高中数学题型全面归纳（教师版）：10.3抛物线及其性质44

1、第三节 抛物线及其性质考纲解读 掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形和及其简单几何性质.命题趋势探究 抛物线是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查抛物线的方程、焦点、准线及其几何性质，题形上，选择、填空、解答题都有可能出现，以考查学生的运算、数形结合和分析能力为主. 预测2019年高考主要考查抛物线标准方程和性质的应用，焦点弦是重点考查的内容.知识点精讲一、抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线. 注 若在定义中有，则动点的轨迹为的垂线，垂足为点.二、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，其中一次项与对

2、称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）表10-3标准方程yxOFlyxOFlFyxOl图形yxOFl对称轴轴轴顶点原点焦点坐标准线方程三、抛物线中常用的结论1. 点与抛物线的关系（1）在抛物线内（含焦点）.（2）在抛物线上.（3）在抛物线外.2. 焦半径抛物线上的点与焦点的距离称为焦半径，若，则焦半径，.3. 的几何意义为焦点到准线的距离，即焦准距，越大，抛物线开口越大.4. 焦点弦若为抛物线的焦点弦，则有以下结论：（1）.（2）.（3）焦点弦长公式1：，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为.焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）.（4）的面积公式：（为

3、直线与对称轴的夹角）.5.抛物线的弦若AB为抛物线 的任意一条弦， ，弦的中点为 ，则弦长公式： 直线AB的方程为 线段AB的垂直平分线方程为 6求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1） 焦点为 ，准线为 (2) 焦点为 ，准线为 如，即，焦点为 ，准线方程为7参数方程 的参数方程为 （参数）8切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为为切点 切点弦方程为点在抛物线外 与中点弦平行的直线为此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果。题型归纳及思路提示题型143；抛物线的定义与方程思路提示求抛物线的标准方程的步骤为

4、：先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：根据题目条件列出P的方程解方程求出P，即得标准方程 已知抛物线的准线与圆相切,求的值为（ ）A B C 2 D4解析；抛物线的准线为，圆的标准方程为 ，由与圆相切，知，解得，故选C评注 准线 是抛物线的重要性质，要熟记准线方程。变式1 【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_解析 评注 当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离变式2 设 为抛物线上一点，为抛物线的焦点，以为圆心，为半径的

5、圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是（ ）A B C D解析 圆心到抛物线准线的距离，即因为准线与圆相切，所以，即，故选C 若点到直线的距离比它到点的距离小 ，则点的轨迹为（ ）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线解析 解法一：（直接法）设 依题意有 ，当 时， ，整理得 当 时， ，显然不成立，故点的轨迹方程为解法二：（定义法）由题意可知，点只能在的右侧，点到直线 的距离等于它到点的距离，根据抛物线的定义知，点的轨迹是抛物线，故选D变式1 设圆 与圆 外切，与直线 相切，则的圆心轨迹为（ ）A抛物线 B双曲线 C椭圆 D圆解析 依题意，圆心C不可能在轴下方，设圆C的半径为，则圆心C到直线的距离为

6、r，由两圆相切可得，圆心C到点的距离为，即圆心C到点的距离比到直线的距离大1，故点C到点的距离和它到直线的距离相等，故点C的轨迹为抛物线变式2 【2016高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且ACE的面积为，则p的值为_.解析 抛物线的普通方程为，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以，所以，评注 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理2若P(x0，y0)为抛物线y22px(p0)上一点，由定义易得|PF|x0eq f(p,2

7、)；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到 设抛物线上一点 到 轴的距离是 ，则点抛物线焦点的距离是（ ）A4 B6 C8 D12解析 由焦半径公式 知点到焦点的距离为6，故选B变式1 已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点 ，若点 到该抛物线焦点的距离为3，则（ ）A B C4 D 解析 由题设可设抛物线方程为，焦点，由定义知，所以，故，故选B变式2 已知是抛物线的焦点， 是该抛物线上的两点， 则线段的中点到轴的距离为

8、（ ）A B C D 解析 因为，所以线段AB的中点到轴的距离为，故选C变式3 设为抛物线的焦点， 为该抛物线上三点，若 ，则（ ）A9 B6 C4 D3 解析 设，且，由得，即，故，故选B 过抛物线 的焦点作倾斜角为的直线与抛物线分别交于两点（点 在轴上方），则 解析 如图10-10所示，由题意得准线，作 于点，于点，于点，则 ， ，因为在三角形中，所以 ，即 ，得变式 1 已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于 两点，设，则与的比值等于 xBAyCDFH图10-60解析 如图10-60所示，由题意得准线，作于C，于D，于H ，则，因为在直角三角形AHB中，所以，得变式2 【2016年高

9、考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )（A）（B）（C）（D）1解析 设（不妨设），则由已知得，故选C.题型144 与抛物线有关的距离和最值问题 思路提示 抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解。已知直线 和直线，抛物线上一动点 到直线和的距离之和的最小值是（ ）A B3 C D分析

