专题06 不等式（理）（教学案）

1、专题六不等式一.考场传真.L【2015高考四川，理9】如果函数2)/+( 8卜+ 1(m20, 20)在区间2上单 TOC o 1-5 h z 22(D)812调递减，则2的最大值为()(A) 16(B) 18(C) 25【答案】B【解析】根W2时，抛物线的对称轴为根W2时，抛物线的对称轴为x =上学.据题意“当机2时，2二色22即m-2m-2/ 2/tz i 几2m+n12 .: y/2m-n 6,/. mn W18 .由 2m=且 2m+ = 12 得m=3, = 6 .当机 2时，抛2物线开口向下，据题意得，2二学工工即加+218.T荷工如也2,故应舍去.要使得机取得最大值，应有m+2

2、= 18 (m8).所以mn = (18-2/? (18-2x8)x8 = 16,所以最大值为 18选 B.y W 0,2.12015高考北京，理2若x, y满足x+yWl,则z = x + 2y的最大值为()0,C.-C.-D. 2【解析】如图，先画出可行域，由于z = x + 2p,则p =+ 令Z = 0,作直线p = -( X , TOC o 1-5 h z 222在可行域中作平行线，得最优解(0,1),此时直线的截距最大，Z取得最小值2.3.12015高考广东，理6】若变量，满足约束条件则的最小值为()A.B. 6C.D.4【答案【解析】不等式所表示的可行域如下图所示，37.二一-1

3、 由n=3x+2i得1,=一二x+二，由上图结合题意可知当目标函数直线八丫 = -二x+二经过a时，z4 23取得最小值即z, =3xl + 2x =二，故选。学科曲 山 e.A A【考点定位】二元一次不等式的线性规划.4. 2015 高考陕西，理 9】设/(x) = lnx,0 ，若 p = f(4ab)，q = /() , r = (/(6Z)+ /(/?),则下列关系式中正确的是()A. q rpC. p rq【答案】c【解析】p(病=ln而，q = f(等) = ln等=支3) +)=9成=ln而,函数/(x) = lnx在(0,y)上单调递增，因为土也J%,所以/(竺茄)，所以q =

4、 r,故选C.x + 205.12015高考天津，理2】设变量满足约束条件x y + 320 ,则目标函数z = x + 6y的最大值为2x+y-30()(A) 3(B) 4(C) 18(D) 40【答案】C7.12015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A, B两种原料.已知生产1吨每种产品需 原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业 每天可获得最大利润为()A. 12万元B. 16万元C. 17万元D. 18万元甲原料限额A (吨)3212B (吨)128【答案】D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x、y吨，则利

5、润z = 3x + 4y由题意可列3x + 2y 12 x+2jQ y0其表示如图阴影部分区域:8.12015高考山东，理5】不等式5|2的解集是()(A) (-S, 4)(B) (6 1)(C) (1, 4)(1, 5)【答案】A【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;(D)(/)Jxl11 - x x - 5 21 x5(/乂x 1 + x-52x 1 x+5 2解(I)得：XV1 ,解(II)得：1%4，解(III)得：，所以，原不等式的解集为小4 .故选A.二.高考研究【考纲要求】.不等关系了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 一元二次不等式（1）会

6、从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.（2）通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（3）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.二元一次不等式组与简单线性规划问题（1）会从实际情境中抽冢出二元一次不等式组.（2）了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.（3）会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.基本不等式： 号之而力之0）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均 数的定理，并会简单的应用。（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.不等

7、式选讲一（1）理解绝时值的几何意义，并能利用含绝时值不等式的几何意义证明以下不等式：I a+b I W I a I + I b | ； I ab I W I ac I + I cb I ；（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：I ax+b I Wc；I ax+b I Nc；I x-c I + I x-b | 三a（3）通过一些茴单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.【命题规律】不等式是中学数学的主体内容之一，是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，因而是数学高考 命制能力题的重要版块.在近年来的高考数学中，有关不等式的试题都占有较大的比重.不仅考

8、查有关不 等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问 题的能力.在题型上，选择题、填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、简单线性规划的应用、绝 对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等;解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、 求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等.试题常常是寓不等式的证明、解 不等式、求参数范围于函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题之中，知识覆盖 面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地.从 近几年数学试题得到启示

9、：涉及不等式解法的题目，往往较为容易；对简单线性规划的应用的考查，不但 具有连续性，而且其题型规律易于把握；对基本不等式的考查，较多的富于综合题目之中.通过第二轮的专题复习，应注意在巩固基础知识、基本方法的基础上，强.化记忆，熟化常见题型的解法， 提升综合应用不等式解题的能力.一.基础知识整合L在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握./1 22,.对于公式疝，次7V 匕P 要理解它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了 I 2 ,和a+b的转化关系.在应用均值定理求最值时，要把握定

