广西桂林市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

1、详解】等差数列an 中,a1 a2 6,a2 a3 8 ,由通项公式可得桂林市 20192020 学年度上学期期未质量检测高二年级数学（理科）一、选择题：1. 下列各点中，在二元一次不等式 x y 1 0 所表示的平面区域内的是（）A. 0,0 B. 0,1 C. 0,2 D. 2,0【答案】 C【解析】【分析】根据二元一次不等式 ,代入各个点的坐标 ,即可判断是否在不等式表示的平面区域内.【详解】 对于 A,将 0,0 代入不等式 x y 1 0可得1 0不成立 ,所以 0,0 不在不等式 x y 1 0所表示的平面区域内 ,所以 A 错误 ;对于 B, 将 0,1 代入不等式0 可得 00

2、不成立 ,所以0,1 不在不等式 x y1 0 所表示的平面区域内 ,所以 B 错误 ;对于 C,将 0,2 代入不等式0 可得 10成立 ,所以0,2 在不等式 x y 10所表示的平面区域内,所以 C 正确;对于 D,将 2,0 代入不等式0可得30 不成立 , 所以2,0 不在不等式 x y1 0 所表示的平面区域内 ,所以 D 错误 ;综上可知 ,C 表示的点在不等式1 0 表示的区域内故选 :C,属于基础题 .点睛】本题考查了二元一次不等式表示的平面区域与点的关系2.等差数列 an 中， a1 a2 6， a2 a3 8 ，则 an 的公差为（A. 0B. 1C. 2D. 3答案】

3、B 【解析】【分析】根据等差数列性质可得方程组 ,求得公差 .a1 a1 d 6a1 d a1 2d 8解得 d 1故选 :B【点睛】本题考查了等差数列通项公式的简单计算,属于基础题3.若 x y， a R ，则下列不等式正确的是（）A. x a y aB. a x a yC. ax ayaa D.xy【答案】 A【解析】【分析】 根据不等式性质 ,可判断四个选项即可 .【详解】 x y,a R对于 A,由不等式性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或式子,不等式成立” ,可知 A 正确 ;对于 B,若 x y,则 x y ,则a x a y成立,所以 B错误;对于 C,若 x y,当 a 0

4、时,ax ay;当a 0时 ax ay,所以 C错误;对于 D,若 x y,当a 0时不等式不成立 ,所以 D 错误.综上可知 ,正确的为 A故选 :A【点睛】本题考查了根据不等式性质判断不等式是否成立,属于基础题 .4.命题p：xR2，x2xA.x0R，2x02x010B.xR，2 x2x 10C.x0R，2x02x010D.xR，2 x2x 10答案】C1 0 ，则 p 为（解析】分析】 根据含有量词命题的否定 ,可得结果 .【详解】命题 p： x R , x2 2x 1 02由全称命题的否定可知 , p 为 x0 R ,x02 2x0 1 0 故选 :C【点睛】本题考查了全称命题的否定

5、,属于基础题 .5.命题“若x 1 ，则x2 2 ”的否命题是（）A. “若 x22 ，则 x1”2 B. “若 x1，则 x1”C. “若 x1 ，则 x22”D. “若 x1 ，则 x22”【答案】 D【解析】【分析】 根据否命题的定义 ,可得选项 .【详解】命题 “若 x 1,则 x2 2 ” 根据否命题定义 ,可知其否命题为 : 若“ x 1,则 x2 2 ” 故选 :D【点睛】本题考查了命题及其否命题的写法,属于基础题 .6.抛物线 y2 4x 上一点 P到其焦点的距离为 5则点 P的横坐标为（ ）A. 2B. 3 C. 4 D. 5【答案】 C【解析】【分析】 根据抛物线定义 ,即

6、可求得点 P 的横坐标 .详解】抛物线 y2 4x则准线方程因为 P 到其焦点的距离为 5,则到其准线的距离也为 5 所以 P 点的横坐标为 4 故选 :C点睛】本题考查了抛物线的定义及简单应用,属于基础题 .7.“x1是 x2 1 ”成立的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案】 A解析】因为 x 1，必要 x2 1 ，若 x2 1 ，则 x1 或 x 1 ，即x1不一定成立，所以x 1是 x2 1 ”成立的充分不必要条件 ，故选 A.8.已知 VABC 的三边长成公比为 2 的等比数列，则其最大角的余弦值为（ ）A.B.C. 23D.答

