振动方程为课件

1、14-1 多自由度体系的自由振动1. 刚度法振动方程为设振动方程解的形式为将上式代入振动方程，得若得到非零解，则展开形式为（a）解行列式，得到n个体系的自振频率令将代入式（a），得由此可求出第 i 振型（b）式（b）是一组齐次方程，只能确定主振型的形状，但不能确定它的振幅。振型的标准化方法：1）规定某个元素的值，如第一个元素等于1，或者 最大的一个元素等于12）规定主振型满足下式振型的正交性： 例14-1 试求图示刚架的自振频率和振型。设横梁的变形忽略不计，层间刚度系数和质量如图所示。解 （1）求自振频率刚度矩阵和质量矩阵分别为频率方程为展开，得用试算法求得方程的三个根为因此，三个自振频率为进

2、一步求得（2）求振型令Y311，解得将代入振型方程，得令Y321，解得将代入振型方程，得令Y331，解得将代入振型方程，得刚度法振动方程为由得令，得故频率方程为2 柔度法展开为相应的振型方程为例 142 试用柔度法重做例141。解 （1）求自振频率由各层的刚度系数得到各层柔度系数,即单位层间力引起的层间位移。为：柔度矩阵为频率方程为展开，得解得因此，三个自振频率为（2）求主振型将求得的分别代入振型方程，得到三个振型。振动方程为简谐荷载若14-3 多自由度体系的强迫振动1 n个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动在平稳阶段，各质点也作简谐振动，即代入振动方程，整理后，得令若D00，则讨论故,当荷载频

3、率与其中任意一个自振频率相等时,都可能出现共振现象，因此，对n个自由度体系，存在n个共振区。振动方程将位移向量按振型分解代入振动方程，并前乘YT令F(t)= YTFP（t）广义荷载向量振动方程变为2 多自由度体系在一般荷载下的强迫振动分别为质点的几何坐标和正则坐标(组合系数)由于M*、K*都是对角阵，方程已经解偶，即同理，令则振型分解法由杜哈梅积分，得初始条件为代入初始条件，得 例 14-4 已知结构的频率和振型，试求图示结构在突加荷载FP1作用下的位移和弯矩。解 （1） 主振型矩阵（2）建立坐标变化关系（3）求广义质量（4）求广义荷载（5）求正则坐标（6）求质点位移质点1的位移时程曲线实线：

4、虚线：（7）求弯矩振动过程中质点所受的荷载与惯性力之和为截面1的弯矩为截面1弯矩时程曲线实线：虚线：只考虑第一振型 （8）讨论 由于第一和第二主振型分量并不是同时达到最大值，因此不能简单地把两分量的最大值相加。第二主振型分量的影响比第一主振型分量的影响要小的多。 阶次愈高的振型分量的影响愈小，通常可以计算前23个低阶振型的影响，就可以得到满意的结果。 按无限自由度体系计算可以了解近似计算方法的应用范围和精确程度。将无限自由度体系简化为有限自由度体系进行计算，是不完整的。 对某种类型的结构，直接按无限自由度体系计算也有方便之处。14-4 无限自由度体系的自由振动 在无限自由度体系的动力计算中，时

5、间和位置坐标都是独立变量。振动方程是偏微分方程。等截面梁弯曲时的静力平衡方程为在自由振动时，唯一的荷载就是惯性力，即因此，等截面梁弯曲时的自由振动方程为用分离变量法求解，令代入振动方程，并整理得左边是x的函数，右边是t的函数。因此，两边都与x、t无关。故得两个常微分方程两个方程的解分别为则，振动方程的解为C1C4由边界条件确定例 14-5 试求等截面简支梁的自振频率和主振型。右边：振幅曲线简化为解：边界条件引入振幅曲线左边：得：令系数行列式=0得故这样就得到了无限多个自振频率和对应的振型曲线14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法 等截面两弯曲时的自由振动偏微分方程为n=1：表示

6、下段结果；n=2：表示上段结果。令代入振动方程，得边界条件顶部（x=0）：弯矩=0、剪力=0中部（x=H2）：水平位移、转角、弯矩、剪力都连续底部（x=H）：水平位移=0、转角=0将特征值问题转化为标准的非线性ODE问题首先，利用区域映射技巧作坐标变换于是有这个变化将两段区间影射为标准的单位区间0，1微分方程变为边界条件变为顶部（x=0，=0）：自由中部（x=H2，=1）：连续底部（x=H，=0）：固定微分方程已变成常微分方程组特征值问题利用平凡的ODE技巧和等价的ODE技巧将其转化为标准的非线性ODE问题.建议平凡的ODE，即取振型归一化条件为分段考虑并利用坐标变换，有利用等价ODE技巧将该

