2022高考总复习 数学(人教A理一轮)3.1　导数的概念及运算

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI3.1导数的概念及运算第三章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破必备知识 预案自诊【知识梳理】 3.函数f(x)的导函数:一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)内的每一点x处都有导数,导数值记为f(x),则f(x)是关于x的函数,称f(x)为f(x)的,通常也简称为导数.斜率导函数4.基本初等函数的导数公式 原函数导函数f(x)=c(c为常数)f(x)=0f(x)=x(Q,0)f(x)=f(x)=sin xf(x)=f(x)=cos xf(x)=f(x)=ax(a0,且a1)f(x

2、)=f(x)=exf(x)=f(x)=logax(a0,且a1)f(x)=f(x)=ln xf(x)=x-1 cos x -sin x axln a ex 5.导数的运算法则(1)f(x)g(x)=;(2)f(x)g(x)=;f(x)g(x) f(x)g(x)+f(x)g(x) 6.复合函数的导数复合函数y=f(g(x)的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx=,即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积.yuux y对u u对x 常用结论1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.2.函数y=f(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势

3、,其正负号反映了变化的方向,其大小|f(x)|反映了变化的快慢,|f(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.【考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)f(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.()(2)求f(x0)时,可先求f(x0)再求f(x0).()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.()(5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.()2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为 ,那么速度为零的时刻是()A.0 sB.1 s末C.

4、2 s末D.1 s末和2 s末答案 D 3.(2020全国1,理6)函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1,f(1)处的切线方程为()A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+1答案 B解析 对函数f(x)求导可得f(x)=4x3-6x2,由导数的几何意义知在点(1,f(1)处的切线的斜率为k=f(1)=-2.又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.答案 2x+y-3=0 答案1 关键能力 学案突破考点1导数的运算【例1】分别求下列函数的导数:(1)y=excos x;思考函数求导应遵循怎样的原则?解题心得 函数求导应遵

5、循的原则:(1)求导之前,应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)进行导数运算时,要牢记导数公式和导数的四则运算法则,切忌记错记混.(3)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.对点训练1求下列函数的导数.(1)y=x2sin x;考点2导数几何意义的应用(多考向探究)考向1过函数图象上一点求切线方程【例2】 已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2)处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.解 (1)f(x)=3x2-8x+5

6、,f(2)=1,又f(2)=-2,曲线在点(2,f(2)处的切线方程为y+2=x-2,即x-y-4=0.解题心得求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线方程是y-f(x0)=f(x0)(x-x0).求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解.对点训练2(1)已知函数f(x)=xln x(x0),若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D.x-y+1=0(2)(2020全国1,文15)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜

7、率为2,则该切线的方程为.答案 (1)B(2)y=2x解析 (1)f(x)=ln x+1,x0,设直线l的方程为y=kx-1,直线l与f(x)的图象的切点为(x0,y0),考向2已知曲线切线方程(或斜率)求切点【例3】 (1)(2020湖北高考模拟,理13)设曲线y=ex+1上点P处的切线平行于直线x-y-1=0,则点P的坐标是.答案 (1)(0,2)(2)ln 2 解题心得已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.对点训练3设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x0)上点P处的切线

8、垂直,则点P的坐标为.答案 (1,1) 考向3已知切线方程(或斜率)求参数的值【例4】 若曲线f(x)=xln x+2m上点P处的切线方程为x-y=0.(1)求实数m的值;(2)若过点Q(1,t)存在两条直线与曲线y=f(x)相切,求实数t的取值范围.解 (1)设点P坐标为(n,n).f(x)=xln x+2m的导数为f(x)=1+ln x,点P(n,n)处的切线斜率为1+ln n=1,可得n=1,即切点为(1,1),则1=2m,解得m= .(2)f(x)=xln x+1.设切点为(u,v),则切线的斜率为f(u)=1+ln u,即有切线的方程为y-uln u-1=(1+ln u)(x-u).

9、代入点Q(1,t),即有t-uln u-1=(1+ln u)(1-u).即为t-2=ln u-u,在(0,+)上有两实数解,记g(u)=ln u-u,导数为g(u)= -1.当u1时,g(u)单调递减,当0u1时,g(u)单调递增,可得当u=1时,取得最大值g(1)=-1,即有t-2-1,解得t1.故实数t的取值范围为(-,1).解题心得已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜率的方程.对点训练4(2020天津河北区线上测试,17)已知曲线f(x)=axln x-bx(a,bR)在点(e,f(e)处的切线方程为y=3x-e,则a,b的值分别为,.答案 1-1 要点归纳小

10、结1.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.对于复合函数求导,关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后“由外及内”逐层求导.2.导数的几何意义是函数的图象在切点处的切线斜率,应用时主要体现在以下几个方面:(1)已知切点A(x0,f(x0)求斜率k,即求在该点处的导数值k=f(x0);(2)已知斜率k,求切点B(x1,f(x1),即解方程f(x1)=k;(3)已知切线过某点M(x1,f(x1)(不是切点)求斜率k,常需设出切点A(x0,f(x0),求导数得出斜率k=f(x0),列出切线方程代入已知点坐标求解或利用 求解.要点归纳小结1.利用公式求导时,不要将幂函数的求导公式(xn)=nxn-1(nQ*)与指数函数的求导公式(ax)=