8.4空间直线及其方程教案

1、8.4空间直线及其方程教案8.4空间直线及其方程教案8.4空间直线及其方程教案山东理工职业学院教案首页 学年 第 学期课程名称 高等数学任课教师授课班级授课时间第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 节第 节第 节第 节第 节第 节 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授课课题84空间直线及其方程教学目的1.掌握直线方程及其求法。2.会求直线与直线、平面之间的夹角，并会利用直线、平面相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。教学重点会求直线与直线、平面之间的夹角，并会利用直线、平面相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。教学难点1.掌握直线方程及其求法。

2、2.会求直线与直线、平面之间的夹角，并会利用直线、平面相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。教学用具备 注复习检查引入新课引入新课新授课引入概念讲解公式小结小结作业考勤一、导入新课 空间任意一条直线总可以看成两个平面的交线。由空间平面的相关知识我们来学习空间直线。二、讲授新课（一）直线方程的一般方程设直线是平面和的交线，所以可以用方程组 （4） 来表示直线的方程。我们把方程组（4）称为直线的一般方程。（二）直线的参数式方程和对称式方程（或称着直线的点向式方程）直线的一般方程虽然使用起来比较方便，但是它看不清楚直线的位置。由立体几何知识知道，过空间一点作平行于已知直线的直线是唯一的。因此如

3、果知道直线上一点及与直线平行的某一向量，那么该直线的位置便被唯一确定。 直线的方向向量：与直线平行的非零向量。直线的一组方向数：任一方向向量的坐标。注：一条直线的方向向量由无穷多个，它们之间互相平行。直线方程可以由它的方向数和定点坐标表示出来。在空间给定一点和一个非零向量，那么通过点且与向量平行的直线就被惟一确定。我们把向量称为直线的方向向量。显然，任何一个与直线平行的非零向量都可以作为直线的方向向量，即有无数多条直线的方向向量。设点为直线上任一点，则向量在直线上，可以作为直线的一个方向向量，因此，根据向量平行的充要条件，存在实数，使得，即 （5） 我们把（5）称为直线的参数方程，其中为参数。

4、 从直线的参数方程（5）中消去参数，得到 （6） 我们把（6）称为直线的对称式方程。因为该方程是由直线上的一点和它的一个方向向量所确定的，因此我们又把它称为直线的点向式方程。注意：在（6）式中，当一个或两个分母为零时，我们约定分子也为零。（三）直线的两点式方程例1 求通过空间两点与的直线的方程。解 因为直线经过点和，所以我们可以取向量作为直线的方向向量。因此，直线可以看成经过点且以为方向向量的直线，所以直线的点向式方程为 （7）我们把（7）称为直线的两点式方程。例2 求通过点且垂直于平面的直线方程。解 由于所求直线垂直于已知平面，所以可以取平面的法向量作为直线的方向向量，故所求的直线方程为 例

5、3 化直线的一般方程 为对称式方程。解 因为直线是两个平面的交线，故直线与两个平面的法向量所以它的方向向量同时垂直于这两个平面的法向量。而这两个平面的法向量分别为和都垂直，因此可以取直线的方向向量为 由于方向向量的三个坐标都不为零，我们可以在直线上任取一点，如取，代入直线的一般方程，得 解出，则点在直线上。故直线的对称式方程为 （四）点到平面的距离设点是平面：外的一点，则点到平面的距离：例4 求点到平面的距离。解 （五）两直线之间的夹角我们规定：空间两条直线的方向向量夹角中不超过的角为这两条直线的夹角。（图8-20）设两条直线和的方向向量分别为和，则和夹角的余弦为 由此可得：直线和垂直的充分必

6、要条件为 ；直线和平行（或重合）的充分必要条件为 。例5 求直线 与的夹角。解 直线和的方向向量分别为和，则故 例6 求直线在平面上的投影直线的方程。 解： 过直线作平面与平面垂直。显然直线的方向向量及平面的法向量都与平面平行，故向量积与平面垂直，即它是平面的一个法向量。而 又直线上的点（1，-1，0）在平面上，于是平面的方程为 即 所以，投影直线的方程为 （六）直线与平面的夹角我们规定：当直线和平面平行或在平面上时，它们的夹角为0；当直线和平面垂直时，它们的夹角为；当直线和平面既不平行也不垂直时，它们的夹角为图8-21直线和它在平面上的投影直线所构成的锐角（如图8-21）。设直线的方向向量为，平面的法向量为，它们的夹角为，则于是由此可知，直线和平面平行或在平面上的充分必要条件是 直线和平面垂直的充分必要条件是，即 例7 求直线与平面的夹角。解 ，于是 所以。四、小结1、直线的一般方程：2、直线的参数式方程和对称式方程：3、直线的两点式方程： 4、点到平面的距离：5、两直线之间的夹角：直线和垂直的充分必要条件为 ；直线和平行（或重合）的充分必要条件为 。6、直线与平