立体几何之垂直问题

1、立体几何之垂直问题刊新课标剖析段晨立体几何在近五年北京卷（文）考查 19-24分要求层次内容具体要求ABC高考通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解要求 线、面垂直的垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用性质与判定,数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简1 .若 l、m、A.若 /单的推理论证及应用问题.2009 年2010 年2011 年2012 年2013 年北京（新课标）（新课标）（新课标）（新课标）局考第4题5分第16题14分第5题5分第16题14分第5题5分第16题14分第7题5分第16题14分第8题5分解读第10题5分 第17题14分是不重合的平面，则下列命

2、题中为真命题的是（）n是互不相同的空间直线，,l , n ，贝 U l / n第3讲尖子-目标教师版33B.若 ，l ，则lC.若 l n , m n ,则 l / mD.若 l , l / ，则【解析】D.已知m , n是不同的直线，、 是不同的平面，给出下列命题： ， ，则 / ;若n, n，则 / ；若 n, m且 n / , m / ，则 a/ 3;若m,n为异面直线，n , n /, m , m II ，则 /.则其中正确的命题是 .（把你认为正确的命题序号都填上）【解析】.在正四面体P ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面结论中不.成立的是（）A. BC II 平

3、面 PDFB. DF 平面 PAEC.平面PDF 平面ABCD.平面PAE 平面ABC【解析】C. PA垂直于正方形 ABCD所在平面，连结PB、PC、PD、AC、BD ,则下列垂直关系正确的是 （ ）面PAB 面PBC 面PAB 面PAD面PAB 面PCD 面PAB 面PACA.B.C.D.【解析】ABD ,点E、F分别是AB、BD的中点,.如图，在四面体 ABCD中，CB CD, AD求证：直线 EF II平面ACD ;平面EFC 平面BCD .【解析】 易知中位线EF / AD ,而AD 面ACD , EF 面ACD EF II 平面 ACD . EF II AD , AD BD , ，

4、EF BD又CB CD , F是BD的中点，CF BD . EF AcF F , BD 面 EFC又BD 面BCD ,平面EFC 平面BCD.6.如图所示，4ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面 ABC，且AE AB 2a , CD a , F是BE 的中点.求证：DF /平面 ABC;求证： AF BD .34 第3讲尖子-目标教师版原图：BEDC解析图:EDC【解析】 取AE中点M ,连结DM , FM ,易知FM II AB , . FM II平面ABC .又AE和CD都垂直于平面 ABC , AE II CD , AM II CD1. AM -AE CD , . AMDC 是平行四

5、边形， DM II AC , .DM II 平面 ABC. 2因此平面 DFM II平面ABC . DF 平面 DFM , DF II 平面 ABC . 连结AD ,由AE AB 2a, AE AB, F是BE的中点，可得 AFBE 2缶.由CD AC ,可得AD 类似的DE DB 75a ,于是 DF BD2 BF2 222从而 AF DF AD , 结合AF BE ,有AFCD2 AC2, a2 4a2，5a2 &a而a ,AF DF .平面 BDE , AF BD .3.1线面垂直与面面垂直的证明知识点睛教师备案 本讲重点讲解线、面垂直的关系，例题是按照题目难度区分的，兼顾了线线，线面，

6、面面的位置关系.解决垂直问题的关键是数学中转化思想的应用，将线线垂直问题、 线面垂直问题和面面垂直问题互相转化.若已知线面垂直，则必然可利用此线证明出面内某条线垂直于此线所在的平面，从而找到新的线面垂直.第3讲尖子-目标教师版35线面垂直与面面垂直定八理 ) 推线面垂直线面垂直:点面距离:判定定理:如果一条直线AB和一个平面 相交于点O,并且和这个平面内过 点O的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直.如果一条直线和平面垂直，则线与面的交点叫做垂足，垂线上任 意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段.垂线 段的长度叫做这个点到平面的距离.如果一条直线与平面内的两条相交直线

7、垂直，则这条直线与这个 平面垂直.论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂 直于这个平面.I性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.面面垂直面面垂直：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三W面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直.r趟定判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直.理性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面.考点1:线面垂直的判定、性质及证明教师备案 证明线面垂直的一般思路是证明线线垂直，证明直线和平面内的两条相交直线垂直.除了 题目给出的

