苏教版高一下学期数学期末试卷(含答案解析)

1、启东市高一下学期数学期末试卷一、填空题（每题 5 分，共 70 分）若直线l 的斜率为1，则直线l 的倾斜角为一元二次不等式2x2x+60 的解集为一个三角形的两个内角分别为 30和 45，如果 45角所对的边长为 8，那么 30角所对的边长是给出下列条件：l；l 与 至少有一个公共点；l 与 至多有一个公共点 能确定直线l 在平面 外的条件的序号为已知直线l 过点 P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线 l 的方程为在等比数列a 中，已知公比q= ，S =，则 a =n51在ABC 中，已知a=6，b=5，c=4，则ABC 的面积为已知正四棱锥的底面边长是

2、2，侧面积为 12，则该正四棱锥的体积为已知点 P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则 的取值范围为在平面直角坐标系xOy 中，直线l：（2k1）x+ky+1=0，则当实数 k 变化时，原点O 到直线 l 的距离的最大值为已知正三角形ABC 的边长为 2，AM 是边 BC 上的高，沿AM 将ABM 折起，使得二面角BAMC 的大小为 90，此时点M 到平面ABC 的距离为 12已知正实数m，n 满足+=1，则 3m+2n 的最小值为已知直线l：2xy2=0 和直线l：x+2y1=0 关于直线l 对称，则直线l 的斜率为正项数列a 的前 n 项和为 S ，满足 a =21若对任意的正整

3、数 p、q（pq），nnn不等式S +S kS 恒成立，则实数k 的取值范围为Pqp+q二、解答题设ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 bcosA=求角A 的大小；若a=1，求ABC 面积的最大值asinB如图所示，在正三棱柱ABCA B C 中，点D 在边BC 上，ADC D1 1 11求证：平面ADC 平面BCC B ；11 1如果点E 是 B C 的中点，求证：AE平面ADC 1 11三、解答题已知数列a 满足a =a +2n（nN*，R），且 a =2nn+1n1若=1，求数列a 的通项公式；n若=2，证明数列是等差数列，并求数列a 的前n 项和S nn18已知三条直

4、线l ：axy+a=0，l ：x+aya（a+1）=0，l ：（a+1）xy+a+1=0，a0123证明：这三条直线共有三个不同的交点；求这三条直线围成的三角形的面积的最大值 19如图是市儿童乐里一块平行四边形草地ABCD，乐管理处准备过线段AB 上一点E 设计一条直线 EF（点 F 在边 BC 或 CD 上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为 2：1 的左、右两部分，分别种植不同的花卉经测量得AB=18m，BC=10m，ABC=120设EB=x， EF=y（单位：m）当点F 与C 重合时，试确定点E 的位置；求y 关于x 的函数关系式；请确定点E、F 的位置，使直路EF 长度最短20已知

5、数列a 满足对任意的nN*，都有a 3+a 3+a 3=（a +a +a ）2 且 a 0求a ，an的值；12n12nn12求数列a 的通项公式；n若b =，记S =，如果S 对任意的nN*恒成立，求正整数m 的nnn最小值参考答案一、填空题（每题 5 分，共 70 分）1若直线l 的斜率为1，则直线l 的倾斜角为【考点】I2：直线的倾斜角【分析】设直线l 的倾斜角为，）可得 tan=1，解得【解答】解：设直线l 的倾斜角为，）tan=1，解得=故答案为：2一元二次不等式2x2x+60 的解集为 2， 【考点】74：一元二次不等式的解法【分析】把不等式化为（2x3）（x+2）0，求出解集即可

6、【解答】解：不等式2x2x+60 化为 2x2+x60， 即（2x3）（x+2）0，解得2x ，所以不等式的解集为2， 故答案为：2， 一个三角形的两个内角分别为 30和 45，如果 45角所对的边长为 8，那么 30角所对的边长是 4【考点】HP：正弦定理【分析】设 30角所对的边长是x，由正弦定理可得，解方程求得x 的值【解答】解：设 30角所对的边长是x，由正弦定理可得，解得 x=，故答案为给出下列条件：l；l 与 至少有一个公共点；l 与 至多有一个公共点 能确定直线l 在平面 外的条件的序号为 【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据直线与平面的位置关系的定义判定即可

