数学第一册第五章-三角函数的图像-解斜三角形课件

1、第五章三角函数的图像解斜三角形第一节正弦函数、余弦函数的图像和性质一、正弦函数的图像和性质(一) 正弦函数的图像 因为y=sin(x+2k)=sinx(kZ),所以角由k2逐渐增加k2+2时,正弦函数的变化情况与角从0逐渐增加到2时正弦函数的变化情况完全相同。(二)正弦函数的主要性质二、 余弦函数的图像和性质根据诱导公式sin=cosx可知,余弦函数y=cosx的图像可以看作由正弦函数y=sinx的图像向左移动而得到(图5-7)。图5-7余弦函数的图像叫做余弦曲线。 由余弦曲线我们直观地看出,余弦函数y=cosx的主要性质如下:1.定义域和值域余弦函数y=cosx的定义域是R,值域是-1,1。

2、余弦函数y=cosx在x=2k(kZ)时,有最大值y=1;在x=(2k+1)(kZ)时,有最小值y=-1。余弦函数y=cosx也是有界函数,|cosx|1。2.周期性余弦函数y=cosx也是周期函数,它的周期也是2。一般地,函数y=cosA(x+)(0)的最小正周期是T=。3.奇偶性余弦曲线是关于y轴对称的,所以余弦函数y=cosx是偶函数。观察余弦函数y=cosx在0,2上的变化情况,可以看出,y=cosx在区间0,上单调减少,在区间,2上单调增加。根据余弦函数的周期性,可知y=cosx在每一个闭区间2k,2k+上是减函数;在每一个闭区间2k+,2k+2上是增函数,其中kZ。4.单调性根据余

3、弦函数的图像和性质可知,余弦函数在0,2的一个周期内的图像(图5-8)也可采用“五点法”作出,即作出五个关键点(0,1)、(,0)、(,-1)、(,0)、(2,1),再用光滑的曲线依次连接。 图5-8例4用“五点法”作出函数y=-sin在0,2上的图像。解因为sin=cosx,所以作y=-sin的图像就是作y=-cosx的图像(图5-9)。列表: 图5-9(1) cos324和cos325;(2) cos和cos;(3) sin200和cos210;(4) cos和sin,。例5比较下列个数的大小:解(1) 因为180324325360,由于余弦函数y=cosx在区间180,360上是增函数,

4、所以(2) 因为cos=cos,cos=cos,而0,由于余弦函数y=cosx在区间0,上是减函数,所以 (3)因为sin200=sin(270-70)=-cos70,cos210=cos(180+30) =-cos30,而03070180,由于余弦函数y=cosx在区间0,180上是减函数,所以cos70-cos30,因此 (4) 因为0,所以-,那么,0-,由于余弦函数y=cosx在区间0,上是减函数,因此 想一想:若,比较cos和sin的大小。例6求函数(1) y=2cos;(2) y=3cos的周期。解(1) 最小正周期T=6;(2) 最小正周期T=。第二节正切函数、余切函数的图像和性

5、质一、 正切函数的图像和性质根据正切函数的定义可知,函数y=tanx的定义域是x|xR,xk+,kZ。由诱导公式tan(x+)=tanx(x|xR,xk+,kZ)可知,正切函数是周期函数,是它的最小正周期。现在我们用描点法先作出它在区间内的图像。取x内一些值,求出函数y=tanx的对应值,列表如下:在直角坐标系中,作出对应的这些点,把它们依次连接成光滑的曲线,这条曲线就是函数y=tanx在区间内的图像(图5-10)。图5-10根据正切函数的周期性,就可以得到正切函数y=tanx在定义域x|xR,xk+,kZ内的图像(图5-11)。图5-11正切函数的图像叫正切曲线。可以看出正切曲线是由互相平行

6、的直线x=+k(kZ)隔开的无穷多条曲线组成的。正切函数y=tanx有以下主要性质:1.定义域和值域正切函数y=tanx的定义域是x|xR,xk+,kZ。由图可以看出,当x小于+k(kZ)而无限接近于+k(kZ)时,曲线向上无限延伸,tanx无限增大趋向于正无穷大(tanx +); 当x大于-+k(kZ)而无限接近于-+k(kZ)时,曲线向下无限延伸,tanx无限减少趋向于负无穷大(tanx-)。这就是说,tanx可以取任意实数值,但没有最大、最小值。因此,函数y=tanx的值域是R,正切函数是无界的。2.周期性函数y=tanx是周期函数,最小正周期是。3.奇偶性从诱导公式tan(-x)=-t

7、anx可知,函数y=tanx是奇函数,它的图像关于原点对称。4.单调性由图像可以看出,函数y=tanx在(kZ)的每一个开区间内,都是增函数。二、 余切函数的图像和性质余切函数y=cotx的图像也可以用描点法作出,图5-12就是余切函数y=cotx的图像。余切函数y=cotx的图像(xR且xk,kZ)的图像叫做余切曲线。 图5-12余切函数y=cotx的主要性质如下:1.定义域和值域函数y=cotx的定义域是x|xR且xk,kZ;值域是R;余切函数也是无界的。2.周期性函数y=cotx是周期函数,最小正周期是。函数y=cotx是奇函数,它的图像关于原点对称。4.单调性函数y=cotx在(k,k

