辽宁省沈阳市2022届高三上学期二模数学试题及解析

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页试卷第 =page 4 4页，共 =sectionpages 4 4页辽宁省沈阳市2022届高三下学期二模数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（）ABCD3设等差数列的公差为d，则“”是“”的（）A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件42021年10月12日，习近平总书记在生物多样性公约第十五次缔约方大会领导人峰会视频讲话中提出：“绿水青山就是金山银山良好生态

2、环境既是自然财富，也是经济财富，关系经济社会发展潜力和后劲”某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为，其中k为常数，为原污染物数量该工厂某次过滤废气时，若前4个小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，那么再继续过滤2小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（）A5%B3%C2%D1%5已知数列是递增的等比数列，且，若的前n项和满足，则正整数k等于（）A5B6C7D86现有一个侧面展开图为半圆形的圆锥，其内部放有一个小球，当小球体积最大时，该圆锥与小球的体积之比是（）ABCD7已知双曲线的两个焦点为、，点M，N

3、在C上，且，则双曲线C的离心率为（）ABCD8若直线与直线是曲线的两条切线，也是曲线的两条切线，则的值为（）AB0C-1D二、多选题9如图，在方格中，向量，的始点和终点均为小正方形的顶点，则（）ABCD10甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的10次成绩分别为8，6，7，7，8，10，10，9，7，8，乙的10次成绩的平均数为8，方差为0.4，则（）A甲的10次成绩的极差为4B甲的10次成绩的75%分位数为8C甲和乙的20次成绩的平均数为8D甲和乙的20次成绩的方差为111在四棱锥中，底面ABCD为梯形，则（）A平面PAD内任意一条直线都不与BC平行B平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行C平面PA

4、B和平面PCD的交线不与底面ABCD平行D平面PAD和平面PBC的交线不与底面ABCD平行12已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（）A在上单调递减BCD三、填空题13已知抛物线的焦点为F，在C上有一点P，则点P到x轴的距离为_14已知随机变量，且，则的最小值为_15将，这5名同学从左至右排成一排，则与相邻且与之间恰好有1名同学的排法有_种.16以俄国著名数学家切比雪夫（Tschebyscheff，1821-1894）的名字命名的第一类切比雪夫多项式和第二类切比雪夫多项式，起源于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣莫弗定理有关、以递归方式定义的多项式序列，是计算数

5、学中的特殊函数有许多良好的结论，例如：，对于正整数时，有成立，成立由上述结论可得的数值为_四、解答题17已知数列满足，数列满足对任意正整数均有成立(1)求的通项公式；(2)求的前99项和18已知的内角、的对边分别为、，且(1)判断的形状并给出证明；(2)若，求的取值范围19如图，在四棱锥中，平面ABCD，且，(1)求证：；(2)在线段PD上是否存在一点M，使二面角的余弦值为？若存在，求三棱锥体积；若不存在，请说明理由20甲、乙是北京2022冬奥会单板滑雪坡面障碍技巧项目的参赛选手，二人在练习赛中均需要挑战3次某高难度动作，每次挑战的结果只有成功和失败两种(1)甲在每次挑战中，成功的概率都为设X

6、为甲在3次挑战中成功的次数，求X的分布列和数学期望；(2)乙在第一次挑战时，成功的概率为0.5，受心理因素影响，从第二次开始，每次成功的概率会发生改变其规律为：若前一次成功，则该次成功的概率比前一次成功的概率增加0.1；若前一次失败，则该次成功的概率比前一次成功的概率减少0.1（）求乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概率；（）求乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率21已知椭圆的焦距为2，且经过点(1)求椭圆C的方程；(2)经过椭圆右焦点F且斜率为的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是否存在异于点F的定点T，使恒成立？若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由22已知函数(1)若，求a的值

7、；(2)当时，从下面和两个结论中任选其一进行证明；答案第 = page 1 1页，共 = sectionpages 2 2页答案第 = page 17 17页，共 = sectionpages 17 17页参考答案：1A【解析】【分析】根据复数的除法运算，求得复数z，根据复数的几何意义可得答案.【详解】由得，故z在复平面内所对应的点为，在第一象限,故选：A2C【解析】【分析】根据韦恩图中阴影部分所表示的含义，由集合的补集和交集定义可得.【详解】集合，图中阴影部分表示，又或，所以故选：C3B【解析】【分析】结合等差数列的通项公式判断条件与结论的关系即可.【详解】必要性成立，由等差数列的可知，；充