7、【解答】解：直线l 在平面 外包含两种情况：平行，相交 对于，l，能确定直线l 在平面 外，对于，l 与 至少有一个公共点，直线可能与平面相交，故不能确定直线 l 在平面 外， 对于，l 与 至多有一个公共点，直线可能与平面相交或平行，故能确定直线l 在平面 外，故答案为：已知直线l 过点 P（2，3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为12，则直线 l 的方程为 3x+2y12=0 【考点】IB：直线的点斜式方程【分析】写出直线的截距式方程，根据要求条件参数的值，得到本题结论【解答】解：设l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为a，b（a0，b0），则直线l 的方程为 + =1P（2

8、，3）在直线l 上， + =1又由 l 与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为12， 可得 ab=24，a=4，b=6，直线l 的方程为 + =1，即 3x+2y12=0， 故答案为：3x+2y12=0在等比数列a 中，已知公比q= ，S =，则 a = 4 n51【考点】89：等比数列的前n 项和【分析】利用等比数列的前n 项和公式直接求解【解答】解：在等比数列a 中，公比q= ，S =，n5=，a =41故答案为：4在ABC 中，已知a=6，b=5，c=4，则ABC 的面积为【考点】HR：余弦定理；%H：三角形的面积公式【分析】由余弦定理算出cosA，结合同角三角函数的平方关系得sin

9、A，最后由正弦定理的面积公式，可得ABC 的面积【解答】解：ABC 中，a=6，b=5，c=4，由余弦定理，得cosA= ，A（0，），sinA=，由正弦定理的面积公式，得：ABC 的面积为S= bcsinA= 54=，故答案为：已知正四棱锥的底面边长是 2，侧面积为 12，则该正四棱锥的体积为【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，进一步求出高，代入棱锥体积公式得答案【解答】解：如图，PABCD 为正四棱锥，且底面边长为 2， 过 P 作 PGBC 于 G，作 PO底面ABCD，垂足为O，连接OG由侧面积为 12，即 4，即 PG=3 在 RtPOG

10、中，PO=正四棱锥的体积为V= 故答案为：已知点 P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内运动，则 的取值范 围 为 （1， ） 【考点】7C：简单线性规划【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分则 z= ，表示直线的斜率，再将点 P 移动，观察倾斜角的变化即可得到 k 的最大、最小值，从而得到 的取值范围【解答】解：设直线 3x2y+4=0 与直线 2xy2=0 交于点A，可得 A（8，14），不等式组表示的平面区域如图：则 的几何意义是可行域内的P（x，y） 与坐标原点连线的斜率，由可行域可得k 的最大值为：k= ，k 的最小值k=1OA因此， 的取值范围为（1， ） 故答

11、案为：（1， ）在平面直角坐标系xOy 中，直线l：（2k1）x+ky+1=0，则当实数 k 变化时，原点O 到直线 l 的距离的最大值为【考点】IT：点到直线的距离公式【分析】由于直线 l：（2k1）x+ky+1=0 经过定点 P（1，2），即可求出原点 O 到直线 l的距离的最大值【解答】解：直线l：（2k1）x+ky+1=0 化为（1x）+k（2x+y）=0，联立，解得，经过定点P（1，2），由于直线l：（2k1）x+ky+1=0 经过定点P（1，2），原点O 到直线l 的距离的最大值为故答案为：已知正三角形ABC 的边长为 2，AM 是边 BC 上的高，沿AM 将ABM 折起，使得二面

12、角BAMC 的大小为 90，此时点M 到平面ABC 的距离为【考点】MK：点、线、面间的距离计算【分析】以 M 为原点，MB，MC，MA 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点M 到平面ABC 的距离【解答】解：正三角形ABC 的边长为 2，AM 是边BC 上的高， 沿 AM 将ABM 折起，使得二面角BAMC 的大小为 90，MA、MB、MC 三条直线两两垂直，AM=，BM=CM=1，以 M 为原点，MB，MC，MA 为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 M（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A（0，0，），=（1，0，0），=（1

