数学第二册第十二章-排列-组合-二项式定理课件

1、 第十二章排列组合二项式定理 排列、组合是初等数学的重要基础知识之一,在生产实际问题中有着广泛的应用,同时也是学习概率和数理统计等数学知识的基础。本章主要介绍有关排列、组合的基本概念、计算方法及二项式定理。第一节加法原理与乘法原理我们先看一个具体问题。图12-1第二节排列一、排列的基本概念前面我们分析了两个基本原理,下面就要用这两个基本原理进一步分析排列的概念。先看下面两个实例。例1北京、上海、重庆三个民航站之间的直达航线需要准备多少种不同的飞机票?解在这些直达航线上,每一个起点站到终点站之间都需要准备一种飞机票,即从这三个航站中每次任意取出两个站,按照起点站在前、终点站在后的顺序排法,那么一

2、种票就对应着一种排法,所有的票类数也就对应着所有的排法。完成上述排法可分两步进行:第一步确定起点站,在三个航站中任选一站,共有3种选法;第二步确定终点站,选定起点站后,终点站只能从剩下的两个航站中任选一站,共有2种选法。根据乘法原理,完成上述排法共有32=6(种)方法,也就是需要准备6种不同的飞机票。可以表示为:例2某班级要从甲、乙、丙三位学生中选两位担任正、副班长,问共有多少种不同选法?解这个问题可以分为两个步骤完成:第一步,从甲、乙、丙三位学生中任选一位担任正班长,共有3种选法;第二步,选出正班长后,从余下的两位学生中任选一位担任副班长,有2种选法。根据乘法原理,共有32=6(种)不同的选

3、法。上述选法,也可以表示为:尽管上面两个实例考察的对象与研究的问题是不同的,但是,如果抽去它们的实际意义把考察的对象(民航站、学生)称为元素,那么上述两个例子都可以变为“从三个不同的元素里,每次取出两个,然后按照一定顺序排成一列,求共有多少种不同排法的问题。对于这样的问题,给出下面的定义。定义从n个不同的元素中,任取m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,称为从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。由排列的定义可知,如果两个排列相同,不仅这两个排列的元素完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同。如果两个排列所含的元素或顺序不完全相同,它们就是两个不同的排列。当mn时,所得的排列称为选排列。当

4、m=n时,所得的排列称为全排列。二、排列种数的计算公式从上面两例的排法知道,从3个不同元素中取出2个元素的所有排列的个数为6(种),我们把个数6称为从3个不同元素中取出2个元素的排列种数。从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数称为从n个不同元素取出m个元素的排列种数,用符号表示。当n=m时,全排列种数为,也可表示为Pn。上述两例的排列种数都是。下面我们就用乘法原理来推导排列种数的计算公式。如图12-2所示,设有排好顺序的m个空位,从n个不同的元素a1,a2,a3,an中任取m(mn)个元素去填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,所有不同填法的种数就是排列种数。图12

5、-2现在我们计算共有多少种不同的填法。第一步,第1个空位可以从n个元素中任选一个填上,共有n种填法;第二步,第2个空位只能从余下的n-1个元素中任选一个填上,共有n-1种填法;依次类推,当前面m-1个空位都填上后,第m个空位只能从余下的n-(m-1)个元素中任选一个填上,共有n-m+1种填法。根据乘法原理,全部填满m个空位的填法数为 即排列种数的计算公式为 这里m,nN,且mn。式(12-1)中有以下特点:公式右边的第一个因数是n,后面的每一个因数都比它前面的因数少1,最后一个因数为n-m+1,共有m个因数连乘。排列种数公式中,当m=n时,有 我们把乘积n(n-1)(n-2)321记为n!,读

6、作n阶乘。所以,全排列种数的计算公式为 这个公式指出,n个不同元素全部取出的排列种数等于自然数1到n的连乘积。例如:P6=6!=654321=720。排列种数式(12-1)经过变形也可写成下列形式=n(n-1)(n-2)(n-m+1)= = 即=(12-3)为使公式在m=n时成立,规定:0!=1。例3计算:(1) 3-2;(2) 。解(1) 3-2=354-2543=60-120=-60;(2) =1。例4求满足=42的n的值。解由=n(n-1)=42得n2-n-42=0分解因式得(n-7)(n+6)=0解得n1=7,n2=-6因为nN,故n=7 例5某段铁路上有10个车站,共需要准备多少种普

7、通车票?解因为每张车票对应着2个车站的一个排列,因此需要准备的车票种数就是从10个车站中任取2个的排列数,即=109=90(种)因此,需要准备90种不同的车票。例6有5个同学排成一排拍照,共有多少种排法?解这个问题可看成是从5个不同元素中取出5个不同元素进行的全排列,所以P5=5!=54321=120(种)即有120种不同的排法。例7用0、1、2、3、4这五个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解这个问题可用两种方法求解。 方法一,直接法因为三位数的百位不能为0,所以用0、1、2、3、4这五个数字组成的三位数就有一个约束条件,0不能放在首位,这个问题可分两步完成:第一步,从1、2、3、4

8、中任取一个数放在百位,有种方法;第二步从余下的4个数字中任取2个数进行选排列,有种方法。根据乘法原理所求的三位数的个数是=443=48(个)方法二,间接法如果先不考虑0是否能放在百位,则从0、1、2、3、4中任选3个数组成三位数的排列种数为。但这其中必须扣去0在百位的排列数,0放在百位后,余下2个空位,只能从1、2、3、4中任选2个,有种,所以所求三位数的个数是上述两个排列的差。即-=543-43=60-12=48(个)该题也可用我们上一节讲的方法,分三步考虑:第一步确定百位,只能从1、2、3、4中任取一个,有种;第二步从余下的四个数中任取1个确定十位,有种;第三步确定个位,从余下的三个数中任