10、 画出图形，利用等价转化，将距离之和的最小值转化为点到直线的距离。解析 作辅助线如图10-11所示，连接 抛物线方程为，为其准线，焦点为 ，由抛物线的定义可如 ，故选A评注 本题考查抛物线的定义及转化与化归的数学思想变式 1 已知点是抛物线 上的一个动点，则点到点与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A B3 C D解析由抛物线定义知，故选A变式2 已知点在抛物线上，那么当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）A B C D解析 抛物线上点P到焦点F的距离等于到抛物线的准线的距离，过P作PE垂直准线于点E，过Q作QH垂直准线于点H，则，故点P到Q的距离与点P到焦

11、点的距离之和取最小值时，PQ垂直于准线，此时P点的纵坐标，由此得，故选A变式3 【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16B14C12D10解析 设，直线方程为联立方程得同理直线与抛物线的交点满足由抛物线定义可知当且仅当（或）时，取得等号.【答案】A题型145 抛物线中三角形，四边形的面积问题思路提示 解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比。例10.28 在

12、直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于两点，其中点在轴上方，若直线的倾斜角为，则的面积为 解析 解法一：直线的方程为 没，代入得 解得 得 解法二： 如图10-12所示，由题意得抛物线的准线，过作于，于，连接，则，又，故三角形为正三角形，因为 ，所以 ，所以 评注 解法一求出了交点 的坐标，从而求得 的面积；解法二利用了抛物线的定义及三角形的性质，得出中边 的高，计算量较小，方法更简捷变式1 过抛物线 的焦点的直线交抛物线于 两点，点是坐标原点，若，则的面积为（ ） B C D解析 不妨设，由，可得，进而得，直线AF1：，与抛物线联立解得，则变式2 【2015高考浙江，理5】如图

13、，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）A. B. C. D. 解析 ，故选A.评注 本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.例10.29 抛物线的焦点为，准线为 ，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，垂足为，则的面积是（ ）A B C D分析 作出图形，利用数形结合思想

14、，在图中找到三角形的底和高从而使问题得以解决。解析 解法一：如图10-13所示，由题意可知，准线方程为，由 ，解得 ，故，因为直线的斜率，所以，则，又，则为正三角形，的底为 ，高为，所以 解法二： 由焦点到准线的距离为2，因为直线的斜率为 ，所以，则，又，则为正三角形，则，则 ，所以，选C变式1 已知抛物线的焦点为，准线与 轴的交点为，点在 上且，则的面积为（ ）A B C D解析 由题意知，准线为，即，过点A作AB垂直于准线，垂足为B，由抛物线定义知，由题设知，所以在直角三角形ABK中，所以，且轴，轴，则，所以，故选B变式2 【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知

15、是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.分析：由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程.解析：（）解：设的坐标为.依题意，解得，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，

16、或.由点异于点，可得点.由，可得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.最有效训练题44 最有效训练题44（限时45分钟）1抛物线上有一点，它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为( )A B C D2.若点到直线 的距离比它到点 的距离大1,则点的轨迹为( )A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 3.已知抛物线 ,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( )A相离 B相切 C相交 D不能确定4. 已知双曲线的离心率为2,若抛物线 的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线 的方程为( )A B C D5. 等轴双曲线

17、的中心在原点,焦点在 轴上, 与抛物线的准线交于两点, ,则的实轴长为( )A B C D6. 已知 为抛物线 上两点,点的横坐标分别为,过分别作抛物线的切线,两切线交于点 ,则点的纵坐标为( )A B C D7. 已知以为焦点的抛物线 上的两点 满足，则弦 的中点到准线的距离为 8若点是抛物线的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则 9已知点 ，动点在抛物线上运动，则取得最小值时的点的坐标是 10已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点（1）若有点，求的最小值，并求出取最小值时点的坐标（2）若点的坐标为，求的最小值（3）若点在轴上的射影是，点的坐标是，求的最小值.11已知抛物线方程 （1

18、）若抛物线焦点坐标为，求抛物线的方程 （2）若动圆过，且圆心在该抛物线上运动，是圆和轴的交点，当满足什么条件时，是定值？12如图10-14所示，已知点，均在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点重合。（1）写出该抛物线的方程及焦点的坐标 ； （2）求线段的中点的坐标； （3）求所在直线的方程.最有效训练题441A 解析 依题意，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，则有，故，抛物线的方程为，故选A2D 解析 依题意，动点P的轨迹到点的距离等于到直线的距离，故点P的轨迹满足抛物线的定义，故选D3B 解析 设过焦点的弦与抛物线交于点A，B，则(A1，B1为过点A，B向抛物线的准线作垂线的垂足)，所以，结合梯形中位线的定义可知以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，故选B4D 解析 由双曲线的渐近线方程为，因为，所以，则双曲线的渐近线方程为，抛物线的焦点到直线的距离，得，抛物线C2的方程为，故选D5C 解析 设等轴双曲线C的方程为，双曲线C与直线 相交于A，B两点，且，得，故，则双曲线C的方