微分的逆运算问题-不定积分课件

1、微分的逆运算问题不定积分欧阳顺湘北京师范大学珠海分校1 原函数与不定积分1.1 原函数与不定积分的概念1.2 基本积分公式1.3 不定积分的线性运算法则1.1 原函数与不定积分的概念不定积分微分的逆运算微分问题 已知作匀加速直线运动的物体的位移S(t)，求速度. 积分问题已知作匀加速直线运动的物体的速度v(t)，求位移. 即已知 求 S=S(t) 使得积分问题已知作匀加速直线运动的物体的速度v(t)，求位移. 即已知 求 S=S(t) 使得这样的函数有 或一般问题在实际中，常常有这样的问题： 要找一个函数，它关于自变量 x 的变化速度对于任何 x 的值都是已知的例：放射性衰减放射性物质的总量

2、pf(t) (时间 t 的函数) 减少的速率都同这一时刻存在的物质总量成正比。这一点是可以想象的，因为每一部分物质减少速度同其它每一部分物质是一样的。例：放射性衰减的数学模型放射性物质的总量 pf(t) (时间 t 的函数) 减少的速率都同这一时刻存在的物质总量成正比。放射性衰减模型中的参数k: 减少的速率都同该时刻存在的物质总量的比例p_0=f(0): 初始时刻物质总量k 的计算 与 半衰期在一定时间以后，放射性物质将减少到其初始总量的一半， 即所谓的半衰期。一般，各种放射性元素的半衰期是已测定的，从而k也是确定的生物体年龄测定的原理碳14是放射性物质，随时间而衰减，碳12是非放射性物质。活

3、性人体因吸收食物和空气，恰好补偿碳14衰减损失量而保持碳14和碳12的含量不变，因而所含碳14与碳12之比为常数。生物体年龄的测定碳14是放射性物质，随时间而衰减，碳12是非放射性物质。活性人体因吸收食物和空气，恰好补偿碳14衰减损失量而保持碳14和碳12的含量不变，因而所含碳14与碳12之比为常数。已测定一古墓中遗体所含碳14的数量为原有碳14含量的80。求遗体的死亡年代。回到：一般问题 要找一个函数，它关于自变量 x 的变化速度对于任何 x 的值都是已知的定义如果在区间内，即则称为在区间内的一个原函数可导函数的导函数为如:是的一个原函数是的一个原函数是的一个原函数FunctionAntid

4、eriveTable of Basic AntiderivativesEach function F(x): (a,b) that verifies x(a,b) F(x) = f(x)is called an Primitive funtion of f(x) on (a,b).原函数的一般研究存在性：什么函数的原函数存在？有多少：如果不只一个，那么各个原函数之间有什么联系？存在性定理1：如果函数 f(x) 在区间 I 上连续，则 f(x) 在 I 上存在原函数。（作为以后的定理的推论）存在性初等函数在其有定义的区间上存在原函数有多少无穷多 定理2 设 F(x) 是 f(x) 在区间 I 上

5、的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的一个原函数，其中C为任意常数原函数的结构 定理2 设 F(x) 是 f(x) 在区间 I 上的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的一个原函数，其中C为任意常数f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数如果知道一个原函数F FC也是原函数 其它原函数一定是 F+某个常数FunctionAntideriveTable of Basic AntiderivativesFunctionAntiderive定义如果是在开区间内的一个原函数，则(为任意常数)称为在开区间内的记为即积分符号被积函数积分变量被积表达式不定积分,C 积分常数The Indefinite Integral不定积分的几何意义：积分曲线：的一个原函数的图形积分曲线族：在积分曲线族上横坐标相同的点处作切线彼此是平行的例设曲线通过点（0，0），且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余弦值，求此曲线. 例设曲线通过点（0，0），且曲线上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的余弦值，求此曲线. 解：设所求曲线为 y=f(x), 有下面的微分方程：基本积分公式求导公式与积分公式相对应Table of Indefinite IntegralsTable of Indefinite I