13、，0，），=（1，1，0），设平面ABC 的法向量 =（x，y，z），则，取x=，得 =（，1），点 M 到平面ABC 的距离为：d=故答案为：已知正实数m，n 满足+=1，则 3m+2n 的最小值为 3+【考点】7F：基本不等式【分析】根据题意，分析可得 3m+2n= （m+n）+ （mn），又由+=1，则有 3m+2n=（m+n）+ （mn）+=3+，利用基本不等式分析可得答案【解答】解：根据题意，3m+2n= （m+n）+ （mn），又由 m，n 满足+=1，则有 3m+2n= （m+n）+ （mn）+=3+3+2=3+，当且仅当=时，等号成立，即 3m+2n 的最小值为 3+， 故答案

14、为：3+已知直线 l：2xy2=0 和直线l：x+2y1=0 关于直线l 对称，则直线 l 的斜率为或 3 【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】设 P（a，b）是直线l 上任意一点，则点 P 到直线l：2xy2=0 和直线l：x+2y1=0 的距离相等，整理得a3b1=0 或 3a+b3=0，即可求解【解答】解：设P（a，b）是直线l 上任意一点，则点 P 到直线l：2xy2=0 和直线l：x+2y1=0 的距离相等整理得a3b1=0 或 3a+b3=0，直线l 的斜率为 或3 故答案为： 或3正项数列a 的前 n 项和为 S ，满足 a =21若对任意的正整数 p、q（pq

15、），nnn不等式S +S kS 恒成立，则实数k 的取值范围为Pqp+q【考点】8H：数列递推式【分析】a =21，可得S =，n2 时，a =S S ，利用已知可得：a annnnn1nn=2利用等差数列的求和公式可得S ，再利用基本不等式的性质即可得出1n【解答】解：a =2n1，S =，nn2 时，a =S S =，nnn1化为：（a +a ）（a a 2）=0，nn1nn1 nN*，a 0，na a =2nn1n=1 时，a =S =，解得a =1111数列a 是等差数列，首项为 1，公差为 2nS =n+=n2n不等式S +S kS 化为：k，Pqp+q ，对任意的正整数p、q（pq

16、），不等式 S +S kS 恒成立，Pqp+q则实数k 的取值范围为 故答案为：二、解答题设ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 bcosA=求角A 的大小；asinB若a=1，求ABC 面积的最大值【考点】HP：正弦定理【分析】（1）根据正弦定理化简可得范围 0A，可求A 的值sinAsinB=sinBcosA，结合sinB0，可求tanA，由（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求 bc2 算得解，进而利用三角形面积公式即可计【解答】解：（1）在ABC 中，asinB=bcosA由正弦定理，得：sinAsinB=sinBcosA，0B，sinB0sinA=cosA，即tan

17、A=0A，A=（2）由a=1，A=，由余弦定理，1=b2+c2bc2bcbc，得：bc2，当且仅当b=c 等号成立，ABC 的面积S= bcsinA（2+） =，即ABC 面积的最大值为如图所示，在正三棱柱ABCA B C 中，点D 在边BC 上，ADC D1 1 11求证：平面ADC 平面BCC B ；11 1如果点E 是 B C 的中点，求证：AE平面ADC 1 11【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定【分析】（1）推导出 ADC D，从而 CC 平面 ABC，进而 ADCC ，由此能证明 AD平面111BCC B 即平面ADC 平面BCC B1 111 1（2）

18、由ADBC，得D 是 BC 中点，连结ED，得四边形AA DE 是平行四边形，由此能证明A E平面ADC 1【解答】证明：（1）在正三棱柱 ABCA B C11中，点D 在边BC 上，ADC D，1 1 11CC 平面ABC，又AD平面 ABC，ADCC ，11又 C DCC =C ，AD平面BCC B 1111 1AD面 ADC ，平面ADC 平面BCC B111 1（2）AD平面BCC B ，ADBC，1 1在正三棱柱ABCA B C 中，AB=BC=AC，D 是 BC 中点，1 1 1连结 ED，点E 是 C B1 1的中点，AA DE 且 AA =DE，四边形AA DE 是平行四边形，

