2022新高考总复习《数学》(人教)第五章　平面向量、复数5.3　平面向量的数量积与平面向量的应用

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI5.3平面向量的数量积与平面向量的应用第五章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.向量的夹角 非零 ab 2.平面向量的数量积已知两个非零向量a,b,它们的夹角为,我们把数量叫做向量a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab=|a|b|cos .|a|b|cos 3.向量数量积的运算律交换律ab=ba分配律(a+b)c=ac+bc数乘结合律(a)b=(ab)=a(b) (为实数)4.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2

2、,y2),a与b的夹角为.5.向量在平面几何中的应用 常用结论1.平面向量数量积运算的常用公式:(1)(a+b)(a-b)=a2-b2.(2)(ab)2=a22ab+b2.2.当a与b同向时,ab=|a|b|;当a与b反向时,ab=-|a|b|.3.a与b的夹角为锐角,则有ab0,反之不成立(为0时不成立);a与b的夹角为钝角,则有ab0,则a和b的夹角为锐角;若ab0,则a和b的夹角为钝角.()(3)若ab=0,则必有ab.()(4)(ab)c=a(bc).()(5)若ab=ac(a0),则b=c.()2.已知向量a,b满足a(b+a)=2,且a=(1,2),与a方向相同的单位向量为e,则向

3、量b在向量a上的投影为()答案 D 3.(多选)(2020海南三亚华侨学校高三模考)已知a=(3,-1),b=(1,-2),则正确的有()A.ab=5D.a与b平行答案 ABC A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)答案 A 答案 B 关键能力 学案突破考点1平面向量数量积的运算答案 (1)-1(2)A解析 (1)ADBC,且DAB=30,ABE=30.EA=EB,EAB=30,AEB=120.在AEB中,EA=EB=2,解题心得1.求两个向量的数量积的方法:(1)当已知向量的模和夹角时,利用定义求解,即ab=|a|b|cos (其中是向量a与b的夹角).(2)当已知

4、向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.2.解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可利用向量的加、减、数量积的运算律化简.但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补.答案 24 考点2平面向量数量积的性质及其应用(多考向探究)考向1求平面向量的模【例2】 (1)(2020全国1,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.考向2求平面向量的夹角 答案 (1)D(2)B解析 (1)a(a+b)=a2+ab=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2ab=25+36-12=49,|a+b|=7,(2)

5、因为(a-b)b,所以(a-b)b=ab-b2=0,所以ab=b2.考向3平面向量的垂直【例4】 (1)(2020全国2,理13)已知单位向量a,b的夹角为45,ka-b与a垂直,则k=.解题心得1.求向量的模的方法:(1)公式法,利用 及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;(2)几何法,利用向量的几何意义求解.2.求向量模的最值(范围)的方法:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.3.已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条

6、件,列出相应的关系式,进而求解参数.对点训练2(1)(2020福建厦门一模)已知a=(1,1),b=(2,m),a(a-b),则|b|=()A.0B.1C. D.2(2)(2020全国1,文14)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若ab,则m=.答案 (1)D(2)5解析 (1)由题意知a-b=(-1,1-m),a(a-b),a(a-b)=-1+1-m=0,m=0,b=(2,0),|b|=2.故选D.(2)由ab,可得ab=1(m+1)+(-1)(2m-4)=0,解得m=5.考点3平面向量的综合应用(多考向探究)考向1平面向量在三角函数中的应用【例5】 已知向量a=(cos x

7、,sin x),b=(3,- ),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解题心得向量与三角函数综合问题的特点与解题策略(1)以向量为载体考查三角函数的综合应用题目,通过向量的坐标运算构建出三角函数,然后再考查有关三角函数的最值、单调性、周期性等三角函数性质问题,有时还加入参数,考查分类讨论的思想方法.(2)向量与三角函数结合时,通常以向量为表现形式,实现三角函数问题,所以要灵活运用三角函数中的相关方法与技巧求解.考向2平面向量在解析几何中的应用【例6】 已知圆x2+y2+4x-5=0的弦AB的中点为(-1,1),直线AB交x轴于点P,则 的值为.答案 -5 解题心得1.数量积大于0说明不共线的两个向量的夹角为锐角;数量积等于0说明不共线的两个向量的夹角为直角;数量积小于0说明不共线的两个向量的夹角为钝角.2.若a,b为非零向量,cos = (夹角公式),则abab=0.3.向量在解析几何中的作用(1)载体作用:解决向量在解析几何中的应用问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离