力学电子第3章

1、第3 章第三章能量守恒定律 第3 章3.1 功和能3.1.1 动能定理 已知力是位矢函数 F(r),试求质点从 A点(r = rA)经过路径L到B点(r = rB)的速率v(rB)牛顿第二定律： F(r) = mdv/dt F(r)dr = (mdv/dt)dr = mdvdr/dt = mvdv = m(vxdvx + vydvy + vzdvz ) = mvdv经过路径L: AB LF(r)dr = VaVb mvdv = mvB 2/2 - mvA2/2第3 章 LF(r)dr = mvB 2/2 - mvA2/21、功： dA = F(r)dr = Fds cos = Ft ds A

2、= LF(r)dr = L Ft ds 功率：P = dA/dt = F(r)dr/dt = F(r) v2、动能：Ek= mv 2/2 = P2/2m (与参考系有关)在SI制中功单位焦耳(J)，功率单位瓦特(W) 动能和功的单位是一样的，但意义不同。功 Work 反映力的空间积累，其大小取决于过程，是个过程量；动能 Kinetic Energy 表示物体的运动状态，是个状态量。第3 章 3、动能定理 质点： A = EkB - EkA质点系： A外力+ A内力 = Ek - Eko 其中 Eko 和 Ek 分别表示质点系的初态和末态总动能第3 章例3-2 一弹簧放在水平位置上，如图所示，把

3、质量为 m的质点向右移动一距离 L，然后释放。当质点离平衡位置的距离为 x 时，试求它的动能。解：当弹簧伸长一距离 x 时，弹簧对质点的作用力： F = - kx ( k为倔强系数 ) 当质点被释放时，x=L，F= - kL，v0= 0，因而初动能为零。Fm0Xkx第3 章 令 v 表示在中间位置 x上的速率，把质点从 L 移至 x 时对质点所作的功为 A = Lx Fdx = Lx - kx dx = k(L2 - x2)/2根据动能定理可得： mv2/2 - 0 = k(L2 - x2)/2因此上式表明，只要 x 的绝对值相同，速率便具有相同的值；也就是说，质点的运动对称于O点。在 x 处

4、的速度 vx =v，说明该处的质点可向左或向右运动。同时表明质点的运动将限于在 x = -L 和 x = +L 的范围内。第3 章例 3-2 一链条总长为 L，质量为 m，放在桌面上，并使其下垂，下垂一端的长度为 a。设链条与桌面之间的摩擦系数为，令链条由静止开始运动，则 (1) 链条离开桌面的过程中，摩 擦力对链条作了多少功 ？(2) 链条离开桌面时的速率是多少 ？解：设链条线密度为= m/L1、建立坐标 OX 轴，链条下 垂一端的长度为 x ，则 摩擦力：f =g（L - x）OL - xxX第3 章 f = mg（L - x）/ L摩擦力作功：Af = -aL f dx = -aL mg

5、（L-x）/ Ldx = -mg（L-a）2 / 2L2、重力作功：AG =aL mgx/Ldx = mg（L2 -a2 ）/ 2L动能定理：Af + AG = mv2 / 2 - mvo2 / 2因为 vo = 0 OL - xxX第3 章例3-1 一对作用与反作用力所作的功设 质点 质量 位矢 位移 作用力 1 m1 r1 dr1 F12 2 m2 r2 dr2 F21其中 F12 为质点 2 对 1 的作用力 F21 为质点 1 对 2 的作用力 F12 和F21是一对作用和反作用力，由牛顿第三定律可知： F12 = - F21 这对作用和反作用力所作的功为： dA = F12 dr1

6、+ F21 dr2 = F12 ( dr1 - dr2 ) = F12 dr12第3 章 dA= F12 dr12上式表明： 一对作用和反作用力所作的功只与 F12 和相对位移 dr12 有关，而这两者都是不随参考系而变化的，由此得出结论： 任何一对作用力所作的功与参考系选择无关，而一般单个力所作的功与参考系有关。第3 章3.1.2 势能 Potential Energy1、保守力 Conservative Force 与势能 如果一个力仅取决于质点的位矢 r，并且力所作的功 A 可用 Ep(r) 这个量在始点处和终点的量值之差来表示，而与所经历的路径无关，则该力称为保守力，量 Ep(r)称为

