第13讲梅涅劳斯定理与塞瓦定理目标预备班教师版

1、13E梅涅劳斯定理与塞瓦定理板块一梅涅劳斯定理及其逆定理知识导航梅涅劳斯定理：如果一条直线与 4ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于 F、D、E点, ABC叫梅氏三角形.BD CEBD CE =1 .这条直线叫 ABC的梅氏线,DC EA那么”FBAH1 HF2E H3C 作 CG / DFDC FG AE AF.AFBDCE AFFBFG,- 一 = =1.FBDCEA FBFGAF证法二：如中图，过 A作AG II BD交DF的延长线于GAF BD CE AG BD DC d 1FB DC EA BD DC AGA、B、C作DE的垂线，分别交于 Hi、H2、H3.AGBC DDBFB

2、 EC FGAFAGBD BDCE DCFB BDDC DC EA AG三式相乘即得:证法三：如右图，分别过GAFFEBC DBC D贝U有 AH1 / BH2 / CH3 ,AF BD CE 所以一 .一 .一FB DC EAAH1 BH2 CH 3-，:，一二=1 .BH2 CH3 AH1【例1】夯实基础【解析】习题1.习题2.直线FEC是4ABD的梅氏线,.AE DC BF- =1 .而ED BC FADC 1AEED笆=1,即生FAED2AFBF-在 ABC中，D是BC的中点，经过点FA EAF .求证： =.FC EBD的直线交AB于点E ,E、F三点，应用梅氏定理，知交CA的延长线

3、于点直线截4ABC三边于BD =BC ,所以巨EA空=1,即位FCFCEAEB如图，在 ABC中,ZACB =90)CDDB生上=1,又因为EA FCAC =BC . AM为BC边上的中线,梅涅劳斯定理的逆定理：若F、D、E分别是4ABC的三边AB、BC、CA或其延长线的三点,如果竺，BD ,生=1 ,则F、D、E三点共线.FB DC EA如图，在 4ABC中，AD为中线，过点 C任作一直线交 AB于点F ,交AD于点E ,求 证：AE: ED =2AF : FB .AEEBCD _LAM于点D , CD的延长线交 AB于点E .求注【解析】C由题设，在 RtAAMC 中，CD _LAM ,

4、AC =2CM ,由射影定理ADDMAD AM AC2,=-2 4 DM AM CM对ABM和截线EDC ,由梅涅劳斯定理,AE BCEB CMMDAE=1 ,即DAEB所以些=2.EB【例2】 如图，在 AABC中，D为AC中点，BE=EF=FC,求证:BM : MN : ND =5:3: 2 .【解析】直线AE是 BCD的梅氏线,.BM DA CE , -=1 .MD AC EB TOC o 1-5 h z .BM 1 2BM 1-一 ，一 =1 ,.=一MD 2 1MD 1直线AF是ABCD的梅氏线,.BN DA CF d=1 , ND AC FB.BN 1 1. BN 4一 一 =1

5、,=一.ND 2 2 ND 1BM :MN : ND =5:3: 2 .习题 3. 如图，在 ABC 中，D 为 BC 的中点， AE :EF : FD =4:3:1 .求 AG :GH : AB .【解析】 HFC是4ABD的梅氏线,.AH BC DF ,=1 . HB DC FA D 为 BC 的中点， AE: EF :FD =4:3:1 TOC o 1-5 h z .BC2DF1 DC1FA7 .AH21,AH7一 ，一 =1 ,=. HB17HB2 GEC是 ABD的梅氏线，=1 ,AG 1GB - 2.AG BC DEGB DC EA .AG 2 1 , , - ,一 ,- =1 ,

6、GB 1 1AG:GH :HB =3:4: 2.AG:GH : AB =3:4:9【例3】过4ABC的重心G的直线分别交 AB、AC于点E、F ,交CB的延长线于点 D作直线AG交BC于M , MG :GA =1:2 , BM =MC .AE BD MG AE BD 1- -=- - = 1 .EB DM GA EB DM 2.EB BD=.AE 2DM同理，CF二旦，FA 2DM而 BD DC =BD BD 2BM =2(BD BM ) =2DM.BE CF BD DC 2DM . =1EA FA 2 DM2DM 2DM【例4】 如图，点D、E分别在4ABC的边AC、AB上， AE = EB

7、,AD于点 F , Saabc =4。.求 SaeFD .2_ .、=,BD 与 CE 交DC 3对4ECA和截线BFD ,由梅氏定理得： 空,CD，空=1 ,即EF,2 =1,FC DA BEFC 2 1所以正FC 3所以 Sabfe =_Sabec =一 Saabc，进而 Saefd = S ABDSa bef1 q一 Sa abc8114040 =1148习题4.如图，在ABC中，三个三角形面积分别为 5, 8, 10.四边形AEFD的面积为x,求x 的值.对4ECA和截线BFD ,由梅氏定理得：CD -AB-，变=1 ,即“，叱竺1=1,解得DA BE FC5 x 152x=22 .6

