【VIP专享】结构力学-结构动力学课件

1、14-1 概述14-2 结构的振动自由度 14-3 单自由度结构的自由振动 14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 14-6 多自由度结构的自由振动 第十四章 结构动力学14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 14-8 振型分解法14-9 无限自由度结构的振动14-10 计算频率的近似方法 静力荷载：大小、方向和作用位置不随时间变化，或变化非常缓慢，不会促使结构产生显著的运动状态的变化，结构将处于平衡状态。计算平衡状态下结构的内力和变形问题称为静力计算。 注意：区分静力荷载与动力荷载，不是单纯从荷载本身性质来看，要看其对结构

2、产生的影响。一、结构动力计算的特点和任务1. 动力荷载与静力荷载的区别： 随时间变化的结构的位移和内力，称为动位移和动内力，并称为动力反应。计算动力荷载作用下结构的动力反应问题，称为动力计算。 动力荷载（干扰力）：随时间迅速变化的荷载 14-1 概述结构动力计算的特点：在动力荷载作用下，结构将产生振动，其位移和内力都 是随时间变化的。在运动过程中，结构的质量具有加速 度，必须考虑惯性力的作用。考虑惯性力的作用是结构动力计算的最主要特征。 结构静力计算的特点：结构的位移和内力只取决于静力荷载的大小及其分布 规律，与时间无关。2. 结构动力计算的特点3. 结构动力计算可分为两大类：自由振动：结构受

3、到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外 部干扰力作用。强迫振动：如果结构在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强迫 振动。 4. 结构动力计算的任务：(2) 分析计算动力荷载作用下结构的动力反应，确定动力荷载作用下结构的位移、内力等量值随时间而变化的规律，从而找出其最大值以作为设计的依据。(1) 分析计算自由振动，得到的结构的动力特性(自振频率、振型和阻尼参数)；14-1 概述 周期荷载 随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是简谐荷载(按弦或余弦函数规律变化)。二、动力荷载的分类 简谐荷载1. 周期荷载非简谐性周期荷载 例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。 14-1 概

4、述在很短的时间内，荷载值急剧减小(或增加)，如爆炸时所产生的荷载。2. 冲击荷载 3. 突加常量荷载突然作用于结构上、荷载值在较长时间内保持不变。例：起重机起吊重物时所产生的荷载。上述荷载是时间的确定函数，称之为确定性动力荷载。 14-1 概述 随机荷载（非确定性荷载）荷载的变化极不规则，在任时刻的数值无法预测。地震荷载和风荷载都是随机荷载。随机荷载（非确定性荷载）4. 随机荷载14-1 概述结构振动的自由度:结构在弹性变形过程中确定全部质点位置所需的独立 参数的数目单自由度结构多自由度结构（自由度大于1的结构）14-2 结构振动的自由度当梁本身的质量远小于电动机的质量时，可以不计梁本身的质量

5、，同时不考虑梁的轴向变形和质点的转动，则梁上质点的位置只需由挠度y(t)就可确定。由质点竖向挠度为独立参数的单自由度结构确定绝对刚性杆件上三个质点的位置只需杆件转角(t)便可，故为单自由度结构。14-2 结构振动的自由度 虽然只有一个集中质点，但其位置需由水平位移x和竖向位移y两个独立参数才能确定，因此振动自由度等于2，为多自由度体系。 三层平面刚架横梁的刚度可看作无穷大，结构振动时横梁不能竖向移动和转动而只能作水平移动，故振动自由度等于3，多自由度体系。14-2 结构振动的自由度 分析刚架的振动自由度时，仍可引用受弯直杆任意两点之间的距离保持不变的假定，即略去杆件的轴向变形。因此，可采用施加

6、刚性链杆法来确定结构的振动自由度。刚性链杆法：在结构上施加最少数量的刚性链杆以限制刚架上所 有质点的位置， 则该刚架的自由度数即等于所加链杆数目。具有两个集中质量，加入三根链杆即能使各质量固定不动其振动自由度为3。 注意：体系振动自由度的数目不完全取决于质点的数目，也与体系是否静定或超静定无关。体系的自由度数目与计算假定和计算精度有关。如果考虑质点的转动惯性，还应增加控制转动的约束，才能确定结构的振动自由度数目。14-2 结构振动的自由度 实际结构中，除有较大的集中质量外，还有连续分布的质量。对此，需要采用一定的简化措施，把无限多自由度的问题简化为单自由度或者有限多自由度的问题进行计算集中质量

7、法：把体系的连续分布质量集中为有限个集中质量(实际上是质点)，把原来是无限自由度的问题简化成为有限自由度的问题。 简化方法有多种，如集中质量法、广义坐标法和有限元法等。本章重点讨论集中质量法。 水塔的质量大部分集中在塔顶上，可简化成以x(t)为位移参数的单自由度结构。14-2 结构振动的自由度凡属需要考虑杆件本身质量（称为质量杆）的结构都是无限自由度体系。 例：用集中质量法将连续分布质量的简支梁简化为有限自由度体系。将梁二等分，集中成三个集中质量，单自由度体系。 将梁三等分，质量集中成四个集中质量的两个自由度体系。14-2 结构振动的自由度自由振动：结构在振动进程中不受外部干扰力作用的振动形式

