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1、6.3定积分的换元积分法和分部积分法教案6.3定积分的换元积分法和分部积分法教案6.3定积分的换元积分法和分部积分法教案山东理工职业学院教案首页 学年 第 学期课程名称 高等数学任课教师授课班级授课时间第 周第 周第 周第 周第 周第 周星期星期星期星期星期星期第 节第 节第 节第 节第 节第 节 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日 月 日授课课题6.3定积分的换元法与分部积分法教学目的1.理解定积分的换元法与分部积分法的概念。2.会用定积分的换元法与分部积分法求简单函数的定积分。教学重点用定积分的换元法与分部积分法求简单函数的定积分。教学难点用定积分的换元法与分部积分法求简单函数的定积分

2、。教学用具备 注山东理工职业学院教案纸教学过程教 学 内 容教学方法复习检查引入新课引入新课新授课考勤与不定积分类似，定积分的计算有有相应的换元法与分部积分法，而且思路基本一致但读者需注意计算定积分与不定积分的区别.定积分的换元法 定理1 设函数在区间上连续，函数在区间上单调且有连续导数；当在上变化时，在上变化，且，则 . 上式称为定积分的换元公式.这个公式与不定积分换元法类似，它们的区别是：不定积分换元求出积分后，需将变量还原为；而定积分在换元的同时，积分限也相应地变化，求出原函数后不需将变量还原，直接根据新变量的积分限计算.注意：换元必须换限.例1 计算.解 令，则；当，；，；则例2 计算

3、.解 令，则，；当，；，；故.例3 计算.解 令，则；当，；，；则.例4 计算.解 令，则；又，；，；故 .例5 设函数在区间上连续，证明：(1)若，则；(2)若，则 证 因为，令，则有，故 .(1)当时，；(2) 当时， 本例说明了奇函数、偶函数在对称区间上的积分特点，其结论可直接应用.如果用第一换元法(凑微分法)求原函数，一般不用设出新变量，因此原积分限不变.例6 计算.法1 .解法2 令，则；.例7 计算.解法2 令，则，； .定积分的换元法：若f，在相关区间内连续，u=(x)，(a)=， (b)=， (x)0，x(a，b) 第一类：= ；x=(t)，()=a， ()=b， (t)0，t

4、(，) 第二类： 定积分的分部积分法定积分的分部积分法与不定积分的分部积分法有类似的公式.例1 计算 解 先用分部积分法求的原函数： = =分部与双重代换同时进行，即以下面方式完成： = 定理2 设函数在区间上有连续的导数，则有 或 上式称为定积分的分部积分公式.使用定积分的分部公式与求不定积分的分部积分法相同.在使用时要注意：右式中的应比所求积分容易求得；或右式中的与所求积分是相同的积分（循环积分），再合并后求出积分.例2 计算.解 .例3 计算.解 .例4 计算 .解 所以 .例5 计算.解 . 例6 求定积分：(1)；(2) 解 (1)= =0+2=2 (2)= =(e 21)+=(e 21)+ =(e 21)移项得2= e 21，所以 =(e 21)练习利用换元积分法计算下列定积分

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