7、势能，它是质点位置的函数。因此 A = AB F(r)dr = - ( EpB - EpA )此式表示保守力作功等于势能增量的负值。 势能通常被定义为含有任意常数，我们可将势能的零点定在任何方便的位置处。第3 章 如果路径是闭合，亦即 A 和 B 是同一点，则 EPA= EPB ，于是净功等于零，即 A闭合 =F dr = 0积分符号上的圆圈表示路径是闭合的。 因此，对于保守力沿任一闭合路径的功为零。反之可以证明F dr = 0 的条件也可作为保守力的又一定义。 设 EpA= 0根据 A = AB F(r)dr = - ( EpB - EpA ) 得 EpB = - AB F(r)dr 或 E

8、pB = BA F(r)dr 积分关系第3 章3-4 质点在随位置而变的外力F = 2y i+4x2 j (N)作用下,从原点运动到 c (2,1) (m)点。试分别计算 F 沿下列路径所做的功：(1)沿路径oac； (2)沿路径obc； (3)沿路径oc；(4) F 是保守力还是非保守力？试解释之。解：(1) 路径 oac：oa：y=0 （0 x 2) ac：x=2 （0 y 1) Aoac = o2 Fxdx + o1 Fydy = o2 2y dx + o1 4x2dy = o2 0 dx + o1 4 22dy = 16 ( 1- 0 ) = 16 Jcoabyx第3 章(2) 路径

9、obc：ob：x=0 （0 y 1) bc：y=2 （0 x 2) Aoac = o2 Fxdx + o1 Fydy = o2 2y dx + o1 4x2dy = o2 22 dx + o1 0 dy = 4 ( 2 - 0 ) = 8 J(3) 路径 oc：y = x/2 （0 x 2) Aoac = o2 Fxdx + o1 Fydy = o2 2y dx + o1 4x2dy = o2 x dx + o1 16 y2dy = x2/2o2 + 16y3/3o1 = 2 + 16/3 = 22/3 J第3 章 2、力与势能关系 S 方向上的分量：FS = - dEp/ds其中 dEp/d

10、s 叫做 Ep的方向导数。 证明：在 S方向上作位移 ds，保守力作功： FS ds = - (Ep + dEp ) - Ep = - dEp 故 FS = - dEp/dsdsEP+dEPEFSIII第3 章 当一矢量在任一方向上的分量等于一个函数在该方向上的方向导数时，这个矢量就叫做这个函数的梯度 Gradient。 因此，我们说 F是 Ep的梯度的负值，写成一般形式： F = - grad Ep = - Ep 微分关系式中“grad”代表梯度。直角坐标分量:FxxeEPe=FyyeEPe=Fzzee=EP第3 章例3-3 恒力所作的功与势能解：设质点 m 在一大小和方向都恒定的力 F作用

11、下运动，当质点沿路径从 A 运动到 B 时，恒力 F 所作的功为： A = AB F(r)dr = FAB dr = F( rB - rA ) = F rB - F rA 结论: 恒力 F 所作的功与路径无关。第3 章 举例: 重力为一恒力，F = mg = - mg j ( j 为竖直向上的单位方向矢量 )，则重力作功： A = F rB - F rA = - mg j ( rB - rA ) = - mg ( hB - hA ) = mghA - mghB 显然，重力作功与质点的路径无关，只取决于路径二端点的高度差 hB - hA，因此重力是保守力。重力势能： Ep= mgh第3 章例3-

12、4 有心力作功与势能解：设有心力的力心为参考系原点O，一般有心力可表示为 F(r) = F(r) ro 其中 ro 为 r 的单位矢量。有心力作功为： A = AB F(r)dr = AB F(r) rodr = rA rB F(r)dr （路径无关） 所以有心力为保守力，并且相应的势能仅取决于质点至力心的距离，即 Ep= Ep(r) = - F(r)dr 第3 章Ep = - F(r)dr例如：(1) F(r) = k /r2 Ep = - F(r)dr =k /r2dr = k /r + C对于与 r 成反比的势能，在决定 C时，习惯上取 r=处的 Ep=0，所以C=0，因而有： Ep=