8、。产生自由振动的原因：结构在振动初始时刻受到干扰。初始干扰的形式: （1）结构具有初始位移 （2）结构具有初始速度 （3）上述二者同时存在1. 不考虑阻尼时的自由振动 对于各种单自由度体系的振动状态,都可以用一个简单的质点弹簧模型来描述。 梁在质点重量W作用下的挠曲线称为“静平衡位置”。14-3 单自由度结构的自由振动取图示质点弹簧体系中质点的静力平衡位置为计算位移的原点，并规定位移y和质点所受的力都以向下为正。设弹簧发生单位位移时所需加的力为k11，称为弹簧的刚度；单位力作用下弹簧产生的位移为11 ，称为弹簧的柔度，k11与11二者之间满足：无重悬臂梁、无重简支梁简化单弹簧体系时，弹簧的刚度

9、系数k11各等于多少？思考：简支梁：悬臂梁 ：答：14-3 单自由度结构的自由振动 为了寻求结构振动时其位移以及各种量值随时间变化的规律，需要先建立其振动微分方程，然后求解。振动微分方程的建立方法：（1）刚度法。即列动力平衡方程。设质点m在振动的任一时刻位移为y，取质点 m为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点m上 的力有：(a) 弹簧恢复力该力有将质点拉回静力平衡位置的趋势，负号表示其方向恒与位移y的方向相反，即永远指向静力平衡位置。(b) 惯性力负号表示其方向恒与加速度 的方向相反对于弹簧处于静力平衡位置时的初拉力，恒与质点的重量mg向平衡而抵消，故振动过程中这两个力都毋须考虑

10、。14-3 单自由度结构的自由振动质点在惯性力F1和恢复力Fc作用下维持平衡，则有：或将F1和Fc的表达式代入令（14-1）有（14-2）单自由度结构自由振动微分方程14-3 单自由度结构的自由振动（2）柔度法。即列位移方程。当质点m振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体 系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移y应当为：即同刚度法所得方程此二阶线性常系数齐次微分方程的通解为：(a)(b)由初始条件t=0时，有可得到有(14-3)14-3 单自由度结构的自由振动可见:单自由度体系无阻尼的自由振动是简谐振动。 令 , 有 （14-4） （14-6） 其中（14-5） 位移满足周期运动的下列条件：

11、 a表示质量m 的最大动位移，称为振幅。其由常数 、初始条件 y0 和 v0 决定的。是初始位置的相位角，称为初相角。它也取决于常数 、初始条件 y0 和 v0 。 T 称为结构的自振周期，其常用的单位为秒(s)。自振周期的倒数代表每秒钟内的振动次数，称为工程频率，记作f，其单位为1秒(s-1)，或称为赫兹(Hz)。(14-7)14-3 单自由度结构的自由振动表示2秒内的振动次数，是结构动力性能的一个很重要的标志。 的单位为弧度秒(rads)，亦常简写为1s (s-1)。从圆周运动的角度来看，称它为圆频率，一般称为自振频率。 根据式(14-1)，可给出结构自振频率的计算公式如下：相应地，结构的

12、自振周期T的计算公式为：式中g表示重力加速度，st 表示由于重量mg所产生的静力位移。 结构的自振频率和周期只取决于它自身的质量和刚度，与初始条件及外界的干扰因素无关，它反映着结构固有的动力特性。（14-8） 14-3 单自由度结构的自由振动解：三种支承情况的梁均为单自由度体系。例14-1 图示为三种不同支承情况的单跨梁，EI常数，在梁中点有一集中质 量m，当不考虑梁的质量时，试比较三者的自振频率。据此可得 随着结构刚度的加大，其自振频率也相应地增高。14-3 单自由度结构的自由振动2. 考虑阻尼时的自由振动物体的自由振动由于各种阻力的作用将逐渐衰减下去而不能无限延续。 阻力可分为两种：一种是

13、外部介质的阻力；另一种来源于物体内部的作用。这些统称为阻尼力。通常引用福格第假定，即近似认为振动中物体所受阻尼力与其振动速度成正比，称为粘滞阻尼力，即：其中：为阻尼系数，负号表示阻尼力的方向恒与速度方向相反考虑阻尼时，质点m的动力平衡方程为即：令有 (14-9) 14-3 单自由度结构的自由振动 这是一个常系数齐次线性微分方程，设其解的形式为 解得 其特征方程为：根据阻尼大小不同，现分以下3种情况讨论：(1) k，即大阻尼情况，此时r1和r2为两个负实数，式 (14-9)通 解为： y(t)不是一个周期函数, 即在大阻尼情况下不会发生振动。（14-13） （14-14） (3) k=，即临界阻