8、垂直条件外，几何体本身的一些垂直特性也是解决问题必不可少的.等腰三角 形底边的中点也是经常可以利用的辅助点.主要的判定方法:用判定定理；用判定定理的推论;用面面垂直的性质定理;如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个.【例1】经典精讲如图1,在三棱锥*如图2,在正方体P ABC 中，PB PC, AB AC.求证：PAABCD AB1C1D1 中.求证：BDi 面 ABC.图2【解析】取BC中点D ,连结AD、PD ,36 第3讲尖子-目标教师版. PB PC , D 为中点， . PD BC .同理：AD BC, BC 面 PAD.又PA 面 PAD， BC PA 连

9、结BD ,DD1 底面 ABCD ,又 AC 面 ABCD ,DD1 AC ,又底面ABCD为正方形，AC BD,又 BDPDD1 D , . AC 面 BDD1 .又 BDi 面 BDDi , AC BD1 .同理连结BCi可得BDi BiC .根据线面垂直的判定定理可得BDi面ABC .提高班学案i【拓U如图，已知平行六面体 ABCD ABC Di的底面是菱形,且 AAB AAD 60 ,求证：CC BD .解析图:【解析】二底面ABCD是菱形，BD AC连结BD, AC交于点O ,连结AB , ADAAB AAD 60 ,由 AAD AAB可知,ABD为等腰三角形，又 BO OD,AO

10、BD .又 ACAO O ,BD 面 AAO ,又 AA / CCi ,且 CCi 面 A AO , . CCi BD .N分别为PC、AB【例2】 岛在四B隹P ABCD中，底面ABCD为矩形，PA 底面ABCD , M、 的中点.若 PDA 45 , 求证：MN 面PCD .【追问】设AB T2aD，则PC 面DMN .原图:CA N B法一图：A N B法二图:【解析】法取PD中点Q ,连结AQ , MQ ,则MQ /-CD ;2MQ _lNA , ANMQ是平行四边形；. PA 底面 ABCD,且 CD 面 ABCD, . CD PA;第3讲尖子-目标教师版37又由底面是矩形有 CD

11、AD, CD 面PAD；又 AQ 面 PAD , a AQ CD ;又 PDA 45 , .APD是等腰直角三角形；又 PQ QD , AQ PD ;又 CDPD D , AQ 面 PCD;又 MN / AQ , MN 面 PCD .法二：先完全仿照法一可证明 CD 面PAD ;取 CD 中点 R,连接 MR、NR、PN、NC ;则 MR II PD , NR II AD , 面 MRN II 面 PDA ;CD 面 MRN , MN CD ;PDA 45 , PA AD,又 BC AD , PA BC ,又 AN BN ,且 PAN CBN 90 ,，根据三角形全等可知 PN NC ;又 P

12、M MC , MN PC ;CD APC C , MN 面 PCD .【追问】PDA 45 , PA AD , PD 夜AD又AB /2AD , PD AB CD ,即APCD是等腰三角形. M是PC的中点，DM PC .由例题知 MN PC ,结合MN Cl DM M ,得PC 面DMN .尖子班学案1【拓2】在正方体 ABCD ABiCiDi中，P为DDi的中点，O为底面ABCD的中心.求证：BQ，面PAC .由于 AC BD ,且 AC BBi ,AC 面 BDD1B1 ,且 B1O面 BDD1B1,AB法二图：ABBi Di缶.3 2 -a2BO连结 PB ,设 AB a ,则 ABi

13、 CBi 2 21 OBi2 OB2 BBi2a a222 TOC o 1-5 h z 222i29 2PBi2PD；BiDi2-a缶a2,2438 第3讲尖子-目标教师版 TOC o 1-5 h z 222123 2OP2PD2DO2-aaa2.224OB12 OP2 PB12.BiO OP,又 POAC O,1 BO 平面 PAC .（法二）由于 AC BD ,且 AC BBi ,AC 面 BDD1B1 ,且 BQ 面 BDD1B1 BO AC ,取 CD 中点 Q ,连结 QCi , OQ ,则 OQ / BG 在正方形CCiDiD中，由P、Q分别为DDCD的中点， 可知 CP CiQ

14、,又 CP BCi ,且 CiQBCi G ,CP 面 BiGQO，又 BiO 面 BiCiQO ,CP BQ, . BO 面 PAC .考点2:面面垂直的判定、性质及证明教师备案 面面垂直的证明一般都先证明线线垂直，进而线面垂直，最后达到面面垂直的目的.反过 来由面面垂直的性质又可以得到线面垂直.经典精讲【例3】 如图，设平面 A EF , AB , CD，垂足分别为 B D ,且AB CD ,如果增加一个条件就能推出 BD EF ,给出四个条件： AC ;AC EF ;AC与BD在 内的正投影在同一条直线上；AC与BD在平面 内的正投影所在直线交于一点.那么这个条件不可能是（ ）A . B