9、取1个,有种。根据乘法原理得到所求三位数的个数为=443=48(个)三、重复排列上面讨论的是从n个不同元素中,所取的m(mn)个元素是不相同的,即没有元素重复出现。但在很多实际问题中,会遇到允许元素重复出现的情况。例如,1、2、3这三个数可以组成多少个两位数?组成这个两位数可以分两步进行:第一步,先排十位,共有3种选择;第二步,排个位,由于没有要求数字不可重复,所以个位仍有3种选择。由乘法原理可得两位数的个数共有33=9(个),即:11、22、33、12、13、23、21、31、32,共9个。元素可以重复选取的排列,称为重复排列一般地,从n个不同元素中允许重复地选取m个元素的排列种数为N=nm

10、 第三节组合一、组合的基本概念例1北京、上海、重庆三个民航站之间的直达航线,应有多少种不同的票价?解这个问题与上节求飞机票种数的问题不同,飞机票的种数要考虑起点、终点站的顺序关系,从北京到上海和从上海到北京的飞机票是不相同的。但飞机票的票价与起点、终点站的顺序无关,只与两站间的距离有关。从北京到上海和从上海到北京的票价是一样的,所以当三个航站之间距离两两不相等时,票价的种数只有飞机票种数的一半,即有=3种。例2从甲、乙、丙三位同学中选出两位担任班长候选人,共有多少种不同的选法?解这个问题与上节中选两位同学担任正、副班长的问题不一样。选出两位同学担任正、副班长,要考虑顺序,如甲担任正班长、乙担任

11、副班长和乙担任正班长、甲担任副班长是属于两种不同的选法。而作为本例,选两位候选人,则属同一种选法。所以从三位同学中选出两位班长候选人的种数,也只有从三位同学中选两位担任正、副班长种数的一半,即有=3种。由此可见,这两个实例和上节排列的问题不同,它们都是从三个不同元素中每次取出两个元素,但不必考虑顺序,并成一组,求共有多少种不同组数的问题。对于这类问题,给出下面的定义。定义从n个不同的元素中,任取m(mn)个元素,不考虑顺序并成一组,称为从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。在排列中,要考虑取出元素间的顺序,例如,ab,ba是属于两个不同的排列;在组合中不需考虑元素间的顺序,例如,ab与ba

12、是属于同一个组合。例3写出a、b、c、d这四个字母中每次取出三个字母的所有组合。解按给定字母从左到右的顺序考虑,共有:abc,abd,acd,bcd四种不同的组合。二、组合种数的计算公式从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数称为从n个不同元素中取出m个元素的组合种数,用符号表示。如,本节例1和例2的组合种数都是,例3中从四个不同元素中取出三个元素的组合种数表示为。下面我们从研究组合种数与排列种数的关系来推导出组合种数的计算公式。先考察从四个不同元素a、b、c、d中取出三个不同元素的排列与组合的关系,如图12-4所示。图12-3从图12-3可以看出,从四个不同元素中任取三个元素的排

13、列种数可以分两步完成:第一步,先从四个不同元素中任取三个不同元素作组合,共有=4种;第二步,对每一个组合中的3个不同元素作全排列,各有P3种。由乘法原理得:=P3。所以= 这个结论可以作进一步推广。一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素的排列种数也可分两步完成:第一步,求出从n个不同元素中取出m个元素的组合种数;第二步,求出每一个组合中m个元素的全排列Pm。由乘法原理得:=Pm。所以得出组合种数的计算公式为=(12-4)这里,m、nN,且mn。因为=,Pm=m!,所以=(12-5)球队的顺序无关,所以这是一个组合问题。即=66(场)故需要安排66场足球比赛。例4有12支足球队进行单循环比赛,

14、共需安排多少场比赛?解因为每一场比赛只与哪两支球队参赛有关,而与这两支三、组合种数的两个性质性质1=(12-6)证明因为=,有= 所以= 由性质1可知,当n=m时,=1。性质2+=(12-7)证明+=+ = = = 例6解方程=。解方程中,x与x-4的关系有两种可能:(1) x=x-4,此时方程无解;(2) 由性质1得x=18-(x-4), 有x=11经检验,x=11是原方程的解。例7求证:+=。证明由=1=,再由性质2得左式=+=+ =+ = = 即左式=右式。四、排列、组合的综合应用我们在前面已经学习了排列、组合的一些简单的应用问题。但在实际问题中有些既含有排列,又含有组合的问题,需要综合

15、应用排列、组合的知识来解决。综合应用题的关键在于分清所求问题是否与顺序有关,如与顺序有关就属于排列问题。与顺序无关则属于组合问题。 例8从6位男同学中选出3位,从4位女同学中选出2位,分别担任班委中五项不同的职务,求共有多少种不同的选法?解这个问题要分三步进行:第一步,先从6位男同学中任选3位,这与顺序无关,属于组合问题,共有种;第二步,从4位女同学中任选2位,也与顺序无关,属于组合问题,共有种;第三步,从选出的5位学生中安排5项不同职务,这与顺序有关,属于全排列问题,共有P5种。由乘法原理得到不同的选法为:P5=206120=14400(种)。第四节二项式定理一、二项式定理的基本概念我们以前学过(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 但是如何进一步求(a+b)4、(a+b)5(a+b)n(nN)的展开式呢?如果用多项式的乘法来求太烦琐。先看(a+b)3的展开式(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=aaa+(aab+aba+baa)+(abb+bab+bba)+bbb=a3+3a2b+3ab2+b3 可见等式右端的各项,是三个相同的括号(a+b)里,各任取a、b中之一相乘,再合并同类项而得