2022新高考总复习《数学》(人教)第五章　平面向量、复数5.2　平面向量基本定理及坐标表示

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI5.2平面向量基本定理及坐标表示第五章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破03素养提升微专题5共线定理的推广及应用必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2,使a=.若e1,e2不共线,我们把e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一个.把一个向量分解为两个的向量,叫做把向量作正交分解.2.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐

2、标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点作 =a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得 =xi+yj,因此a=xi+yj,我们把实数对叫做向量a的坐标,记作a=.不共线1e1+2e2 基底互相垂直(x,y)(x,y)3.平面向量的坐标运算 运算坐标表示(设a=(x1,y1),b=(x2,y2)和a+b=(x1+x2,y1+y2)差a-b=(x1-x2,y1-y2)数乘a=(x1,y1),其中R设A(x1,y1),B(x2,y2),则 =(x2-x1,y2-y1)4.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab .x1y2-x2y1=0 常用结论【考点自诊

3、】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.()(2)平面向量不论经过怎样的平移变换其坐标不变.()(3)已知a,b是一组基底,若实数1,1,2,2满足1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2.()2.(2019全国2,文3)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=() 答案 A 答案 A 4.已知向量a=(1,-2),同时满足条件ab,|a+b|a|的一个向量b的坐标为.答案(-1,2)(答案不唯一) 解析ab,b=a (R),|a+b|a|a+a|a|a(1+)|a|1+|1.-20,不妨取=-1,向量b的坐标为(-

4、1,2).关键能力 学案突破考点1平面向量基本定理及其应用答案 (1)C(2)C 解题心得平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.(2)在下列向量组中,可以把向量a=(2,3)表示成e1+e2(,R)的是()A.e1=(0,0),e2=(2,1)B.e1=(3,4),e2=(6,8)C.e1=(-1,2),e2=(3,-2)D.e1=(1,-3),e2=(-1,3)(3)设e1

5、,e2是平面内一组基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基底a,b的线性组合,即e1+e2=.(2)根据平面向量基本定理可知,e1,e2不共线,验证各选项,只有选项C中的两个向量不共线,故选C.(3)由题意,设e1+e2=ma+nb.因为a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理,得考点2平面向量的坐标化及运算答案 (1)B(2)B 解题心得求解平面向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量

6、运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算.(2)巧借方程思想求坐标平面向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用.(3)妙用待定系数法求系数利用平面向量坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出系数.答案 (1)(4,7)(2)A (2)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B点的坐标为(1,0),C点的坐标为(0,2),因为DAB=60,所以设D点的坐标为考点3平面向量共线的坐标表

7、示(多考向探究)考向1利用向量共线求向量或点的坐标【例3】 已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为.答案 (3,3) 考向2利用向量共线求参数【例4】 已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-3b共线,则 =.解题心得平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为a

8、(R),然后结合其他条件列出关于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量.对点训练3(1)设向量 =(-2n,0),m,nR,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则m+n的最大值为()A.-3B.-2C.2D.3(2)(2018全国3,理13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则=.(3)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,则角C的大小为.素养提升微专题5共线定理的推广及应用素养解读最近几年的高考试题中,很多题目都是以向量知识为背景,以共线向量为载体的向量分解与合成问题.以向量共线定理为“数”和“形”的纽带,旨在考查学生分析问题的能力,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.常用结论常用结论类型一感受平面内三点共线的结论在解题中的简明快捷 解题心得共起点的三个向量如果它们的终点在同一条直线上,那么用其中两个向量表示另一个向量时,等式左边系数之和等于右边系数之和.答案 B解析 如图,CD为ACB的角平分线,类型二感受共线向量数、形二重性在平面几何探究中的独特魅力 解题心得将平面几何中的有向线段转化