15、.C.D.【解析】D;提高班学案2BiC A B.证明：平面 ABiC 平面A BCi.【铺1】如图，棱柱 ABC ABiG的侧面BCGB1是菱形,【解析】因为侧面BCCiB是菱形，所以BC BCi.又已知 BC AB,且 ABflBC B ,第3讲尖子-目标教师版39所以BC 平面ABC .又BC 平面AB1C , 所以平面ABC 平面ABG.【例4】 在在四B隹S ABCD中，底面ABCD是正方形，SA 底面ABCD , SA 中点，AN SC,且交SC于点N ,证明：平面 SAC 平面AMN .SMD J C BAB ,点M是SD的【解析】 SA 底面ABCD , CD 平面ABCD ,

16、. SA CD ;又CD AD, SA 平面 SAD, AD 平面 SAD, SAf! AD A,CD 平面SAD.AM 平面 SAD, . CD AM .又SA AD AB, M是SD的中点, .AM SD ;SD 平面 SCD, CD 平面 SCD, SdAcD D, .AM 平面 SCD.SC 平面 SCD, . AM SC.又AN SC, AM、AN 平面 AMN , AM A AN A, . SC 平面AMN ,又 SC 平面SAC, ，平面SAC平面AMN .尖子班学案2【拓2】如图，已知 ABCD中，BCD 90 , BC CD 1, AB分别是AC、AD上的动点，且纯处01 .

17、AC AD 求证：不论 为何值，总有平面 BEF 平面ABC;当为何值时，平面BEF 平面ACD ?【解析】.ABCD.EF平面 BCD , AB CD .BC ,且 AB ABC B , . CDAF . ，故 EF / CD .AD平面ABC .平面ABC .平面BCD ,又EF 平面BEF,，不论 为何值，总有平面 BEF 平面ABC .由知，BE EF ,又平面BEF 平面ACD , BE 平面 ACD , BE AC .40 第3讲尖子-目标教师版BCD 90 , BC CD 1 , ADB 60.BD 拒，AB 亚tan60 娓,AC vAB2BC2 #7 .AE AC ,解得 A

18、E由射影定理AB2AE 6, .AC 76 .因此 时，平面BEF 平面ACD .目标班学案1 PAD【拓3】如图，四边形ABCD是面积为2万 的菱形， DAB为菱形的锐角，P是平面外的一点, 是边长为2的正三角形，平面 PAD，平面ABCD , M是PC的中点.求证：PB AD ;求证：平面 ADM，平面PBC .原图：AB解析图：AB【解析】 DAB为菱形的锐角，过 B作BE，AD交AD于E ,则 Sabcd ad BE 273,又 AD 2 , BE J3 ,在 RD ABE 中，AB 2 , BE 出，则 AE 1 1AD ,2E是等边 APAD边AD的中点，PE，AD;又 BE n

19、PE E ,，AD，面 PBE,且 PB 面 PBE , PB AD . 取PB中点N ,连结 MN、AN ,则MN C CB / AD . AN 面 ADMN，即 AN 面 ADM APAD是正三角形，且底面 ABCD是菱形，4ABP为等腰三角形, PB AN ,且由知 PB AD ,PB，面 ADMN，且 PB 面 PBC ,，平面ADM，平面PBC .考点3:线、面垂直综合教师备案 直线、平面的平行、垂直关系的判定和性质是高考的重点，尤其是以多面体和旋转体为载 体的线面位置关系的证明，几乎是必考的内容，难度上以中等题为主.经典精讲提高班学案3第3讲尖子-目标教师版41【铺11（2011江

20、苏16）如图，在四B隹P ABCD中，平面PAD，平面ABCD , AB AD , BAD 60 , E、F分别是AP、AD的中点.求证： 直线 EF II平面 PCD ； 平面BEF 平面 PAD -PD【例5】 直三棱柱 ABC ABQ 中， C1AB1 90 , AC1 AB BB1 , M、 中点.*求证：MN /平面ABB1A ；*求证：MN 平面ACB1 .MN面 ABB1A，且 AB面 ABB1A ,MN II 面 ABB1A .一一，一 ，、第.1谡图一.，【解析】因为E、F分别是AP、AD的中点，EF / PD ,又P , D 面 PCD, E 面 PCD , 直线EF II