13、k /r 此式在研究万有引力和库仑力时十分有用。 （2）一维有心力 F = - kx （弹性力） Ep= - Fdx = kxdx = kx2 /2 + C习惯上令 x= 0时，Epo= 0，所以 C=0，因而 Ep= kx2 /2 这个式子在讨论振动时是很有用的。第3 章3.2 能量守恒定律3.2.1 功能原理 假定内力是保守的，则存在内势能 Epi 内势能 每对质点势能、与参考系无关 当时刻 t0 t，内力作功Ai和 Epi 存在关系 Ai = Epi,0 - Epi Ae + Ai = Ek - Ek0 ( 质点系动能定理 ) Ae + Epi,0 - Epi = Ek - Ek0Ae

14、= ( Ek + Epi ) - ( Ek0 + Epi,0 ) 即功能原理： Ae = U - U0 Ek = i mivi2/ 2 Epi = ijij Epij 系统原能： U = Ek + Epi第3 章 3.2.2 能量守恒定律 考虑孤立系统或外力作功为零(Ae= 0)于是 U = Ek + Epi =恒量即：一个孤立质点系的动能和内势能之和(即原能)恒保持不变。这个重要结论称为能量守恒定律。 到目前为止，这个定律是作为动量守恒和内力为保守力这个假设的结果而出现的。然而，我们在宇宙中所观察到的所有过程中，这个定律都是成立的，因此可认为它已超出了我们在叙述它对所曾采用过的特殊假设而是普

15、遍成立的定律。第3 章 若作用在质点系上的外力也是保守力Ae = Epe,o - Epe式中 Epe 和 Epe,o分别为时间 t 和 to时与外力相关的势能。因此： Epe,o - Epe = U - Uo U + Epe = ( U + Epe )。质点系总能量：E =U + Epe= Ek+ Epi+ Epe结论：当质点系在保守内力和保守外力作用下运动时，其总能量保持为恒量。第3 章 例如：两个质点 m1和 m2，它们被一弹性系数为k的弹簧联结在一起，如果该系统被抛在空中（无其他外力作用）， 动能：Ek = m1v12 / 2 + m2v22 / 2 内势能：Epi = k x2/ 2

16、（ x是一弹簧的形变）外势能：Epe = m1gh1 + m2gh2h1、h2 分别是 m1和 m2 在地球表面上的高度系统原能：U = m1v12 / 2 + m2v22 / 2 + k x2/ 2 总能量：E = m1v12 / 2 + m2v22 / 2 + k x2/ 2 + m1gh1 + m2gh2 在运动过程中：总能量必须保持为常量。第3 章 3.2.3 克尼希定理 资用能1、克尼希定理(1)内动能 Eki ：相对于C-参考系的动能(2)内能 Ui ：内动能和内势能之和。即 Ui = Eki + Epi = ( Ek + Ep ) i(3)克尼希定理 在相对运动为 V 的两个参考

17、系 K，K之间作速度变换： vi = vi + V Ek = mi vi2 /2 = mi (vi + V)2 /2 = mi (vi 2 + V2 + 2 vi V) /2 = Ek + MV2 / 2 + mivi V第3 章 Ek = Ek + MV2 / 2 + mivi V 如果 K系是 C-质心系，则 miviC = 0，V = vC ， Ek记为 Eki 称为内动能，则Ek = Eki + MvC2 / 2系统平动动能或轨道动能：EkC= MvC2 / 2 表示质量为 M =mi 的质点以该系质心的速度运动时的动能。克尼希定理：质点系的总动能等于相对于质心系的动能 Eki与系统平

18、动动能 EkC 之和。结论：系统的运动可以分成两部分， 之一是以质心速度运动的平移运动， 之二是相对于质心的内运动。第3 章 让我们再来考虑一下（1）投掷手抛出一个旋转球的情形 球对地面的总动能是相对于质心的内动能 ( 它对应于旋转动能 ) 与相对于地面的平动动能 ( 它对应于轨道动能 )这二者之和。（2）单个分子运动 一般说来，我们感兴趣的是内运动，由于这个原因，在许多过程的描述中，我们采用 C - 参考系。第3 章 对于由两质点组成的质点系，引入相对速度的观念 u = v1- v2 = v1- v2 是方便的。因为在质心系中m1v1C+ m2v2C = 0可解得：v1C = m2 u /(