8、+)(kZ)内的每一个开区间都是减函数。3.奇偶性例1已知函数y=tanx,求出函数的定义域和最小正周期。解根据正切函数的定义可知,要使函数有意义,必须使xk+,kZ,所以x(2k+1),kZ。由此可得函数的定义域为x|xR且x(2k+1),kZ。函数的最小正周期T=2。例2比较下列各组中两数的大小:(1) tan130和tan131;(2) tan300和tan30;(3) cot和cot;(4) tan1和1。解(1) 因为90130131270,而正切函数在区间(90,270)内为增函数,所以 (2) 因为tan3000,所以 (3)因为cot=cot=cot,而045,而正切函数在区间

9、(-90,90)内为增函数,所以,tan1tan45,由于tan45=1,因此第三节解斜三角形在初中,我们已经学习了锐角三角比及利用其求解直角三角形。但在生产实际和科学技术中,经常会遇到解斜三角形(锐角三角形或钝角三角形)的问题:已知一个斜三角形的三个元素(其中至少有一条边),求其他的元素及三角形的面积。本节将介绍正弦定理和余弦定理,并利用两个定理来解斜三角形。一、正弦定理为了解斜三角形,首先要建立三角形中边与角之间的关系。我们先从研究在直角坐标系内的三角形的面积公式入手。图5-13如图5-13所示,我们以ABC的顶点A为原点,边AC所在的射线为Ox轴的正半轴,建立坐标系。由任意角三角函数的定

10、义可知,点B的坐标是(ccosA,csinA)。于是ABC的面积:S=bhb=b|csinA|=bcsinA 这样,我们得到三角形的面积公式为 也就是说,三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的积的一半。将等式各边都除以abc,得 由此,我们得到任意三角形的边和角之间关系的一个重要定理:正弦定理在一个三角形中,各边和它所对应的角的正弦的比相等,并且都等于三角形外接圆的直径,即式中R是三角形外接圆的半径。 如果ABC中有一个是直角,例如C=90,那么sinC=1,由正弦定理可得sinA=,sinB=。这和初中学过的直角三角形中的边角关系是一致的。利用正弦定理和三角形内角和定理,可以解下面两类斜

11、三角形的问题:1.已知三角形的两角与任一边,求其他两边和一角例1已知ABC中,A=75,B=45,b=10,求C、a、c、S。(精确到0.01)解因为A=75,B=45,所以C=180-(A+B)=180-(75+45)=60;又因为b=10,根据正弦定理=得 同理,c=12.25 2.已知三角形的两边与其中一边的对角,求其他的边与角。例2根据条件解三角形:(1) 已知a=2,b=2,A=,求B。(2) 已知a=,b=2,A=,求B。(3) 已知a=4,b=10,A=30,求B。(4) 已知a=3,b=,A=150,求B。解(1) 根据正弦定理=得 所以B1=,B2=。(2)根据正弦定理=得

12、B1=,B2=,由于ab,由三角形“大边对大角,小边对小角”的性质,BA,所以B2=应舍去。于是得 (3)根据正弦定理=得 所以本题无解。(4) 根据正弦定理=得 所以B=13.63。想一想:为什么本题只有一解?从上述几例,我们可以看出,对“已知三角形的两边与其中一边的对角,解三角形”会出现不同情况的解,这是因为两边与其中一边的对角不能唯一确定三角形。例3图5-14是曲柄连杆机构的示意图。当曲柄CB绕C点旋转时,通过连杆AB的传递,使活塞作直线往复运动。当曲柄在CB0位置时,曲柄和连杆成一条直线,这时,连杆的端点A在A0处。设连杆AB长340mm,曲柄CB长85mm,求曲柄CB0按顺时针方向旋

13、转80时活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A),结果保留两个有效数字。 图5-14解因为A0A=A0C-AC,而A0C=AB+BC=(340+85)mm=425mm,所以需先求出AC的长。在ABC中,由=,得 由于BCAB,所以A为锐角,A=1415, 再由AC=344.3,得 答:曲柄CB0按顺时针方向旋转80时,活塞移动的距离为80.7mm。二、 余弦定理正弦定理解决了已知两角一边和两边一对角解三角形的问题,这一节里,我们将学习另一个重要定理余弦定理,它揭示了三角形的三边和一角的关系。同样,我们以ABC的顶点A为原点,边AC所在的射线为Ox轴的正半轴,建立坐标系(如图5-13)。

14、这时C点的坐标是(b,0),点B的坐标是(ccosA,csinA)。根据两点间的距离公式,得a=。两边平方,得 这样,我们就得到任意三角形的三边和一角的重要定理:余弦定理三角形的一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的乘积的两倍,即 余弦定理也可写成以下形式: 如果ABC中有一个是直角,例如C=90,那么cosC=0,这时的余弦定理成为c2=a2+b2,与初中学过的勾股定理一致。想一想:如果ABC中,c2=a2+b2,那么cosC=?,C=?利用余弦定理,我们可以解决下面两类斜三角形的问题:1) 已知三角形的三边,求三个角。2) 已知三角形的两边和它们的夹角,求第三边和两个角;例4已知ABC中,a=7,b=10,c=6,求角A、B、C。解根据余弦定理cosA=,有 一般在解题中,第三个角C可以用余弦定理独立计算求得,再用三角之和是否等于180验算;也可以直接利用三角之和等于180计算第三个角C;后者比较方便。 例5已知三角形中a=10,b=6,C=60,求三角形外接圆的半径R是多少?解根据余弦定理c2=a