21、平面PCD . AB AD , BAD 60 , F 是 AD 的中点，BF AD ,又平面PAD 平面 ABCD, 面 PAD n 面 ABCD AD , BF 面PAD ,所以平面 BEF 平面PAD .N分别是AG、B1C的【解析】连结AB , AB , BG ,由M , N分别是AC1 , BC1的中点，MN / AB ,.三棱柱ABC ABG中，侧棱与底面垂直,，四边形 ABB1A是正方形，AB AB1 ,MN AB1 ,连结 BN , CM , MC1 A1M1, C1C A1B1 ,RtAMC1C RtAMA1B1 .CM B1M ,又N为B1C的中点，MN B1C , B1Cn

22、AB1 BMN 面 ACB1.（当然也可以由CA 面ABB1A1得到CA A1B,从而CA MN ）尖子班学案342第3讲尖子-目标教师版E分别【拓2】（2010年朝阳一模文17）如图，在三棱柱 ABC AB1C1中，每个侧面均为正方形，D ,为侧棱 AB, CC1的中点， AB,与AB的交点为O .求证：CD /面ABE ；解析图:求证：ABi 平面AEB.【解析】 连接OD , OE ,因为O为AR的中点，D为AB的中点，1所以OD / BBi,且OD 1BBi,又E是Cg中点,21贝U EC II BB1 且 EC -BB1 ,2. EC / OD 且 EC OD .四边形ECDO为平行

23、四边形，EO / CD .又CD 平面ABE , EO 平面ABE ,则CD II平面A1BE .因为三棱柱各侧面都是正方形，BB1 AB, BB1 BC ,BB1 平面 ABC .CD 平面 ABC ,所以 BB CD .由已知得 AB BC AC , CD AB .CD 平面 AABB1由可知 EO / CD , EO 平面 A1ABB1 . . EO AB1 .;侧面是正方形，所以 AB A B .又 EOA1B O,EO 平面 AEB, AB 平面 A1EB .AB1 平面 ABE .目标班学案2【拓3】如图，四边形 ABCD为矩形，BC 平面ABE, F为CE上的点，且BF 平面AC

24、E .求证：AE BE ; 设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点.求证：MN II平面DAE .原图：E解析图：E【解析】 因为BC 平面ABE, AE 平面ABE,所以AE BC ,第3讲尖子-目标教师版43又BF 平面ACE , AE 平面 ACE,所以 AE BF ,又BF Cl BC B ,所以AE 平面BCE ,又BE 平面BCE ,所以AE BE .取DE的中点P ,连结PA , PN .丁点N为线段CE的中点，所以 PN / DC ,且PN 1DC , 2又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，1所以 AM / DC ,且 AM -DC , 2所以PN / AM ,

25、且PN AM ,故四边形AMNP是平行四边形，所以 MN II AP ,而AP 平面DAE , MN 平面DAE ,所以MN II平面DAE 整业3.2立体几何垂直的探索性问题考点4:垂直的存在性问题教师备案 存在性问题是立体几何问题中的难点，需要对空间线、面位置关系的定理和性质了然于胸,进行不断的猜测和尝试，由命题成立的必要条件探索充分条件，最后进行论证.存在性问 题能很好的考察立体几何的素养，空间想象和感知能力.当然，学过空间向量后，几何问 题代数化，这类问题的难度会下降一个档次.经典精讲【例6】 馥（2012年浙江理）已知矩形 ABCD, AB 1 , BC 盘.将4ABD沿矩形的对角线

26、 BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A.存在某个位置，使得直线 AC与直线BD垂直B.存在某个位置，使得直线 AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线 AD与直线BC垂直D.对任意位置，三对直线AC与BD ， AB与CD ， AD与BC ”均不垂直【追问】是否存在某个位置，使得直线AB与直线AC垂直?【解析】B.存在.BAC在翻折过程中，经历了锐角到钝角的变化，故存在一个位置，使得BAC为直角，即直线AB与AC垂直.【点评】折叠问题是立体几何中的一个难点，要注意折叠前后哪些量发生了变化，哪些没有，位于折44第3讲尖子-目标教师版叠线同侧与异侧的元素间的位置关系是否变化，这是解决问题的

27、关键.【例7】 如图，在四棱锥p ABCD中，PD 底面ABCD, ABCD为正方形，PD DC, F是PB的 1|应求证：PA FC ;瞿在平面PAD内是否存在一点 G ,使GF 平面PCB ?并证明你的结论.【解析】 取PA中点K ,连结KC , KF ,由已知有 PA PC AC ,则CK PA,由 PD 面 ABCD ,且 AB 面 ABCD, PD AB ,又 AB AD , AB PD , AB 面 PAD又K, F分别为PA,PB的中点，FK / AB ,FK PA,由 FK Ack K , PA 面 CFK , PA FC设G为AD中点，连结 FG ,取PC中点E ,连结EF