8、分性不成立，例如：，得所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.4B【解析】【分析】根据前4小时废气中的污染物恰好被过滤掉90%，求出，再计算经过6小时，空气中剩余污染物的残留量，可得答案.【详解】由题可得，前4小时，废气中的污染物恰好被过滤掉90%，故由得，所以，即，由再过滤2小时，即共6小时，空气中剩余污染物为，故污染物所剩比率约为,故选：B5A【解析】【分析】利用等比数列的角标和性质，列方程求出，即可求解【详解】由，知，解得，所以，则，所以，解得故选：A6A【解析】【分析】根据圆锥侧面展开图为半圆，求得母线与底面半径的关系，利用当小球是圆锥的内切球时，小球体积最大，求得小球的半径，可得答

9、案.【详解】由圆锥侧面展开图为半圆，设圆锥母线为l，底面半径为R，则，所以，可知圆锥轴截面为正三角形，圆锥高为 ,又由当小球是圆锥的内切球时，小球体积最大，轴截面如图示：设此时小球半径为r，则有 ，即，故，所以，故选：A7D【解析】【分析】根据，由双曲线对称性可知，直线与交于y轴上一点P，且为等腰直角三角形，可得的坐标，分别求出，再根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】解：因为，由双曲线对称性可知，直线与交于y轴上一点P，且为等腰直角三角形，所有，如图，则，所以，则，即，则故选：D.8C【解析】【分析】利用和互为反函数推得两条公切线和也互为反函数，结合导数的几何意义表示出，进而化简可得，代入化

10、简可得答案.【详解】由和互为反函数可知，两条公切线和也互为反函数，即满足，即，设直线与和分别切于点和，可得切线方程为和，整理得：和，则，由，得，且，则，所以，所以,故选：C【点睛】本题考查了反函数的相关知识以及导数的几何意义的应用，解答时要注意利用导数的几何意义写出切线方程并进行系数的比较，从而得出参数之间的关系式.9BC【解析】【分析】结合向量的线性运算法则及数量积的几何意义，逐项判定，即可求解.【详解】如图所示，向量与向量方向不同，所以，故A不正确，作向量与向量，可得，且，故B与C正确，连接BD，则AC与BD互相垂直，所以向量与向量在向量上的射影的数量是相同的，所以，故D不正确故选：BC.

11、10ACD【解析】【分析】根据极差，百分位数，平均数和方差的定义计算求解即可【详解】甲的10次成绩中，最大值为10，最小值为6，极差等于4，故A正确，因为，所以将甲的10次成绩从小到大排列后，第8个数为75%分位数，即75%分位数等于9，故B不正确，经计算，甲的10次成绩的平均数等于8，又已知乙的10次成绩的平均数等于8，则甲和乙的20次成绩的平均数为8，故C正确，故D正确，方差也可以用进行求解，即：，所以，即，故D正确故选：ACD11ABD【解析】【分析】用反证的方法来推出与已知相矛盾的结论，可以判断A,D;用线面平行的判定定理，可判断B;用线面平行的判定以及性质定理可判定C.【详解】若平面

12、PAD内存在直线与BC平行，则平面PAD，由 平面ABCD, 平面ABCD 平面PAD ,可得，则四边形ABCD为平行四边形，与已知矛盾，故A正确；平面PAD和平面PBC的一个交点为P，故二者存在过点P的一条交线，在平面PBC内，与平面PAD和平面PBC的交线平行的所有直线均与平面PAD平行，故B正确；由得平面PCD，进而AB平行于平面PAB与平面PCD的交线，所以平面PAB与平面PCD的交线与底面ABCD平行，故C错误；若平面PAD与平面PBC的交线与底面ABCD平行，则平面PAD与平面PBC的交线与BC平行，与AD也平行，与已知底面ABCD为梯形矛盾，故D正确故选：ABD12BCD【解析】