8、个小三角形,如图， ABC被通过它的三个顶点与一个内点O的三条直线分为其中三个小三角形的面积如图所示，求ABC的面积.对4ABD和截线COF ,由梅氏定理得：处 BC，DO=1，即&，空工=1 ,所以FB CD OA3 CD 2BC 3BC二一,所以 3 . 所以Saabc =3Sa ABD =3父105=315 .CD 2BD【例5】非常挑战如图， 在4ABC中，/A的外角平分线与边 BC的延长线交于点 P , NB的平分线与 边CA交于点Q, /C的平分线与边 AB交于点R,求证：P、Q、R三点共线.【解析】AP是ZBAC的外角平分线，则BP AB 小PC CABQ是/ABC的平分线，则C

9、Q BCQA ABCR是/ACB的平分线，则AR CA RB BCMM得AB BCCA ABBP CQ ARPC QA RB因R在AB上，Q在CA上，P在BC的延长线上,则根据梅涅劳斯定理的逆定理得:P、Q、R三点共线.习题5.证明：不等边三角形的三个角的外角平分线与对边的交点是共线的三个点.如图,AB、AC、BC 于D、E、F .过 C 作 BE 的平行线，贝U /BCP =/CBE =/EBD =/CPB ,所以4BPC是等腰三角形.则 PB=CB .CE PB CB 贝 U有：一二一二一.EA BA BAAD ACBF BA同理一=一；一二一.BA=1 .ACDB CBFC AC所以 C

10、E AD BF CB ACEA DB FC- -BA CB所以D、E、F共线.冷小板块一塞瓦定理及其逆定理1f a r, - -知识导航D、E、塞瓦定理：如果 ABC的三个顶点与一点 P的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于点F ,如图，那么 BD CE AF =1 .通常称点P为4ABC的塞瓦点.DC EA FB证明:.直线FPC、EPB分别是 ABD、4ACD的梅氏线,BC DP AF 彳 DB CE AP=1 , CD PA FB BC EA PD两式相乘即可得：型 CE .空=1 .DC EA FB塞瓦定理的逆定理：如果点D、口 BD CE AF且 =1,那么 AD、DC EA FB

11、E、F分别在 ABC的边BC、CA、AB上或其延长线上，并 BE、CF相交于一点（或平行）.如图,证明:作直线由塞瓦定理得:又已知BD CEDC EABDDCAFCEEAFB=1 ，AF 一 二1F BAFFBAFF B.ABFBF与F重合CF与CF重合AD、BE、CF 相交于一点. 若AD与BE所在直线不相交,BDDCEAACEABD CE,又已知ACDC EA则 AD / BEAF如图.CE AFEA FB=1 ,即 CE 一=1,FBFBAC AFBE/FC , AD II BE / FC .说明：三线平行的情况在实际题目中很少见.探索提升0,- 【例6】(1)设AX , BY , CZ

12、是 ABC的三条中线，求证:(2)若AX , BY , CZ为ABC的三条内角平分线.求证： AX , BY , CZ三线共点.AYX【解析】(1)由条件知， BX =XC , YC =YA, ZA =ZB .BX CY，空=1 XC YA ZB 根据塞瓦定理的逆定理可得三条中线AX , BY , CZ共点.这个点称为这个三角形的重心.(2)由三角形内角平分线定理得：三式分别相乘，得： BX CYXC YABX AB CYBCAZACXC - AC ? YA -BA ? ZB- - BCAZ _ AB BC AC _ZB - AC AB BC 根据塞瓦定理的逆定理可得三角形三内角平分线AX ,

13、 BY , CZ共点,这个点称为这个三角形的内心.习题6.若AX , BY , CZ分别为锐角 4ABC的三条高线，求证： AX , BY, CZ三线共点.【解析】由ABXsCBZ 得：BX=空；由BYAsCZA 得： 丝=9；BZ BCAY AB由AXCSBYC可得：”=里.所以的工上=空上空=1.CX AC BZ AY CX BC AB AC根据塞瓦定理的逆定理可得三条高线AX , BY , CZ共点.对直角三角形、钝角三角形，同样也可以证得三条高线共点.我们把一个三角形三条高线所在直线的交点叫做这个三角形的垂心.【例7】如图， M为4ABC内的一点，BM与AC交于点E , CM与AB交于

14、点F ,若AM通 过BC的中点D ,求证：EF II BC .【解析】对 ABC和点M应用塞瓦定理可得:AF BDFB DCCEEA=1 .又因为BD = DC ,所以AFFBCECE =1 .进而EAAFFBAE=，所以EFEC/ BC .习题7.如果梯形 ABCD的两腰AD、BC的延长线交于 M ,两条对角线交于 N .求证：直线MN 必平分梯形的两底.NFPMD P C板块三梅涅劳斯定理、塞瓦定理综合非常挑战【解析】AB / CD=1 ,AQ =QB.AQQBBE、CF交于点P , AP的延长线交 BC于点D .求AP :PD的值.EAQBPC-，DP=PC. QB【备选】如图，E、F分别为ABC的AC、AB边上的点，且 AE=3EC, BF=3FA,BD CFB DC EA 3 DC 3MD CMBCCM（由塞瓦定理得）AQ QBBCCMDPAQ【解析】 P为ABC的塞瓦点.DABCMDDAMDDAAF BD CE 1 BD 1 =一 - - =1BDBDDC -彳，BC 10 , EPB