7、案】 A解析】 根据题意设三角形的三边长分别为 a ） 2a）2a） 2a 2a a ）D. -2 2a 所对的角为最大角，设为）则根据余弦定理得cosa2 ( 2a)2 (2a)22)42 a 2a本题选择 A 选项.xy19.若 x， y 满足xy1，则 z x 2 y的最大值是（）x0A. 1B. -1C. 2答案】 C 【解析】【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线在y 轴上的截距最小值即可【详解】 解：画出可行域（如图） ，11zx 2y? yx z，22由图可知，当直线 l 经过点 A（0，1）时， z最大，且最大值为 zmax 0 2（ 1）2故选

8、C 【点睛】 本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题S7 10.设公差不为零的等差数列 an 的前 n项和为 Sn，若 a4 2 a2 a3 ，则 7 等于（ ）S47 14A. B. C. 7 D. 1445【答案】 C【解析】【分析】根 据 等 差数列性 质 ,a2 a3a1a4 . 结 合 等差 数 列 前 n 项 和 公 式 可 得S7 7a4 ,S4a1a2a3 a42 a1a4,即可代入求值 .【详解】公差不为零的等差数列an 中,a4 2 a2 a3由等差数列性质可知 a2 a3 a1 a45则 a4 2 a1 a4由等差数列前n

9、 项和公式可知 S7 7a4,S4 a1 a2a3 a4 2 a1a4 ,所以 S77a4S4 2 a1 a47 2 a1 a42 a1 a4故选 :C点睛】本题考查了等差数列的性质应用,等差数列前n 项和公式的应用,属于基础题 .11. 已知抛物线 C：2px的焦点为 F，不过 F 的直线与C 的交点为 A，B，与 C 的准线的交点为 D 若 BF2，BDF与 ADF的面积之比为4 ，则 AF55A.2B.C. 3D. 32答案】 A解析】分析】根据题意画出图形,结合4DB4ADF 的面积之比为 ,可得.由抛物线定义即可求得AF5DA5BDF 与,画出抛物线如下图所示详解】根据题意由抛物线定

10、义可知 , BFN,过 B 作 BM 垂直于准线并交准线于M.2,则 BM4 因为 BDF 与 ADF 的面积之比为DBBFDA所以在DBM 与 DAN 中 , DB BM 4DA AN 5由 BM2,代入可得 AN 52根据抛物线定义可得 AF AN故选 :A点睛】本题考查了抛物线定义的简单应用,直线与抛物线的位置关系应用，抛物线到准线距离比的关系,属于中档题 .2212.第一象限内的点 P 在双曲线 x2 y2a2 b21（ a 0， b 0）的一条渐近线 l1y b x 上， F1 、 F2 为双 a曲线的左、右焦点，PF1 PF2， PF2 平行于另一条渐近线 l2，则双曲线的离心率是

11、（A. 52【答案】 BB. 2C. 5D. 3解析】分析】c由 P在渐近线 l1上可设出 P点坐标 .结合 PF2平行于另一条渐近线 l2可求得 m c2,代入求得 P点坐标 .再根据 PF1 PF2,结合两点间斜率公式及垂直直线的斜率关系即可求得离心率【详解】根据题意 ,画出几何图形如下图所示 :因为 P 在渐近线 l1: y b x 上,设 P m,bmaaF1、 F2为双曲线的左、右焦点 ,所以 F1 c,0 ,F2 c,0由 PF2 平行于另一条渐近线 l2bm则 kPF2amcb ,化简可得 m c2所以 Pc ,bc2,2a因为 PF1 PF2则 kPF1 kPF2bc所以 2a

12、cc21,化简可得 b23a2在双曲线中满足b2所以 c2 4a24a2故选 :B点睛】本题考查了双曲线性质的简单应用,渐近线方程的应用 ,两点间斜率公式及垂直直线的斜率关系,属于中档题 .、填空题：本大题共 4 小题13.若三个正数 1，b，16 成等比数列，则 b 【答案】 4【解析】【分析】 根据等比中项定义 ,可求得 b 的值.【详解】三个正数 1,b,16 成等比数列由等比中项定义可得 b2 1 16解得 b 4由题正数 b 4故答案为 : 4点睛】本题考查了等比中项的性质及简单应用,属于基础题314. ABC 中，角 A，B的对边分别为 a，b，已知 a 4，b 2 2， A 45