19、m1+ m2) v2C = - m1 u /(m1+ m2)从而相对于质心系的动能为： Eki = m1v1C2 / 2 + m2v2C2 / 2 = (m1m22 + m2m12) u2 / 2(m1+ m2) 2 = m1m2 /(m1+ m2) u2 / 2 = u2 / 2 E相对其中 = m1m2 /(m1+ m2) 称为折合质量第3 章2、资用能 近代高能物理学为了研究微观粒子的结构、相互作用和反应机制，需要使用加速器把粒子加速到很高的能量去碰撞静止靶子中的粒子，以观测反应的结果，与理论互相印证。能量越高，越能反映出更深层次的信息。然而，在实验室参考系内EKi是不参与粒子之间反应的

20、，真正有用的能量，即资用能，只是高能粒子与靶粒子之间的 E相对 。 若 m1 = m2 = mo，M = 2mo ， = mo/ 2，vC = u / 2，则 E相对 = EK / 2，即资用能只占总能量的一半。第3 章 3.2.4 能量的形式(1)机械能：宏观上机械运动相联系的动能和 势能(2)热 能：与分子运动相联系的动能(3)化学能：与电子所引起的，原子和分子的 重新分布相联系的能量(4)电 能：与带电粒子的运动所引起的能量 总之，能量是物理学一个极为普遍，极为重要的物理量，它具有机械能，热能、电磁能、化学能、生物能、核能等多种形式，各种形式的能量可以相互转换。能量这一概念的重大价值，在

21、于它转换时的守恒性。第3 章 物理学史上不止一次地发生过这样的情况。在某类新现象里似乎有一部分能量消失了或凭空产生出来，后来物理学家们总能够确认出一种新的能量形式，使能量的守恒律得以保持。虽然我们不能给能量下个普遍的定义，但这决不意味着它是一个可以随意延拓的含糊概念。关键的问题是科学家们确定了能量转换的各种当量，从而使得能量守恒定律可以用实验的方法加以定量地验证或否定。此外，每确认出一种新形式的能量之后，在其基础上建立起来的理论，又能定量地预言一大批新效应，后者经受住了新实验的检验。第3 章3.2.5 机械能守恒定律 机械运动：宏观物体在宏观上的运动从宏观上看: 内力中可能有非保守内力例如：摩

22、擦力是非保守内力因为: (1)滑动摩擦永远与相对位移的方向相反，它所作的功取决于运行的路径，而且即使路径闭合，功也不为零。 (2)流体的摩擦与相对速度的方向相反，它取决于速度而不是位置。 但我们绝不能认为，由于象摩擦这类非保守力的存在，就必须意味着在基本粒子间也可能有非保守性相互作用的存在。第3 章 我们说摩擦力并不是相当于两个质点之间的某种相互作用，它实际上是一种统计的概念.举例来说: 滑动摩擦是两个相互接触的物体大量分子间的许多个别相互作用的结果。每一个个别的相互作用都可以用一个保守力来表示，但宏观效应却是非保守性的。其原因是虽然当一物体完成了某一闭合轨道时，从宏观上看，它回到了原来的位置

23、，但是就大量的个别分子而言，它们并没有恢复到各自原来的状态。所以从微观上来看，最终状态和初始状态并不一样，甚至在统计意义上也不是等效的。第3 章 宏观上：内力 = 保守内力 + 非保守内力 保守内力作功： Aic = Epio - Epi非保守内力作功： Aid 保守外力作功： Aec = Epeo - Epe非保守外力作功： Aed 质点系动能定理： Ae + Ai = Ek - Ek0 Aed + Aec + Aid + Aic = Ek - Eko Aed + Epeo- Epe + Aid + Epio - Epi = Ek - Eko Aed+Aid = (Ek + Epi + Ep

24、e ) - (Eko+ Epio+Epeo) = ( Ek + Ep ) - (Eko+ Epo) = EM - EMo第3 章 1、机械运动的功能原理： Aed + Aid = EM - EMo宏观上，总势能：Ep = Epi + Epe 总动能：Ek 总机械能：EM = Ek + Ep物理意义： 非保守力（非保守外力和非保守内力）所作的总功等于系统总机械能的增量。2、机械能守恒定律： 如果非保守力作功为零( Aed + Aid = 0)，则系统的总机械能( Ek + Ep)保持不变。第3 章3.3 一维势能的讨论OXEPABDCFGHIK第3 章例3-5 处于保守力场中的某一质点被限制在