7、积分转化为标准的ODE问题.这样，就形成了一个标准的非线性常微分方程组，可直接利用标准的ODE求解器的非线性功能求解。利用COLSYS求解的计算步骤如下：设要求解前N个特征值（1）设初始解（2）对第k（k=1，2，MN振型求正交化的初始解其中（4）用COLSYS求解如下的一个一阶线性ODE问题然后，求出（5）回到第（2）步作第k+1步求解。例 14-6 图示变截面柱，计算数据如下：1（下）段：2（上）段：其中s为一比例系数。计算s=1.0, 0.5, 0.1三种情况。解：前5个自振频率在下表中给出，相应的振型如图所示。 is1.00.50.11234514.84493.028260.48251

8、0.443843.78616.85694.856259.862510.264843.83719.21897.537258.939510.003843.906例14-6的自振频率计算结果表明： （1）当上下段的质量比和刚度比变小（即s变小）时，基本频率变大；但高阶频率不一定如此。 （2）在三种情况中，s=0.1时的振型在顶部位移很大（注意上下部的位移比），通常这种现象称为鞭梢效应；当s更小时，鞭梢效应将更严重。 一个无阻尼的弹性体系自由振动时，在任一时刻的总能量（应变能与动能之和）保持不变。14-6 近似法求自振频率1 能量法求第一频率瑞利（Rayleigh）法理论基础：能量守恒原理 例 具有分

9、布质量的等截面梁，自由振动时，位移可表示为梁的弯曲应变能为位移表示式对时间微分，得速度表达式为最大值为最大值为梁的动能为位移和应变能为零，体系的总能量为Tmax速度和动能为零，体系的总能量为Vmax由能量守恒原理，可得由此得到计算频率的公式若梁上还有集中质量mi，计算公式为 如果Y（x）是第i振型，则得到的就是第i频率的精确解取某个静荷载下的位移曲线作为Y（x）。这时，应变能可用荷载作的功来代替，即频率计算公式为：取结构自重的变形曲线作为Y（x）。例 14-7 试求等截面简支梁的第一频率解 （1）将抛物线作为Y（x）。（2）将均布荷载作用下的位移曲线作为Y（x）。（3）将正弦曲线作为Y（x）。

10、（4）讨论。 正弦曲线是第一主振型的精确解，因此由它求得的是第一频率的精确解。根据均布荷载作用下的挠度曲线求得的结果具有很高的精度。例 14-8 试求图14-15所示楔形悬臂梁的自振频率。设梁的截面宽度b=1，截面高度为直线变化：解单位长度质量截面惯性矩设位移形状函数为代入频率计算公式，得精确解为误差为3%理论基础：哈密顿（W.R.Hamilton)原理在所有可能的运动状态中,精确解使驻值得哈密顿泛函驻值Y(x)是满足边界条件的任意可能位移函数2.能量法求最初几个频率瑞利-里兹（Rayleigh-Ritz）法瑞利-里兹（Rayleigh-Ritz）法的具体步骤:(1)将体系的自由度折减为n个自

11、由度,位移函数表示为:n个可能的位移函数;a:待定系数。（2）将位移函数代入哈密顿泛函，得令得应用驻值条件得写成矩阵形式令系数行列式为零，即可求得最初几个自振频率的近似值。 例 14-9 试求等截面悬臂梁的最初几个频率。设可能位移为解其中（1）第一次近似得驻值条件为令得（2）第二次近似解得令则，第一、二频率的近似值(误差为0.48%）(误差为58%）这里第一频率的精度已大为提高。 例 14-10 试用集中质量法去等截面简支梁的自振频率。解3 集中质量法 例 14-11 试求框架的最低频率。解读者可自行验证，对称振型的频率大于反对称振型的频率14-7 矩阵位移法求刚架的自振频率1 单元的泛函将刚

12、架分成有限个单元，任一单元的哈密顿泛函为刚架的泛函根据刚架泛函为驻值的条件，求的非零解，得到刚架频率可用单元的结点位移表示单元的结点位移幅值为杆件的位移幅值函数可表示为形状函数列阵其中单元的刚度矩阵单元的质量矩阵对单元泛函叠加，得将EP改用刚架的结点位移幅值来表示。2 刚架的泛函应用驻值条件，得频率方程为3 驻值条件和频率方程频率方程为精确解为误差为1.6% 例14-12 试求梁的自振频率。解 （1）对称振型取半边结构作为一个单元，只有一个待定的结点位移。将半边结构分为两个单元待定的结点位移幅值为 驻值条件为令系数行列式为零，求得三个频率及其误差如下：（2）反对称振型取半边结构，分成两个单元，得另外三个频率例 14-13 试用矩阵位移法从做例14-11解总刚度矩阵及总质量矩阵 待定的结点位移幅值为驻值条件为对称振动时，得求得反对称振动时，得其中频率方程为求得按从大到小的顺序重新排列14-8 用求解器