攻克_整除_难关精讲精练之一

1、攻克“整除”难关精讲精练之一 整除是奥数中较有趣的一部分， 但是要学好这部分知识却需要下一番功夫， 故将此整理成一个专题，大家一起来学习吧。【例题解析】例 1： ( 1)判断 47382 能否被 3或 9整除？以下例题运用了整除特征解题。(2)判断 42559 ， 7295871 能否被 11 整除？【分析与解答】( 1 ) 4+7+3+8+2=24 3|24 ， 9 不能整除 24 3|47382, 9 不能整除 47382(2) (9+5+4) (5+2) =187=11，11|42559 (1+8+9+7) (7+5+2) =25 - 14=11 . 11|7295871启示： 判断一个

2、整数能否被另一个整数整除， 充分考虑整除的特征， 这样有利于我们去判断。例 2：求一个首位数字为5 的最小六位数，使这个数能被9 整除，且各位数字均不相同。【分析与解答】 ：由于要求被9 整除， 可只考虑数字和， 又由于要求最小的， 故从第二位起应尽量用最小的数字排，并试验末位数字为哪个数时，六位数为 9 的倍数。解：一个以5为首位数的六位数 5,要想使它最小， 只可能是501234 (各位数字均不相同) 。但是 501234 的数字和 5+0+1+2+3+4=15 ， 并不是 9 的倍数， 故只能将末位数字改为 7， 这时，5+0+1+2+3+7=18 是 9的倍数，故501237 是 9

3、的倍数。即 501237 是以 5 为首位，且是9 的倍数的最小六位数。例 3：从0、 1、 2 、 4、 7 五个数中选出三个组成三位数，其中能被3 整除的有 个。南京市第一届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛 B卷【分析与解答】三位数的数字和应被3 整除，所以可取的三个数字分别是：0,1,2； 0,2,4; 0,2,7; 1,4,7。于是有：(2*2*1) *3+3*2*1=18个例 4：四位数7a2b 能被 2 ， 3 ， 5 整除，这样的四位数有几个？分别是多少？【分析与解答】要使7a2b能同时被2, 3, 5整除，则b为零；又要使7a20能被3整除，a必须满足各位数字的和 7+2+0+a

4、能被 3 整除，又知 a 只能取 0 至 9 这十个数字，所以 a 只可取 0 ， 3 ， 6， 9。故满足条件的四位数有4 个，即 7020 ， 7320， 7620， 7920。启示：在做有关整除的题目时，应充分考虑一些常见整数的整除特征。例5:有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成一个四位数例如 1409，把其中能被 3 整除的四位数从小到大排列起来，第5 个数的末位数字是。北京市第一届“迎春杯”赛【分析与解答】从 0、 1 、 4、 7、 9 中选出四个数字，使它们的和是3 的倍数，这样的四位数只能由0、 1 、 4、 7 或 1、 4、 7 、 9 组成。按从小到大顺序排

5、列为1047、 1074、 1407、 1470、 1479、 1749、所以第五个四位数个位上应是9。例 6：在 568 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别被3 ， 4 ， 5 整除，且使这个数尽可能的小。3 ， 4 ， 5 整除，故它应【分析与解答】不妨设补上三个数字后的六位数为568abc。由于这个六位数分别被满足如下三个条件：1 ) 数字和( 5+6+8+a+b+c )是 3 的倍数；) 末两位数字组成的两位数bc 是 4 的倍数；) 末位 c 为 0 或 5。由于4|bc,故c不能是5,而只能是0,且b只可能是2, 4, 6,8，0。又因为 3|( 5+6+8+a+b+c )

6、即 3|( 5+6+8+a+b+0 ) ，所以当 b=2 时， 3|( 5+6+8+a+2 ),a可为 0, 3, 6, 9当 b=4 时，当 b=6 时，当 b=8 时，3| (5+6+8+a+4) a可为 1, 4, 73| (5+6+8+a+6) ,a可为 2,5,83| (5+6+8+a+8) , a 可为 0, 3, 6,当 b=0 时，3| (5+6+8+a+0), a 可为 2, 5, 8要使六位数568abc 尽可能小，则 a 应取 0 ， b 应取 2， c 应取0。故被 3， 4， 5 整除的最小六位数568abc 应为568020。【习题精练】直接判断 25872 和 9

7、78651 能否被 3 或者 9 整除？判断2458、 63582 和 1839673 能否被 11 整除？六位数 125a58 能被 3 整除，数字a=？由 2、 3 、 4 、 5 这四个数字组成的没有重复数字的三位数中，有几个能被3 整除？一根铁丝长125 厘米，要把它剪成长 2 厘米、 5 厘米、 3 厘米的三种不同规格的小段，最多能剪成多少段？在 568 后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被 3 、 4 、 5 整除，且使这个数值最小。求这个六位数。已知一个自然数，它是15 的倍数，并且这个数的每个数位上的数字只有0 和 2，这个自然数最小是多少？五位数 A329B 能被