28、, ED ,由PD 面ABCD,又底面为正方形，有 BC 面PCD ,BC DE ,又PD DC ,且点E为PC中点，则 DE PC ,DE 面 PBCFG / DE , FG 面 PCB即点G为AD的中点时满足题意.目标班学案3第3讲尖子-目标教师版45【拓3】如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为正方形，PD 平面ABCD,且PD AB, E是 PB的中点.在平面 PAD内求一点F ,使得EF 平面PBC .原图:【解析】法设F为AD的中点， AC, BD交点为H,连接EF、HF、EH、PF .H、F分别为BD、AD的中点，HF / AB,故 HF BC ,又 EH BC , B

29、C 平面 EFH ,因此 BC EF .2225 22225 2设 PD AB a ,贝U PF PD DF a , BF AB AF -a , 44E 为 PB 的中点，EF PB . EF 平面 PBC ,即点F为AD的中点时满足题意.法二：设F为AD的中点，取 BC中点M ,连结EM , FM ,由PD 面ABCD,且底面为正方形，有 BC 面PCD ,BC PC.点E, M分别为PB, BC的中点，则 EM /PC,BC EM ,且 BC FM ,BC EF .取PC中点G ,连结DG , EG ,有平行四边形 DGEF ,，EF / DG ,在等腰直角三角形 PDC中，G为PC中点，

30、DG PC , EF PC .EF PC,又 EF BC,且 BCPC C, EF 面 PBC .华山论剑筝形”是指两组邻边分别相等的平面四边形.如下左图，在平面内的 筝形” ABCD中，AB AD, BC CD.现将构成 筝形”的两个等腰三角形 4ABD和4CBD沿BD分别向上折 起构成 空间筝形”（如下右图），设A、C在 内的投影分别为 A、C1，且A1、C1分别位于BD的两侧. 求证： 空间筝形” ABCD的对角线AC与BD互相垂直;若折起的 空间筝形ABCD满足AC II ，且SIabdS2cbdSA1BC1D ,证明此时有平面ABD 平面 BCD .【解析】取BD的中点M ,连结AM

31、 , MC ,由 AB AD 知，AM BD ;46 第3讲尖子-目标教师版同理，CM BD ,又AM , CM 平面 ACM ,AM）CM M , BD 平面 ACM .AC 平面 ACM , BD AC . TOC o 1-5 h z AC II ,平面 ACC1A nAC1 ,.AC / ACi , AC ACi.由知，AC BD , A1C1 BD .11Saabd AM BD，Sacbd CM BD，SaBC1 d 22222222由 Sa abd Sa CBD Sabcd 得，AM CMAC1AC1BD ，故4AMC为直角三角形，又 AM BD , BD, CMAM MC .AM

32、平面 BCD, AM平面ABD ,，平面ABD 平面BCD .实战演练【演练1】已知m, n是两条不同直线, A.若 ， ，则是三个不同平面，下列命题中正确的为B.若 m , n ，则 m / nC.若 m /, n / ，则 m / nD.若 m /, m/ ，则 /【解析】B;【演练2】如图，正方形 ABCD所在平面与三角形 求证：AB 平面ADE .【解析】AE 平面CDE , CD 平面CDE , AE CD .在正方形ABCD中，CD AD , ADAaE a , CD 平面 ADE .AB II CD ， AB 平面 ADE .CDE所在平面相交于CD, AE 平面 CDE .【演

33、练3】在长方体 ABCD AB1C1D1中，点E , F分别在AA, 求证：BD1 面耳5 .【解析】 由AD 面ABB1A得AD1 RE；又 RE AB ,B1E 面 ABD1 ；be BD1 ；同理，由C1D1面BCCB1可得C1D1 BF ,又 BF BC1 ,BF 面 BC1D1 ；BF BR ；CC1 上且 RE A B , B1 F BC1,第3讲尖子-目标教师版47平面 BCD , BDflCM M ,BD1 面 B1EF .【演练4】如图，四棱锥P且 MN PC , MN求证：平面PADPABCD的底面ABCD是平行四边形, AB .平面PDC .N分别是AB、PC的中点,原图：【解析】由MN又MNMNNCA M B,D .解析图:AB ,且 AB / CD ,有 MNPC, PC 平面 PDC , CD 平面PDC .PCA M B平面PDC ,且PC】CD取PD的中点K ,连结由N为PC中点有NK/ CD / AB , NKi -AB 2MN II AK , AK面 PCD.又AK 面PAD ,面 PAD 面 PCD .【演练