19、111A EAD，1又 A E 面 ADC ，AD平面ADC 111A E平面ADC 11三、解答题已知数列a 满足a =a +2n（nN*，R），且 a =2nn+1n1若=1，求数列a 的通项公式；n若=2，证明数列是等差数列，并求数列a 的前n 项和S nn【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和【分析】（1）当 =1 时，由此利用累加法能求出数列a 的通项公式n（2）当=2 时，= ， 再由，能证明数列是首项为 1，公差为 的等差数列，从而a =（n）2n=（n+1）2n1，由此利用错位相减法能出数列a 的前n 项n和【解答】解：（1）当 =1 时，a =a +2n（nN*），且 a

20、 =2n+1n1，a =a +a a +a a +a an12132nn1=2+2+22+2n1=2+=2n证明：（2）当 =2 时，a =2a +2n（nN*），且 a =2n+1n1，即= ，数列是首项为 1，公差为 的等差数列，=，a =（n）2n=（n+1）2n1，数列a 的前n 项和：nS =220+32+422+（n+1）2n1，n2S =22+322+423+（n+1）2n，n，得：S =（n+1）2n2（2+22+23+2n1）n=（n+1）2n2=（n+1）2n22n+2=n2n18已知三条直线l ：axy+a=0，l ：x+aya（a+1）=0，l ：（a+1）xy+a+1

21、=0，a0123证明：这三条直线共有三个不同的交点；求这三条直线围成的三角形的面积的最大值【考点】IM：两条直线的交点坐标【分析】（1）分别求出直线 l 与 l13的交点 A、l 与 l12的交点 B 和 l 与 l23的交点 C，且判断三点的坐标各不相同即可；（2）根据题意画出图形，由ABBC 知点B 在以AC 为直径的半圆上，除A、C 点外；由此求出ABC 的面积最大值【解答】解：（1）证明：直线 l ：axy+a=0 恒过定点A（1，0），1直线 l ：（a+1）xy+a+1=0 恒过定点A（1，0），3直线l1与 l 交于点A；3又直线l ：x+aya（a+1）=0 不过定点A，2且

22、l 与 l12垂直，必相交，设交点为B，则B（，）；l 与 l23相交，交点为C（0，a+1）；a0，三点A、B、C 的坐标不相同， 即这三条直线共有三个不同的交点；（2）根据题意，画出图形如图所示；ABBC，点 B 在以AC 为直径的半圆上，除A、C 点外； 则ABC 的面积最大值为S= |AC|AC|= （1+（a+1）2）= a2+ a+ 如图是市儿童乐里一块平行四边形草地ABCD，乐管理处准备过线段AB 上一点E 设计一条直线 EF（点 F 在边 BC 或 CD 上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为 2：1 的左、右两部分，分别种植不同的花卉经测量得AB=18m，BC=10m，A

23、BC=120设EB=x， EF=y（单位：m）当点F 与C 重合时，试确定点E 的位置；求y 关于x 的函数关系式；请确定点E、F 的位置，使直路EF 长度最短【考点】5C：根据实际问题选择函数类型【分析】（1）根据面积公式列方程求出 BE；对F 的位置进行讨论，利用余弦定理求出y 关于x 的解析式；分两种情况求出y 的最小值，从而得出y 的最小值，得出E，F 的位置【解答】解：（1）S=，S=2，BCEABCD= ，BE= AB=12即E 为 AB 靠近A 的三点分点（2）S =1810sin120=90，ABCD当 0 x12 时，F 在 CD 上，S = （x+CF）BCsin60=90，解得CF=12x，EBCFy=2，当 12x18 时，F 在 BC 上，S=，解得 BF=，BEFy=，综上，y=（3）当 0 x12 时，y=2=25， 当 12x18 时，y=5，当 x= ，CF=时，直线EF 最短，最短距离为 5已知数列a 满足对任意的nN*，都有a 3+a 3+a 3=（a +a +a ）2 且 a 0求a ，an的值；12n12nn12求数列a 的通项公式；n若b =，记S =，如果S 对任意的nN*恒成立，求正整数m 的nnn最小