8、72 整除，问 A 和 B 各代表什么数字？【习题精练附答案】25872 不能被 3 和 9 整除， 978651 能被 3 和 9 整除2458 和 63582 不能被 11 整除， 1839673 能被 11 整除a 可以取 0、 3 、 6、 94、有12 个60560202220A 是 7， B 是 6名师指导，轻松学奥数牛吃草问题之一英国著名科学家牛顿的算术一书中有一道非常有名的题：有一片牧场，已知牛27头， 6 天把草吃尽，同样一片牧场，牛23 头， 9 天把草吃尽。如果有牛21 头，几天能把草吃尽？以后人们把这类问题称为“牛吃草”问题。这类题的特点： 牛在吃草的同时， 草还在不断

9、地生长着。 解这类题的关键是先设法求出草地的原有草和每天新生长的草这两个不变的量，问题就容易了。牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场， 是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变， 不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同， 求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。 由于吃的天数不同， 草又是天天在生长的， 所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。 解决牛吃草问题常用到四个基本公式， 分别是：(1)草的生长速度=对应的牛头数X吃的较多天数一相应的牛头数X吃的较少天数+ (吃的较多天数吃的较少天数) ；(2)原有草量=牛头数x吃的天数草的生长速度x吃的天数

10、；(3)吃的天数=原有草量+ (牛头数草的生长速度)；(4)牛头数=原有草量+吃的天数+草的生长速度。这四个公式是解决消长问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。 正是由于这个不变量， 才能够导出上面的四个基本公 式。牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草， 这块地既有原有的草， 又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草

11、地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。这类问题的基本数量关系是：.（牛的头数X吃草较多的天数-牛头数X吃草较少的天数）+ （吃的较多的天数-吃的较少的天数）=草地每天新长草的量。.牛的头数X吃草天数-每天新长量x吃草天数=草地原有的草。【“牛吃草”问题简析】华图公务员考试研究中心数量关系资料分析教研室研究员 姚璐【名师指导例1 】有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天， 15 头牛吃 10 天，则它可供25 头牛吃多少天？A.3 B.4 C.5 D.6【名师指导答案】 C【名师指导解析】设该牧场每天长草量恰可供 头牛吃一天，这片草场可供 25 头牛吃 天根据核心公式：，代入【名师指导例2

12、】有一块牧场，可供 10 头牛吃 20 天， 15 头牛吃 10 天，则它可供多少头牛吃 4 天？A.20 B.25 C.30 D.35【名师指导答案】 C【名师指导解析】设该牧场每天长草量恰可供 头牛吃一天，根据核心公式：【名师指导例3 】如果 22 头牛吃 33 公亩牧场的草， 54 天后可以吃尽， 17 头牛吃 28 公亩牧场的草， 84 天可以吃尽，那么要在 24 天内吃尽 40 公亩牧场的草，需要多少头牛？A.50 B.46 C.38 D.35【名师指导答案】D【名师指导解析】设每公亩牧场每天新长出来的草可供头牛吃 1 天， 每公亩草场原有牧草量为 ，24 天内吃尽 40 公亩牧场的

13、草，需要头牛根据核心公式：，因此 ，选择 D【名师指导注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。4】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用 台抽水机排水， 则用 40 分钟能排完； 如果用 4 台同样的抽水机排水，则用 16 分钟排完。 问如果计划用 10 分钟将水排完，需要多少台抽水机？【广东2006 上】A.5 台 B.6 台 C.7 台 D.8 台【名师指导答案】 B台抽水机的排水量，共需 台抽水机【名师指导解析】设每分钟流入的水量相当于有恒等式： 解 ，得 ，代入恒等式【名师指导例5

14、 】有一水池，池底有泉水不断涌出， 要想把水池的水抽干， 10 台抽水机需抽8 小时， 8 台抽水机需抽 12 小时， 如果用 6 台抽水机， 那么需抽多少小时？ 【北京社招 2006 】A.16 B.20 C.24 D.28【名师指导答案】 C【名师指导解析】设每分钟流入的水量相当于 台抽水机的排水量，共需小时 有恒等式： 解 ，得 ，代入恒等式【名师指导例6】林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在9 周内吃光， 21 只猴子可在12 周内吃光，问如果有33 只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）【浙江2007】A.2 周 B.3 周 C.4 周 D.5 周【名师指导答案】 C【名师指导解析】设每