10、理成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为 定值；三相等等号能否取得”.若忽略了某个条件，就会出现错误.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程,因此在学习中理解保持同解变形是解不等式应遵循的基 本原则.转化的方法是:超越式 分式 整式（高次） 整式（低次） 一次（或二次）不等式.其中准确熟练 求解一元二次（一次）不等式是解其他不等式的基础，这体现了转化与化归的数学思想。5,平面区域的确定方法是“直线定界，特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所 表示的半平面的交集.确定平面区域中单个变量的范围、整点个数等，只需把区域画出来，结合图形通过 计算解决.nz76.线

11、性目标函数z=6Lx+勿中的z不是直线依+/y=z在y轴上的截距，把目标函数化为y= x+可知一 bbb是直线ad力=2在/轴上的截距，要根据b的符号确定目标函.数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值.7,含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值。常用的方法是：（1）由定义分段讨论；（2）利用绝对值不等 式的性质；（3）平方；（4）利用绝对值的几何意义.二.高频考点突破.考点1简单线性规划的应用y 2 0,x + 2y 6,y 2 0,x + 2y 0,【例1】【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知实数满足不等式组3x+y0,满足 xQ,【例21广东省广州市越秀区2014届高三

12、上学期摸底考试（理）妇知实数x j满足学+ X1,则z = x - y的最大值是.【规律方法】这是简单线性规划的应用的基本题型,基本思路是：画、移、解、代.技巧是：往往在“角点” 处取得最值，直接代入点的坐标即可.需特别注意的是目标函数中y的系数为负，所以，其取得最值的情况 与“纵截距”的大小相反.【举一反三】【2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）】若点5H位于曲线=口-“与y=2所围成的封闭区域，则%一的最小值为.考点2简单线性规划”逆向”问题，确定参数的取值（范x 0,【例3】【2014届江苏诚贤中学高三上学期月考（理）卷】已知实数与y满足约束条件%之2工+ 1,（左为 x+

13、y + 40,【举一反三】【2014届山东旧照市高三12月校际联考(理)】设实数满足约束条件j8x-y-4W0,x 0, 0若目标函数z = abx+y(a0,0)的最大值为8,则a+b的最小值为.考点3基本不等式的应用【例4】【2014届江方城贤中学高三上学期月考(理)卷】设正实数xj,z满足-3秋+ 4/z = 0,则当二取得最小值时，x + 2y-z的最大值为.【规律方法】应用基本不等式，应注意“一正、二定、三相等“，缺一不可.灵活的通过“拆、漆、代(换)”, 创造应用不等式的条件，是解答此类问题的技巧;忽视等号成立的条件，是常见错误之一.【举一反三】【2014届江苏省新课程高三上学期第

14、三次适应性考试(理)】若对满足条件x+y + 8 =盯的正实数羽y都有(x + y)2 - (x + y) +12 0恒成立，则实数a的取值范围为.考点4不等式的综合应用【例5】(2012年高考浙江卷理科22)(本小题满分14分)已知a0, /?eR,函数/(x) = 4/+ .(I)证明：当OWxWl时，(i)函数/(%)的最大值为|2q+ a；/(x) -2ab + 20；(II)若-lW/(x) W1对xwO,刀恒成立，求的取值范围.【规律方法】应用导数研究函数的单调性、极值(最值)、证明不等式，解题格式明确、规范，基本思路清 晰，能使问题解决的领域更宽广.解题过程中，注意处处应用转化与

15、化归思想，化生为熟、化难为易、化繁 为简，是解决问题的基本方法.【举一反三】已知函数f (x) = x?+ax?+bx.(1)若a = 2b,试问函数f (x)能否在x = 1处取到极值？若有可能，求出实数a, b的值；否 则说明理由.(2)若函数f (x)在区间( 1,2) , (2,3)内各有一个极值点，试求w = a4b的取值范围.三.错混辨析,.简单线性规划问题，扩大(缩小)可行域的范围.【例1】已知1 xy 2,且2x + y4,求4x2y的氾围, 2简单线性规划问题，理解题意错误.血-5-23 Mo【例2】已知 03,应用基本不等式，忽视等号成立的条件/1 v+ 8的最小值.例 3已知：a0 , b0 , a + b = 13x-y-20,y0= &+刎口040）的最大值为1,则绰的最小值为.ab2.12014届山东省潍坊一中高三10月份阶段检测】设函