13、o，则 sinB 等于 1答案】 12解析】分析】根据正弦定理 ,可直接求得 sinB.详解】由正弦定理可得sinA sinB4代入可得 4sin 45o sinB22可得 sinB 2 2sin45o1故答案为 :2【点睛】本题考查了正弦定理的简单应用,属于基础题 .15. 若不等书1x对 x 1,x1恒成立，则实数 a 的最大值是答案】 3解析】分析】构造基本不等式,即可求得a 的最大值 .详解】令 f1x1变形可得 f xx x11 1,x1,由基本不等式可得1 1 2当且仅当1 x 1, 即 x12时取等号恒成立1而a x对 x 1, x1所以 a 32216.如图， F1 ， F2为

14、椭圆 xy43uuuuv uuuuv点，且 F2P 2PM . 直线 F1P 与答案】 3即 a 的最大值为 3故答案为 :3【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用,利用基本不等式求参数的最值 ,属于基础题1的左、右焦点， 过 F2的直线 l 与椭圆交于其中一点 P，与 y轴交于 MF1MF2的外角平分线交于 Q 点，则 MPQ的周长为解析】分析】uuuuv uuuuv由题意先得 n PF1F2 与 n PQM 相似，由 F2P 2PM 确定相似比，再结合椭圆定义即可求出结果详解】由题意可得F1PF2QPM， OMF2OMF1， MQ 是 F1MF 2的外角平分线，所以 PF1F2uuu

15、uvPQM ，所以 n PF1F2 n PQM ，又 F2Puuuuv2PM ，2又由椭圆的方程 x y43故答案为 3点睛】本题主要考查椭圆1）若p 为真命题，求实PF2 4，F1F2所以 MPQ 的周长为MPF1p q 为假命题，1217. 设命题 p： m 32，2）若PF2F1F2所以 FM1FQ2PPFQ1PMPF23.三角形相似确定相似比，结合椭圆的定义即可求解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤2q：关于 x的方程 4x2 4 m 2 x 1 0无实根 .数 m 的取值范围1） 3 m 2 （ 2） 3,1 U 2,3解析】分析】 （1）解一元二次不等式 ,即可求得当 p 为真命

16、题时 m 的取值范围 ;（2）先求得命题 q为真命题时 m 的取值范围 .由 p q 为假命题 ,p q 为真命题可知 p ,q两命题一真一假 . 分类讨论 ,即可求得 m 的取值范围 .【详解】（ 1）当 p 为真命题时 , m 3 m 2 0 解不等式可得 3 m 2 ；2（2）当 q为真命题时 ,由16 m 2 16 0,可得 1 m 3, p q 为假命题 , p q 为真命题 , p ,q 两命题一真一假 ,m 3或 m 2 3 m 21 m 3 m 3或m 1 解得 2 m 3 或 3 m 1, m 的取值范围是3,1 U 2,3 .【点睛】本题考查了根据命题真假求参数的取值范围,

17、由复合命题真假判断命题真假 ,并求参数的取值范围 ,属于基础题 .18.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为1200m 3 ，深 3m如果池底每平方米的造价为200 元，池壁每平方米的造价为 150 元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】 将水池的底面设计成边长为 20m的正方形时，总造价最低，最低总造价是116000 元【解析】【分析】设出底面 长为 x,宽为 y ,根据总容积求得 x与 y 的等量关系 .表示出总的造价后 ,将式子转化为关于 x的等 式,结合基本不等式可求得最低总造价及底面的长和宽的值.【详解】设底面的长为 x m,宽为 ym,水池总造价为 z元

18、, 容积为 200m3 1,可得 3xy 1200, 因此 xy 400 ,根据题意 , 池底每平方米的造价为 200元,池壁每平方米的造价为 150元, 有z 200 xy 150 2 3x 2 3y 200 xy 900 x y3,由基本不等式及不等式性质 ,可得z 80000 900 x y 80000 900 2 xy ,即 z 80000 900 2 400 116000 , 当且仅当 x y 20 时,等号成立 .所以 ,将水池的底面设计成边长为 20m的正方形时 ,总造价最低 ,最低总造价是 116000 元.点睛】本题考查基本不等式在实际问题中的应用,根据基本不等式求最值 ,注