14、尼情况此时r1,2=-k ，方程(14-9)的解为y-t 曲线 以上两种情况均不属振动，位移时程曲线（y-t 曲线）表示体系从初始位移出发，逐渐返回到静平衡位置而无振动发生。 y(t)不是周期函数，亦即在临界阻尼情况下不会发生振动。此时，临界阻尼系数14-3 单自由度结构的自由振动强迫振动：结构在动力荷载即外来干扰力作用下产生的振动。设质点m受干扰力F（t）作用，则质点m的动力平衡方程为：即：或 (14-18) 14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动方程的解包括两部分：对应齐次方程的通解和对应干扰力F(t)的特解 (14-18) 通解 特解 随干扰力的不同而异。本节讨论干扰力为简谐周

15、期荷载时的情况，如具有转动部件的机器匀速转动时，由于不平衡质量产生的离心力的竖直或水平分力等，表达为：(14-19) 其中 为干扰力的频率，F为干扰力最大值。此时式(14-18)写为： (14-20) 设方程的特解为：（b）（a）14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动式(b) 代入式(14 -20)，得到式(a)+式(b) ，并引入初始条件，得到(14-21)由初始条件决定的自由振动伴生自由振动按干扰力频率振动的纯强迫振动或稳态强迫振动由初始条件决定的自由振动阶段和伴生自由振动阶段会随时间很快衰减掉，故称为过渡阶段；最后只剩下按干扰力频率振动的纯强迫振动，故称为平稳阶段。实际问题中，

16、一般只讨论纯强迫振动。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动1. 不考虑阻尼的纯强迫振动(14-22)因此，最大动力位移（振幅）为(14-23)其中:代表将干扰力最大值F作为静载作用于结构上时引起的静力位移位移动力系数，代表最大动力位移与静力位移之比当时，值为负，表示动力位移与动力荷载的指向相反, 这种现象仅在不计阻尼时出现。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 动力反应谱（动力放大系数随频比/变化的关系曲线）动力放大系数的大小反映了结构动力反应的强弱。单自由度结构，当干扰力与惯性力的作用点重合时，位移动力系数与内力动力系数是完全一样的。当 ， 通常,当动力荷载(即干扰力

17、)的周期大于结构自振周期的五、六倍以上时，可将其视为静力荷载。 (1) 当时，即/0，这时1。这种情况相当于静力作用。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 动力反应谱 (2) 当时，即/1，这时。即振幅趋于无限大,这种现象称为共振。2) 实际上由于阻尼的存在共振时振幅不会无限增大。 1) 共振现象的形成有一个过程，振幅是由小逐渐变大的。 注意:3) 应避开0.75/ 时，即/1，这时值为负值,并且趋近于零。 这表明高频简谐荷载作用下，振幅趋近于零，体系处于静止 状态。 工程设计中，要求的是振幅绝对值,动力反应谱中/1 部分的画在横坐标的上方。注意:14-4 单自由度结构在简谐荷载作

18、用下的强迫振动在单自由度体系上，当干扰力作用在质量上、扰力作用线与质体的振动位移方向重合时，其位移动力系数与内力动力系数是完全相同的，结构的最大动内力可以采用动力系数法求得。如果干扰力不作用在质量上，体系的位移和内力没有一个统一的动力系数。这种情况下的结构动内力、动位移的计算，可用建立动力微分方程的方法计算。见书P89图14-1514-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动解：在发电机重量作用下，梁中 点的最大静力位移为：故自振频率为例14-2 简支梁中点装有一台电动机，电动机重量G=35kN。已知梁的惯性矩 I=8.810-5 m4， E=210GPa。发电机转动时离心力的垂直分力为F=

19、sint， 且F=10KN。不计阻尼，求当发电机每分钟转数为n=500r/min时，梁的最大弯矩和挠度。干扰力频率:动力系数:梁中点的最大弯矩为梁中点的最大挠度为14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 质体的动位移 y(t) 是以静力平衡位置为零点来计算的，因此 y(t) 中不包括质体的重力影响，但在确定质体的最大竖向位移时，应加上这部分（st=11G）的影响。注意：14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动运用图乘法可求得 (a) (1) 设惯性力和动力荷载分别为单位力和单位力偶作用在体系上，并绘出相应的弯矩图. 例14-3 图示简支梁跨中有一集中质量m，支座A 处受动力矩M

20、sint 的作用， 不计梁的质量，试求质点的动位移和支座A 处的动转角的幅值。 解：该体系不能直接用放大系数求动位移，可由建立体系的振动方程来求解。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动式中 代ij入上式，经整理后得 (b)解式(b)得稳态解为(c)(2) 根据叠加原理列出动位移 质点的动位移是惯性力FI(t) 和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理可表示为14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动这说明质体动位移尚可应用放大系数计算。 质点的动位移幅值为 ，其中 为动荷载幅值M所引起的质点静位移yst，动力系数。 支座A处的动转角也是由惯性力FI(t)和动力荷载共同作用下产生