25、x 轴上运动，它的势能Ep(x)是 x 的函数，它的总机械能 E 是一常数，设 t = 0 时，质点位置为 x0 。如果质点在以后运动过程速度方向恒指向 x 轴正方向，试求质点位置 x 与时间 t 的关系。解：在 t 时刻，质点位置为 x ，速度为 v。机械能守恒定律： E= mv2/ 2 + Ep(x) = m(dx/dt)2/ 2 + Ep(x)第3 章第四节碰 撞 第3 章3.4 碰撞 Collision3.4.1 碰撞的定义 当两个质点(或系统)相互接近时，它们的相互作用改变它们的运动，从而引起动量和能量的交换，这时我们说发生了碰撞。 它表示当两个质点靠近时开始出现相互作用，这种相互作

26、用在较短的时间内使它们的运动发生可测量的变化。并不一定表示这两个质点象两个台球或两辆汽车之间的宏观那样，在微观意义上发生过直接接触。例 1：如果一个电子或者一个质点接近一个原子，则电力开始发生作用，使质点的运动发生显著的扰动。第3 章 例 2：慧星接近太阳系时，它的路径发生弯曲，这也是一种碰撞。例 3：在某些碰撞中，最后的质点或系统不与最初的相同。 例如，在原子A和分子BC之间的碰撞中，最后的结果可能是分子AB和原子 C。 在某些碰撞中，最后的粒子或系统与最初相同，有时用散射这个词表示碰撞。 由于在碰撞中只有内力发生作用，所以动量和总能量都守恒。虽然我们在碰撞中仅提到能量守恒和动量守恒，但必须

27、记住，在碰撞中角动量也是守恒的。注意：在碰撞中机械能并不守恒第3 章 在实验室的碰撞实验中，碰撞前各质点的运动通常是准确地知道的，因为这些运动取决于这实验是如何准备的。例如一个质点可以是一个在静电加速器中被加速的质子或电子，而另一个质点可以是一个实际上在实验室中静止的原子，然后观察未态，即这两个质点在离开它们的碰撞区域很远处的运动。如果我们知道这两个质点之间的作用力，那么，只要我们知道初态，就能算出末态，因此，对这种实验进行分析，就能够得到关于碰撞质点之间的相互作用的重要信息。这是物理学家对碰撞实验如此感兴趣的原因之一。第3 章3.4.2 碰撞分类1、碰撞特征量 Q Q = Ek - Ek =

28、 Epi - Epi(1)弹性碰撞：Elastic Collision Q = 0 动能、内势能没有变(2)非弹性碰撞： Inelastic Collision Q 0 第一类非弹性碰撞 Endoergic ： Q0 动能减少而内势能增加 第二类非弹性碰撞 Exoergic ： Q0 动能增加而内势能减少(3)完全非弹性碰撞：两物体结合在一起。第3 章 2、恢复系数 e Coefficient of restitution 牛顿碰撞定律： e = (v2 - v1)/(v10 - v20 ) v10- v20 表示 物体 1 接近物体 2 速度 ； v2 - v1 表示 物体 2 分离 物体

29、1 速度 。恢复系数 e 由两物体的质料决定 。 e = 0 完全非弹性碰撞 e = 1 弹性碰撞 0 e 1 非弹性碰撞v10v20碰撞前v1v2碰撞后第3 章例3-7：测定恢复系数：将一种材料制成小球，另一种材料制成平板，水平放置，使小球从高度 H 处自由落下。设小球反跳的高度为 h，求该材料的恢复系数。解：小球在碰撞前后的速度分别为： v10 =( 2gH )1/2, v1 = -( 2gh )1/2 .而平板在碰撞前后的速度分别为：v20 = 0, v2 = 0 .两种材料的恢复系数为： e = (v2 - v1 )/( v10 - v20 ) =( 2gh )1/2/( 2gH )1/2 = ( h/H )1/2Hhv10v1第3 章例3-8 设质量为 m1的粒子 1以速度 V1与原来静止的粒子 2发生对心的弹性碰撞，粒子2的质量为 m2，碰撞后粒子2的速度为V2。又设粒子 1仍以速度 V1与原来静止的粒子 3发生对心的弹性碰撞，粒子 3的质量为 m3，碰撞后粒子 3的速度为V3。求粒子 1的质量 m1。解：考虑粒子 1与粒子 2的碰撞动量守恒: m1V1 + m2 V2 = m1V1 + m2 V2 弹性碰撞 e = 1： V1 - V2