空间几何体的外接球与内切球问题精讲

1、空间几何体的外接球与内切球问题精讲类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2 =a2+b2+c2 ,即2R = Ja2 +b2 +c2 ,求出R图4例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为A 16兀B . 20nC . 24兀4,体积为16,则这个球的表面积是（D . 32n（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3 ,则其外接球的表面积是解：(1) V =a2h =16, a=2, 4R2 =a2+a2+h2 =4+4+16 =24 , S = 24n，选 C； 4R2 =3 3 3 =9, S=4：R2=

2、9：（3）在正三棱锥S - ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且 AM _L MN ,若侧棱SA= 2M ,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积是36 二(3)题-1(3)题-2解：引理：正三棱锥的对棱互垂直 。证明如下: 如图（3） -1 ,取AB, BC的中点D,E ,连接AE,CD , AE,CD交于H ,连接SH ,则H是底面正三角形 ABC 的中心，, SH _L 平面 ABC ,二 SH .L AB ,; AC=BC, AD=BD,二 CD _L AB,二 AB _L平面 SCD ,AB _L SC ,同理：BC1SA, AC .L SB,即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图(

3、3)-2, AM _ MN , SB/MN ,二 AM _LSB, 丁 AC1SB, a SB_L平面 SAC,SB _ SA, SB_ SC, SB _SA, BC _ SA,SA，平面 SBC,二 SA! SC,故三棱锥S - ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，A (2R)2 =(273)2 +(2J)2 +(23)2 =36 ,即 4R2 =36 ,，正三棱锥S-ABC外接球的表面积是 36n(4)在四面体S ABC中，SA _L平面ABC, /BAC =120 ：SA= AC = 2, AB = 1,则该四面体的外接球的表面积为(D ) A.11nB.7n10C.二36、4、40D.二3

4、3,那么它的外接球的表面积是(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为(6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为 何体外接球的体积为1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几解析：(4)在 AABC中，BC2 = AC2 + AB2 -2AB BC cos120=7 ,。 BC .7BC = J7 , AABC的外接球直径为 TOC o 1-5 h z 2r 二二sin. BAC3万222.(2R)2=(2r)2 SA2(5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为a,b, c ( a, b,cw R*),则ab -12 22222%c =8 ，, abc = 24, ，a=

5、3, b=4, c = 2 , (2r) =a +b +c =29, S = 4nR = 29n ,ac = 6 NR)-2 cR2=3,c 3R =24 3 43.3.3V 二一 R =一-二：，3382类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1 .题设：如图5, PA_L平面ABC解题步骤：第一步：将AABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直 径AD，连接PD ,则PD必过球心O ;第二步：O1为AABC的外心，所以OO1 _L平面ABC ,算出小圆。的半径O1D=r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得a = = c = 2r), OO1 =1 PA ；sin A

6、 sin B sin C2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 =PA2+(2r)2u 2R = v PA2 + (2r)2 ； R2 =r2 OO12 = R = Jr2 OO12Oi图6图82.题设：如图6, 7, 8, P的射影是AABC的外心u 三棱锥PABC的底面 MBC在圆锥的底上，顶点三棱锥P ABC的三条侧棱相等P点也是圆锥的顶点解题步骤:第一步：确定球心 。的位置，取ABC的外心Oi,则P,O,Oi三点共线;第二步:先算出小圆 O1的半径AO1 = r ,再算出棱锥的高 PO1 =h （也是圆锥的高）第三步:勾股定理： OA2 =O1A2 +O1O2 = R2

7、 =(h R)2 + r2 ,解出 R方法二:小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为()CA.B. 2 二C.16 二D .以上都不对解:选 C, ( 3 -R)2 1 = R2, 3-2 3R R2 1 =R2, 4-2.3R = 0,16=Ji3类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）.题设：如图9-1 ,平面PAC _L平面ABC，且AB_L BC (即AC为小圆的直径)第一步：易知球心 O必是APAC的外心，即APAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC = 2r ;第二步：在 APAC中，可根据正弦定理 a=b=2R,求出Rsin A sin

8、 B sin C.如图9-2 ,平面PAC _L平面ABC ,且AB_L BC (即AC为小圆的直径)OC2 =O1c2 0102 M R2 = r2 0102 M AC =2 R2 -O1O2.如图9-3 ,平面PAC _L平面ABC ,且AB _L BC (即AC为小圆的直径)，且P的射影是AABC的外 心二 三棱锥P-ABC的三条侧棱相等 二三棱P-ABC的底面 MBC在圆锥的底上，顶点 P点也是圆 锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心 O的位置，取AABC的外心O1,则P,O,O1三点共线；第二步：先算出小圆 O1的半径AO1 = r ,再算出棱锥的高 PO1=h (也是圆锥的高)；第三

9、步：勾股定理：OA2 =O1A2 +O1O2 = R2 =(h R)2 + r2 ,解出 R.如图9-3 ,平面PAC _L平面ABC ,且AB _L BC (即AC为小圆的直径)，且PA_L AC ,则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 =PA2+(2r)2u 2R= JPA2 + (2r)2 ； R2 =r2 0012 M R = r2 OO12例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为2，3,则该球的表面积为 c(2)正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为 J2 ,各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为_解：(1)由正弦定理或找球心都可得 2R