21、的，按叠加原理可表示为由稳态解式(c)可知14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动对式(c)求导两次后代入上式，可得将式(a)和F *=3M/l代入上式, 得(c)14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 可见, 质点位移的动力系数和支座处动转角的动力系数是不同的。 支座A处的动转角幅值为 , 为动荷载幅值M所引起的静转角，为该动力系数。其中而 动荷载不作用在质量上时，体系不能用一个统一的动力系数来表示。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动由式(14-21)的第三项，有：命（14-27）（14-28）令 和 ，则振幅A可写为（14-29） 2. 有阻尼的强迫振动14

22、-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 动力系数不仅与频比有关，而且还与阻尼比 有关。 动力系数与频比和阻尼比的关系图 在0.75时，则很小，表明质量m接近于不动或只作极微小的振动。 (1) 阻尼对简谐荷载的动力系数影响较大简谐荷载作用下有阻尼稳态振动的主要特点：14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动(2) 在=1的共振情况下, 动力系数为 动力系数与频比和阻尼比的关系图 在考虑阻尼的影响时，共振时动力系数不是无穷大, 而是一个有限值。在研究共振时的动力反应时，阻尼的影响是不容忽略的。 14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 用求极值的方法确定的最大值发生在 处, 因

23、的值通常都很小，近似地将=1时的值作为最大值。(3) 最大值并不发生在=1处。动力系数与频比和阻尼比的关系图14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动当1时，01时，/2；当=1时， =/2。 (4) 阻尼体系的位移y(t)=Asin(t-)和干扰力F(t)=sint 不同步， 其相位角为。 只要有阻尼存在, 位移总是滞后于振动荷载。14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动共振时, =/2, 位移方程式为 y(t)= ystcost= 1/(2)，=，c=cc=2m阻尼力为注意到共振时可见共振时干扰力与阻尼力互相平衡。共振时受力特点讨论:14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强

24、迫振动 为了减小动力放大系数， 当 =/ 1时称为(共振后区) ，这时，应设法减小结构的自振频率。这种方法称为“柔性方案”。动力系数与频比和阻尼比的关系图讨论：14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动采用冲量方法首先讨论瞬时冲量的动力反应，在此基础上讨论一般动力荷载下的动力反应。1. 强迫力为一般动力荷载-无阻尼(1) 瞬时冲量的动力反应假定冲击荷载作用之前体系的初位移及初速度均为零。由于荷载作用时间极短，可以认为在冲击荷载作用完毕的瞬间，体系的位移仍为零。但冲击荷载有冲量，可以使处于静止状态的质点获得速度而引起自由振动。 思考：体系在冲击荷载作用下获得的是位移还是速度？ 14-5 单

25、自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 根据动量定律，质点在瞬时冲量F t 作用下的动量变化为由于v0=0, 所以有 原来初位移、初速度为零的体系,在冲击荷载作用后的瞬间,变成了初位移为零,初速度为 的自由振动问题。由(14-30)得14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 若冲击荷载不是在t0，而是在t时作用，则上式中的t 应改为(t - )。(14-31) 由式(14-30)可得在t 时作用瞬时冲量S引起的动力反应。(14-30)14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动(2)一般动力荷载F(t)的动力反应。 把整个加载过程看成是由一系列瞬时冲量所组成的。在时刻t 作用的荷载为

26、F(t) ，此荷载在微分时段 d内产生的冲量为dS=F(t)d 。根据式(14-31)，此微分冲量引起的动力反应为：(g)对加载过程中产生的微分反应进行叠加，得出总反应如下：称为杜哈梅(Duhamel)积分。 (14-32)14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 (14-33) 式中第一、二项代表自由振动部分，第三项代表强迫振动部分。(14-32)如果初始位移y0和初始速度v0 不为零，则总位移应为：14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动2.几种动荷载的动力反应 (1) 突加长期荷载 o F(t)t0F 突加长期荷载就是指突然施加于结构并继续作用在结构上的荷载，它可表示为：

27、 如果原结构的初始位移和初始速度都等于零，将式（h）代入式(9-32)并进行积分后，可得动力位移如下： （h） (14-34) (14-32)14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动当t=T/2时，y(t)max=2yst，动力系数为=2。位移时程曲线图 (14-34) 式中 表示在静力荷载F0作用下所产生的静力位移。 当突加荷载作用在系统上的时间超过t=T/2 时就算作长期荷载, 这时引起的最大动力位移为相应静力位移的两倍。14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 其特点是当t=0时，在质体上突然施加常量荷裁F0，而且一直保持不变，直到t=t1时突然卸去。 (2) 突加短期荷

