故 sui CH =二 因此，直线 a。1与平面55：所成的角的正弦值是 叵.【解析】【分析】（I）先证得ABi X Ai Bi , ABiBiCi ,利用直线和平面垂直的判定可得 ABi,平面 AiBiO;（II）建立适当的空间坐标系，求出平面ABBi的法向量，用空间向量求直线与平面的夹角即可得出线面角的大小.【答案】（i）证明：

28、取 P。的中点为.廿，连结DM,:F, M分别为5F、PC的中点，且 FM = BC,又四边形.卅8为平行四边形， EQ18C,且ED二350,.FAZED,且FM=ED,，四边形EEMD是平行四边形，.二 EFDM, 丁 EFU平面 PDC, DM C 平面 FDC,.EF平面 PDC.（2）解：平面PDC,四边形为平行四边形，点石，F分别为！ 3产的中点，.10=3,汨=矩，PC = M CD产=1?0口，. nno _ CD尸了一尸-_ 5*3近）-卓79 _ 1一cosl20 2fteAPD / 一 口，斛得 CD = 2 ,2y介4而-3-如图，以 D为原点，在平面 CDP内过D作D

29、尸的垂线为x轴，DF为轴，DH为轴，建立空间直角坐标系,-22 -则Q3）S（亚 T9，耶1-L 0）Wh o 珈 o,卦设平面CEF的一个法向量 的=（反,3,3二 （f，4, 0）,办=（0, 3,-体巨刑二J7x+4y = 0贝 U 1J ,取 y= 1,= 3y+ （ - 5）z = 0平面CDP的一个法向量 习=（0, 0, 1）,设二面角 E CPi的平面角为 &,则 Csff= = J谊咖 上二二面角E 一 CP 一 口的平面角的余弦值为 2/ .31【解析】【分析】（1）取FC的中点为 M 连结FM, DAf,四边形 EFA/P是平行四边形， EFHDM, EE平面FDU. （2）由余弦定理求出 CD = 2,以D为原点，在平面 CDP内过 Q作 D尸的垂线为、轴， D尸为了轴，刀H为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 E-CP-D的平面角的余弦值.【答案】（1）解：取 尸C的中点E,连接EN、ED,因为E.M平行于BC, *山平行于BC,所以EA平行于MD,所以此此。四点共面，因为平行于面P