13、【分析】根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可.【详解】方法一：对于A，若，符合题意，故错误，对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，对于C和D，设，则为R上可导的奇函数，由题意，得，关于直线对称，易得奇函数的一个周期为4，故C正确，由对称性可知，关于直线对称，进而可得，（其证明过程见备注）且的一个周期为4，所以，故D正确备注：，即，所以，等式两边对x求导得，令，得，所以方法二：对于A，若，符合题意，故错误，对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，对于C，将中的x代换为，得，所以，可得，两式相减得，则，叠加得，又由，得，所以，故正确，对于D，将的

14、两边对x求导，得，令得，将的两边对x求导，得，所以，将的两边对x求导，得，所以，故正确故选：BCD13【解析】【分析】根据抛物线的定义，列出相应方程求解即可.【详解】由抛物线的定义可知：，所以，代入中，得，所以，故点P到x轴的距离为为故答案为：144【解析】【分析】由正态曲线的对称性得出，再由基本不等式得出最小值.【详解】由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，又因为，所以，所以当时，有，当且仅当，即时等号成立，故最小值为4故答案为：1520【解析】【分析】由与相邻且与之间恰好有1名同学，分类讨论B在A与C之间，与B在A的另一侧，A与C之间为D，E中任意1人两种情况，分类计数之后再相加得答案.

15、【详解】根据题意，分两种情况若A与C之间为B，即B在A,C中间且三人相邻，共有种情况，将三人看成一个整体，与D,E两人全排列，共有种情况，则此时有种排法若A与C之间不是B，先从D，E中选取1人，安排在A，C之间，有种选法，此时B在A的另一侧，将四人看成一个整体，考虑之前的顺序，有种情况，将这个整体与剩下的1人全排列，有种情况，此时有种排法所以总共有种情况符合题意故答案为：20【点睛】本题考查排列组合中排序问题，注意特殊位置优先考虑，属于较难题.16【解析】【分析】根据已知条件和余弦的三倍角公和二倍角公式，再利用两角互余及诱导公式，再结合同角三角函数的平方关系及一元二次方程的解法即可求解.【详解

16、】由题意，又，故，因为，所以，即，解得或，所以.故答案为：.17(1)(2)825【解析】【分析】(1)利用递推式的性质，可求出.(2)根据，可得，利用等差数列求和公式求解即可.(1)因为，所以当时，两式相减得，又时，也符合所以(2)由（1）知，因为对任意的正整数，均有，故数列的前99项和18(1)为等腰三角形或直角三角形，证明见解析(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出，可得出或，可得出或，即可得出结论；（2）分析可得，且，利用诱导公式以及辅助角公式可得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.(1)解：为等腰三角形或直角三角形，证明如下：由及正弦定理得，

17、即，即，整理得，所以，故或，又、为的内角，所以或，因此为等腰三角形或直角三角形(2)解：由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形，且，故，且，所以，因为，故，得，所以，因此的取值范围为19(1)证明见解析(2)存在，【解析】【分析】（1）证明，结合，证明平面PAC，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，设，求出平面MAC的一个法向量，结合平面ACD法向量以及条件可推出即M为PD中点，即可求得答案.(1)因为，所以，又因为，且，所以，所以，又因为平面ABCD，且平面ABCD，所以，又因为，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC，又因为平面PAC，所以(2

18、)在BC上取点E，使，则，故以A为原点，以，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则，设，在平面MAC中，设平面MAC的一个法向量为，则，令，则，所以，可取平面ACD法向量为，所以，即，解得，所以M为PD中点，所以三棱锥的高h为1，20(1)分布列见解析，(2)（）0.4；（）0.62【解析】【分析】(1)由已知得，然后列出相应分布列即可.(2)根据条件概率的计算公式，列出相应的计算公式，直接计算求解即可.(1)由题意得，则，其中，则X的分布列为：X0123P则.(2)设事件为“乙在第i次挑战中成功”，其中（）设事件B为“乙在前两次挑战中，恰好成功一次”，则，则即乙在前两次挑战中，恰好成功一次的概为0.4（）因为，且，所以即乙在第二次成功的条件下，第三次成功的概率为0.6221(1)；(2)存在，.【解析】【分析】（1）根据