28、载 体系在这种荷载作用下的位移反应，可按两个阶段分别计算再叠加。 第一阶段（0tt1）：此阶段与突加长期荷载相同，因此动力位移反应仍按公式(9-34)计算。 荷载可以看作突加长期荷载F0 (图中坐标上方实线及所续虚线部分)叠加上t=t1 时突加上来的负长期荷载(F0 )(图坐标下方虚线部分)。14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动(14-35) 第二阶段(tt1)：荷载可以看作突加长期荷载F0 (图中坐标上方实线所续虚线部分)叠加上t=t1 时的负突加长期荷载(-F0) (图9中坐标下方虚线部分)。当tt1时，有 第一阶段（0tt1）与突加长期荷载相同，动力位移反应为14-5 单自由

29、度结构在任意荷载作用下的强迫振动 质点位移反应可分为两个阶段按式（14-33）积分求得。(3) 爆炸冲击荷载变化规律为第一阶段（0tt1）14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动(14-37) 第二阶段（t t1） 当(t1T)0.4时，最大位移反应在第一阶段出现，否则就出现在第二阶段出。 从前面几种动力荷载作用下单自由度体系的位移反应可知，最大位移反应与与t1T有关。 最大位移反应可用速度为零（即位移的导数）这个条件下的时间值来计算。14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动3. 当强迫力为一般动力荷载情况-有阻尼有阻尼体系在一般动力荷载 F(t) 作用时，其动力位移也可表示为

30、杜哈梅积分。由于冲量S=mv0 ，故在初始时刻由冲量S 引起的振动为 （9-46）单独由初始速度v0(初始位移为零)所引起的振动为14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 把一般动力荷载F 的加载过程看作是由无限多个瞬时冲量所组成，对t =到 t = +d的时间分段上的微分冲量dS=F()d来说，它所引起的动位移为 (t ) 积分后即得开始处于静止状态的单自由度体系有阻尼的受迫振动方程为 (14-47)14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动如果还有初始位移y0和初始速度v0，则总位移为 (14-47)(14-48)这就是有阻尼情况下的杜哈梅积分。14-5 单自由度结构在任意荷

31、载作用下的强迫振动 工程实际中有很多结构是不宜简化为单自由度体系计算的。例如多层房屋、多跨不等高工业厂房以及烟囱等, 都必须按多自由度体系来处理。 图示等截面烟囱，将其分为八段，从上到下将每两段的质量集中于其中点，将一个无限自由度的体系简化为四个自由度体系。14-6 多自由度结构的自由振动图示简支梁的自重略去不计, 体系有n个振动自由度，y1、y2、yi、yn分别代表这些质点自静平衡位置量起的位移。 1. 振动微分方程的建立（刚度法、柔度法） 刚度法（1）首先加入附加链杆阻止所有质点的位移,则在各质点的惯性力 作用下，各链杆产生和惯性力大小相等、方向相反的反力；可按照位移法的步骤来处理14-6

32、 多自由度结构的自由振动（2）其次令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移，此时各链杆上所需施加 的力为FRi(i=1,2,n)。（3）不考虑阻尼时，将上述两种情况叠加，各附加链杆上的总反力为零，由此 可列出各质点的动力平衡方程。以质点mi 为例： 即： 14-6 多自由度结构的自由振动 (14-46)同理，体系中的每一个质点都可以列出相应的动力平衡方程式，有写成矩阵形式： (14-48) 简写为：14-6 多自由度结构的自由振动Y和分别是位移向量和加速度向量： M和K分别是质量矩阵和刚度矩阵：14-6 多自由度结构的自由振动 体系中某质点i 产生位移 yi 可看成是系统内各质点运动时的惯性力共

33、同引起的。即柔度法 考虑每一个质点的位移，可得一组运动微分方程式：FI1，FI2，FIn为质点1，2，n 的惯性力。体系的柔度系数ij为作用在质点j上的单位力引起质点i 的位移。14-6 多自由度结构的自由振动写成矩阵形式： 称为体系的柔度矩阵, I单位矩阵。 或(14-51)所以，由刚度法建立的公式（14-48）与公式（14-51）是完全相通的。 因为： 14-6 多自由度结构的自由振动 设公式（14-51）的特解为：2. 按柔度法求解(14-51)即所有质点按同一频率同一相位作同步简谐振动，但各质点的振幅值各不相同(14-53)(14-54)有(f )柔度法的振幅方程14-6 多自由度结构

34、的自由振动柔度法的频率方程振幅向量A 存在非零解的条件为 (14-56)(14-55) 根据频率方程可得到n个自振频率 ，将它们由小到大排列，分别称为第一，第二，第n频率，并总称为结构自振的频谱。注意: 体系自振频率的个数和它的自由度数目相同。14-6 多自由度结构的自由振动此时各质点按同一频率 作同步简谐振动，但各质点的位移相互间的比值并不随时间而变化，也就是说在任何时刻结构的振动都保持同一形状，整个结构就像一个单自由度结构一样在振动。这种多自由度结构按任一自振频率 进行的简谐振动称为主振动，与其相应的特定振动形式称为主振型(振型)将 代回式(14-53)，得到：(14-59)将n个自振频率