10、 = 7, S=4nR2=49冗，4 二(2)方法一：找球心的位置，易知r =1 , h =1, h =r ,故球心在正方形的中心 ABCD处，R = 1,V=3方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是ASAC的外接圆，此处特殊，RHSAC的斜边是球半径，4 二2R=2, R=1 , V =3(3)在三麴隹P - ABC中，PA = PB = PC = 3，侧棱PA与底面ABC所成的角为60二，则该三棱锥外接球的体积为（A.二JTB.3C. 4 二D.解：选D,圆锥A, B,C在以r的圆上,R=1（4）已知三棱锥 S - ABC的所有顶点都在球 径，且SC = 2 ,则此棱锥的体积为（）O的求

11、面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直AA.B 3B.6D.解：OO1 = R2 -r2 =1-( 3)23g, h迎vSh3333 43类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图 10-1图 10-2图 10-3题设：如图10-1 ,图10-2 ,图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以 是任意三角形） 第一步：确定球心 O的位置，O1是AABC的外心，则OO1_L平面ABC； TOC o 1-5 h z 11 .第一步：算出小圆 O1的半径AO1=r, OO1AA1 =-h （ AA1 = h也是圆枉的局）；22第三步：勾股定理： OA2

12、 =OiA2+0102n R2 =（-）2+r2= R = Jr2+（与2 ,解出R22例4 （1） 一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,9且该六棱柱的体积为9,底面周长为3,则这个球的体积为 8解：设正六边形边长为 a,正六棱柱的高为 h,底面外接圆的关径为 r , TOC o 1-5 h z 31 23.33.39, c底面积为 S = 6 (1) =, V柱=Sh =h =,二 h = V3 ,42888_4 二R=1,球的体积为V =3AB = AC = AAi = 2 , /BAC =120,则此（2）直三棱柱 ABC - A BiCi

13、的各顶点都在同一球面上，若球的表面积等于 12 -. 3解：BC=2、；3, 2r =-一：=4, r =2 , R = J5, S = 2E sin 120（3）已知AEAB所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA = EB =3, AD =2,NAEB =601则多面体 EABCD 的外接球的表面积为。 16兀解析：折叠型，法一：AEAB的外接圆半径为r1 =於,001=1, TOC o 1-5 h z 八 .3八 ,13231301 M = , r2 = 02D = , R = , = 4, R = 2, S = 16二2244（4）在直三棱柱 ABCAB1cl中，AB =4,

14、 AC =6, A =二，AA1 =4则直三棱柱 ABC A1B1cl的外接球3的表面积为。n3。2.7 4.72r= .3 = 3， 21解析：BC =16 36 -2 4 6 =28, BC=2.7,2160S 二-32840 4 二 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 33类型五、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠 （如图11）图11第一步：先画出如图所示的图形，将 ABCD画在小圆上，找出 ABCD和AABD的外心H/口 H2;第二步：过H/口 H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O,连接

15、OE,OC ；2.22第二步：解 2EHi,算出OHi,在RtAOCH1中，勾股定理： OHi +CHi =OC例5三棱锥P - ABC中，平面PAC _L平面ABC ,锥P-ABC外接球的半径为 . PAC和 ABC均为边长为2的正三角形，则三棱2421斛析： 2 r1 = 2也 = = , r =2 = 尸, 02 H = 尸sin 6033，3_ 2_22R2 QH2ri2 TOC o 1-5 h z 1 4 5- .15=一+ = , R=3 3 33、， 一 1 一 1.法二：02H, 01H, AH =1,.3. 3_ 2_22 _ 2 _2 5 _ - 15R2 =A02 = A

16、H 2 01H 2 0Q2 =, R =- HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 33类型六、对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径(AB =CD , AD = BC , AC = BD ) 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为 a,b,c, AD=BC=x, AB = CD = y, AC = BD = z，列方程组,L 2ab2b2 c2 a22二X2 222 2=y2= (2R)2 =a2 b2 c2补充：Va_bcd,1 .1 ,=abc

17、- -abc 4 = abc第三步：根据墙角模型,图122222 X y zR 二8222x y z,求出R,8例如，正四面体的外接球半径可用此法。例6 (1)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一题个截面如图，则图中三角形 (正四面体的截面)的面积是(2) 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是()A.也B .近 C . D .近43412解：(1)截面为APC01,面积是，2 ；(2)高h =R=1,底面外接圆的半径为 R = 1,直径为2R = 2,(1)题解答图a设底面边长为 a ,则2R =： =

18、 2 ,sin 60 1.3三梭锥的体积为V = - Sh =(3)在三棱锥A BCD中,AB =CD =2,AD = BC =3,AC = BD =4,则三棱锥 ABCD外接球的表面积为290 JI2解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为a, b, c ,则a2 + b2 = 9 ,b2222_222_c =4, c a =16. 2(a b c )=9 4 16 =29,_222_2(a b c ) =9 4 16 = 29 ,.22b c29 32 29小 29,4 R = , S =.222(4)如图所示三棱锥 A-BCD ,其中AB =CD =5, AC = BD=6,AD = BC = 7,则该三棱锥外接球的表面积为.解析：同上，设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c,_ . 2. 22._ _一一 一 . . _2. 22_ _2_ _2（abc）=253649 =110,