19、意等号成立的条件 ,属于基础2）将 an 1 代入 bn中求得数列 bn .可知 anbn为等比与等差数列的和 ,即可利用分组求和法求得前 n19. 已知数列 an中，a1 1，其前 n项和记为 Sn， an 1 2Sn 1（1）求数列an的通项公式；（2）设 bnlog3 an 1，求数列anbn 的前 n项和 Tn【答案】（ 1）ann13n 1（2） Tn3n2n n 12【解析】【分析】（ 1）利用递推公式及anSnSn 1,可证明数列 an 为等比数列 ,求得首项后题.式.,即可求得数列 an 的通项公项和 Tn .详解】（ 1）由题意得an 12Sn1,an 2Sn 1n 2 ),

20、两式相减得 an 1an2 Sn Sn 12an (n 2),an 1 3an又 a2 2S1 12a11 3,a2a1aan 1 3( nanan 是首项为 1,公比为 3 的等比数列n1 an 3（2）由（ 1）可知n1an 3则 an 1 3n所以 bn log 3 an 1log3 3n n ,所以 an bn 3n 1n 为等比数列与等差数列的和 . 利用分组求和法可得Tn30 1 31232 3 L3n 1 n30 31 32 L3n 11 2 3 L n1 3n n 1 n1 3 2n23 n n 12【点睛】本题考查了递推公式及 an Sn Sn 1 的应用 ,等比数列的证明及

21、等比数列通项公式的求法,等差数列与等比数列前 n 项和公式的应用 ,分组求和法的应用 ,属于基础题 .20. ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c，已知 asinC ccosA 0 （1）求 A；（2）若 a15 ， 2sinB sinC ，求 ABC的面积33【答案】（ 1） A（2）42【解析】【分析】（1）根据正弦定理 ,将边转化为角 ,即可求得角 A .（2）根据正弦定理与余弦定理 ,可求得 b,c .再由三角形面积公式即可得解 .【详解】（ 1）由正弦定理及已知得 sin AsinC sin C cos A 0, 0 C , sin C 0 , sin A cosA

22、 0, tan A 1,A2) 2sinB sinC ,由正弦定理得 2b c ,由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A得 15 b2 2b2 2b 2b即 b2 3 ,解得 b3 , c 6 ,S ABCbc sin A .22,属于基础题点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的综合应用222232n2）设 Sn，对 na1a2a2 a3a3a4anan 11）求 an 的通项公式；21.数列 an 中， a1 1， an 1 an 2n N 都有 anSn 1 man恒成立，求实数 m 的取值范 围答案】（ 1） an 2n 1（2）解析】分析】有 an a1 a2 a1

23、an an 11 2 222n1）利用递推公式及累加法 ,结合首项即可求得数列an 的通项公式（2）先求得2n的表达式 ,并进行化简变形 ,由裂项法求和得 Sn .代入不等式后 ,分离参数 ,结合数列的单 an an 1调性即可求得m 的取值范围详解】（ 1）由 an 1 an 2n 及a11,2n 12） Sn2n 1因为 2anan2n2n1 2n 12 n 1 1 2n 1n2n1n12 n 1 112n 11n12112122122 1123 11n2n 11n12 n 1 11n12 n 1 1又因为对任意的,都有 an Sn1 man, an2n 10, m Snan12n1n12

24、n 1 1恒成立,只需 m12n11 2n 1 1 min数列12n 11 2n是递增数列 ,1当 n1时,m m 的取值范围是点睛】 本题考查了累加法求数列通项公式,裂项求和法的应用 ,根据数列单调性求参数的取值范围,属于中档 题.2222.已知椭圆 C：x2 y2 1（ a b 0 ）的焦距等于短轴的长， 椭圆的右顶点到左焦点 F1的距离为 2 1 a 2 b21）求椭圆 C 的标准方程；2）已知直线 l ：y kx m（ k0）与椭圆 C交于 A、B两点，在 y轴上是否存在点 M 0,t ，使得 MAMB ，且 AB2 ，若存在，求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由答案】21） x2 y2 1（2）存在，2 ,0 U 0, 222解析】分析】1）由题意可得 a,b,c的关系 ,解方程组求得 a,