35、中的任一个 代入式(f )，得到特解为(14-57)14-6 多自由度结构的自由振动n个主振动的线性组合，构成振动微分方程的一般解：(14-60) 和 取决于初始条件。然而自振频率和振型与外因干扰无关，只取决于结构的质量分布和柔度系数，因而反映着结构本身固有的动力特性。由于此时系数行列式为零，因此n个方程中只有（n-1）个是独立的，因而不能求得 的确定值，但可确定各质点振幅间的相对比值，便确定了振型。 振型向量规准化振型向量14-6 多自由度结构的自由振动对于两个自由度结构，振幅方程（14-53）为：令 ，将上式展开得：频率方程为：(14-61)14-6 多自由度结构的自由振动两个自振频率为：

36、(14-62)两个主振型为：(14-63) (14-64) 14-6 多自由度结构的自由振动例14-3 图示简支梁在跨度的三分之一处有两个大小相等的集中质 量m，试分析其自由振动。设梁的自重略去不计，EI常数。 解: (1) 计算柔度系数ij 14-6 多自由度结构的自由振动 求得 将ij和m值代人上式(2)求频率：14-6 多自由度结构的自由振动将i和ij值代上入 式得第一主振型为 第二主振型为 (3) 分析振型14-6 多自由度结构的自由振动 可以看出，如果结构本身和质量分布都是对称的，则其振型不是正对称的便是反对称的。第一主振型第二主振型14-6 多自由度结构的自由振动例14-4 图示刚

37、架，在梁跨中D处和柱顶A处有大小相等的集中质量 m，支座C处为弹性支承，弹簧的刚性系数k=(3EI)/l3。试求 自振频率和振型。 1. 求柔度系数 解：体系有两自由度，A处质点的水平位移和D处质的竖向位移。 绘制M1、M2图,由图乘及弹簧内力虚功计算得14-6 多自由度结构的自由振动2. 写出振型方程（a） 3. 写出频率方程，求频率展开式为解得 相应的频率为14-6 多自由度结构的自由振动 当=1=27.083时，设A1(1)=1, 得 第一主振型为第二主振型为当= 2=2.917 时，设A1(2)=1，得4. 求振型并绘出振型图由所得结果绘出振型14-6 多自由度结构的自由振动 3. 按

38、刚度法求解(14-66) (14-65)振幅方程 频率方程 将得到的n个自振频率 代回振幅方程，得：(14-67)同样可确定n个主振型。对于两个自由度结构，频率方程为：14-6 多自由度结构的自由振动展开得：两个主振型为：14-6 多自由度结构的自由振动例14-5 三层刚架如图所示。设自上到下，各层楼面的质量(包括柱子质量)分别 为m1=180000kg，m2=270000kg，m3=270000kg；各层的层间侧移刚度( 即该层柱子上、下两端发生单位相对位移时，该层各柱剪力之和)分别 为k1=98MN/m，k2=196MN/m，k3=245MN/m。求刚架的自振频率和振 型。设横梁的刚度EI

39、。 解: (1)求频率。体系的自由度数为3。振型方程为频率方程为14-6 多自由度结构的自由振动 建立刚度矩阵和质量矩阵由图b可得： 由图c可得： 由图d可得： 14-6 多自由度结构的自由振动得刚度矩阵： 质量矩阵为：14-6 多自由度结构的自由振动频率方程： 引入符号 ,则展开式为14-6 多自由度结构的自由振动解方程得：由 求得三个自振频率为：14-6 多自由度结构的自由振动将 代入式(K-2M)=0，为求标准化振型，规定1( j )=1 。2. 求振型：第三振型 第二振型 第一振型 14-6 多自由度结构的自由振动(4) 与单自由度体系相同，多自由度体系的自振频率和主振型也是体系本身的

40、固有性质。 对于多自由度体系: (1) 在多自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定体系的全部自振频率及其相应的主振型。 (2) 多自由度体系自振频率不止一个，其个数与体系自由度的个数相等。自振频率可由特征方程求出。 (3) 每个自振频率有自己相应的主振型。主振型是多自由度体系能够按单自由度振动时所具有的特定形式。14-6 多自由度结构的自由振动对上述两式分别两边同时左乘 和 ，有对其中任两个不同的主振型向量Xi和 Xj ，有 4. 主振型的正交性n个自由度结构具有n个自振频率及n个主振型，每一频率及其相应主振型都满足(14-67)(b)(a)(d)(c)（d）式两边转置，有(e)（c）式-（

41、e）式，有14-6 多自由度结构的自由振动当(ij)时，有这说明，对于质量矩阵M，不同频率的两个主振型是彼此正交的。同理可以证明，对于质量矩阵K，不同频率的两个主振型彼此也是正交的。 对于标准化的振型向量，也同样具有正交性，即振型正交性的物理意义: 体系按某一振型振动时，它的惯性力不会在其它振型上作功。也就是说它的能量不会转移到其它振型上去，说明各个主振型都能够单独出现，彼此线形无关。 主振型的正交性是结构本身的固有特性，它不仅可以用来简化结构的动力计算，而且还可以用来检验所求的主振型是否正确。14-6 多自由度结构的自由振动 计算结构在动力荷载作用下的位移和内力, 即结构的动力反应。本节只研

42、究结构在简谐荷载作用下的动力反应问题。求解的方法只讨论直接法。 若干扰力频率处于共振区以外，则阻尼的影响不大。本节不考虑阻尼。体系强迫振动要解决的问题14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动振动过程中的任一时刻 t ，引起体系位移的力有两种：1. 各质点的惯性力FI1( t ) 、 FI2( t ) 、 FIn( t )2. 干扰力 F1sint 、 F2sint 、 Fksint一、 柔度法建立振动微分方程式体系中任一质点mi 的位移 yi 为： yiP为所有干扰力在质点 mi 处引起的位移。14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动动力荷载达到最大值时在质点 mi 处所引起的

43、静力位移。 注意到F( t )= mi i，有对于n个自由度体系，可以建立n个这样的方程。写成矩阵形式为：M +y=P sint (14-73)(14-72) P=1P 2P nPT为动荷载幅值引起的静力位移列向量。 为结构的柔度矩阵。14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 是一个非齐次线性微分方程组。它的一般解由两部分组成：一部分是对应齐次微分方程的解；另一部分则是某一特解。齐次解对应于自由振动部分，这部分将很快衰减掉。在研究强迫振动问题时，着重讨论式(14-79)的特解,即稳定强迫振动的解。 M +y=P sint (14-73)设方程的特解为： y=Asint (14-74)

44、A=A1 A2 AnTA为强迫振动位移幅值列向量：A1、A2、An.将y 连同 =A2sint 代入式(14-73)，化简后得(14-76)解方程组可求出各质点在纯强迫振动中的振幅：由式(14-74)可得各质点的振动方程。14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动令FI0= 2MAFI=M =2MAsint = FI0 sint FIi0= 2miAi (i=1,2, ,n)y=AsintFI0 称为惯性力幅值列向量。 写成展开形式为：由上式可以看出： 位移、惯性力和干扰力均按同一频率作同步简谐振动，且同时达到幅值。各质点的惯性力为： FI= M= 2MAsint (14-77)式中FI

45、=FI1 FI2 FIn T为惯性力列向量。14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 在计算最大动位移和最大动内力时，可先求得惯性力的幅值FIi0 ，然后再把FIi0 和干扰力幅值 Fi 同时作用于结构上，按静力分析方法即可求得最大动位移和最大动内力。14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动二、刚度法建立振动微分方程 当干扰力均作用在质点处时，由n个自由度的刚度法基本体系，得出其动力平衡方程如下： (14-80)写成矩阵形式为：M +KY= F( t ) (14-81)14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 F( t )= Fsint式中F=F1 F2 Fn T 为荷

46、载幅值列向量。 若各干扰力为同步简谐荷载，即：在平稳阶段各质点亦均按频率荷载 作同步简谐振动。设：Y= Y0 sint (14-82) 将Y和 =-2Asint 代人式(14-80),并消去公因子sint ,得 (K2M) Y0=F (14-83) 则 Y0= (K2M)-1F14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 由 A 便可求得各质点的惯性力幅值：FI0= 2MA 或 FIi0= 2miAi (i=1,2, ,n) 其展开形式为：(14-92) 14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动注意: 当有简谐集中荷载未作用于质量上时，可假设该处的质量为零后再套用公式(14-87)

47、或公式(14-88); 当有简谐分布荷载作用时，则需先化为作用于质量上处的等效动力荷载，或者是采用柔度法计算。14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 解 设以FI10、FI20分别代表质点 m1、m2的惯性力幅值，其典型方程如下：例14-6 试求图示体系的最大动位移和动内力图。已知 ，m1=m2=m , EI=常数。14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动柔度系数和自由项可利用图乘法求得将上述数值代人典型方程(a)，化简后得14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动解得： FI10 =0.2936F ， FI20 =0.2689F 将FI10、FI20和F 共同作用在结

48、构上，然后按静力计算方法求得最大动位移。14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动最大动位移图最大动内力图14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动算得截面 l 处动荷载幅值所产生的静力值分别为： 相应的动力系数为： 由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数，这是与前述单自由度体系不相同的。14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 例14-7 求示结构质点的振幅和绘制最大动力弯矩图。已知m1=m2=m，F= ql， ,各杆EI=常数。 解 用柔度法求解。绘出M1、M2图,计算柔度系数和自由项.14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动绘 MP自由项计算如下1

49、4-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动将求得的柔度系数、自由项以及带入惯性力幅值方程（14-85） 得以 乘上式经整理后得解得体系的最大惯性力为：FI10 =2.63ql ， FI20 =1.62ql 负值表明惯性力的方向与 图中的单位力的方向相反。14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 最大动力弯矩图按 求得，当简谐荷载向右和向下时，对应的弯矩图为实线所示；当简谐荷载向左和向上时，对应的弯矩图为虚线所示。14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动解 干扰力频率为求得各刚度系数为：14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 刚度矩阵为 质量矩阵为 干扰力幅值列向量

50、为 F=5 0 T kN14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动由 第一层楼面处振幅 A1 =0.206mm 第二层楼面处振幅 A2 =0.202mm 惯性力幅值FI10 = 2mA= 15.712100(0.206104) =5.08kN FI20 = 2m2 A 2 = 15.712120(0.202104) =5.98kN 有 14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 将干扰力幅值和惯性力幅值作用在结构上, 由位移法求得各杆端最大动弯矩并作弯矩图。M图(kNm)14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动多自由度结构无阻尼强迫振动微分方程为（14-81）对于只有集中质

51、量的结构，质量矩阵M是对角矩阵，但刚度矩阵K一般不是对角矩阵，因此振动微分方程的各方程为耦联的。当荷载F(t)为任意动力荷载时，求解微分联立方程组是很困难的。 为此，可利用主振型的正交性通过坐标变换的途径，把位移Y分解为各主振型的叠加，使联立方程组变为相互独立的方程，简化计算。即振型分解法。位移向量称为几何坐标将结构已规准化的n个主振型向量作基底把几何坐标Y表示为基底的线性组合，即（14-86）展开为：（14-87）可简写为：（14-88）14-8 振型分解法这就把几何坐标Y变换成数目相同的正则坐标称为主振型矩阵，为几何坐标和正则坐标之间的转换矩阵将式(14-88)代入式(14-81)，并左乘

52、有（14-90）利用主振型的正交性，易证明14-8 振型分解法同理，有其中，相应于第i个主振型的广义质量，广义质量矩阵广义刚度矩阵其中，相应于第i个主振型的广义刚度，由前节可知，令j=i，将广义质量和广义刚度表达式代入，有或这就是自振频率与广义刚度和广义质量之间的关系14-8 振型分解法记（14-97）则（14-98）广义荷载向量（14-99）其中，相应于第i个主振型的广义荷载（14-101）将广义质量矩阵、广义刚度矩阵、广义荷载向量代入式(14-90)，有即方程组已解除耦联，式(14-90)成为n个独立方程。14-8 振型分解法或因为所以（14-102）这与单自由度结构的强迫振动方程略去阻尼

53、后的形式相同，故可按同样方法求解。（14-103）在初位移和初速度为零的情况下，可用杜哈梅积分求得式(14-102)的解为：这样，就把n个自由度结构的计算简化为n个单自由度计算问题。在分别求得了各正则坐标i ,可得到几何坐标yi14-8 振型分解法振型分解法的计算步骤： （1）求自振频率 和振型 （2）计算广义质量和广义荷载 （3）求解正则坐标的振动微分方程，得到i（i=1,2,n） （4）计算几何坐标 ，求出各质点位移 ，然后即可计算其它动力反应（加速度、惯性力等）14-8 振型分解法14-9 无限自由度结构的振动 结构自振频率的计算是结构动力计算的一个重要内容。从实用的要求来说, 有必要采

54、用近似的计算方法求解。能量法就是用来计算基本领率1的近似方法。 实际结构振动时,由于阻尼作用的影响,高振型分量很快就会消失。基本频率的计算很重要。在我国有关设计规范中往往可以根据与基本频率对应的最大周期，便可从规范中选取各种有关的计算参数。 14-10 计算频率的近似方法 结构在振动中，具有两种形式的能量，一种是由于具有质量和速度而构成的动能V(t)，另一种则是由于结构变形而存储的应变能U(t)。 根据能量守恒定律，结构在无阻尼自由振动中的任何时刻，其动能和应变能之和应等于常数，即14-10 计算频率的近似方法 当结构处于最大振幅位置时，其动能V 等于零，而应变能具有最大值Umax。 当结构处

55、于静力平衡位置的瞬间，其动能V具 有最大值Vmax，而应变能则为零。据此，有Umax+ 0 = Vmax+ 0 =常数亦即 Umax= Vmax 利用这一关系式即可得到确定频率的方程。14-10 计算频率的近似方法 设图示单跨梁以某一频率作自由振动,其位移可表示为 y(x,t)=y(x)sin(t+) y(x)为各点的位移幅值，代表振型，故又称为振型函数。则梁速度为 微段dx质量的动能为整个梁的动能为当动能为最大值时，cos(t+)=1 , 有 (14-93)14-10 计算频率的近似方法 应变能(只考虑弯曲变形能)为：当应变能为最大值时，sin(t+)=1，有由Umax= Vmax 得：（1

56、4-94）（14-95）14-10 计算频率的近似方法 如果结构上除分布质量m(x)外，还有集中质量mi(i=1,2,n)，设以yi 表示集中质量i 点处相应的振幅，则有（14-96） （14-97）若结构上只有集中质量而不计分布质量时，则有14-10 计算频率的近似方法 1. 利用上述公式计算自振频率时，必须知道振型曲线y(x), 但实际上y(x)事先往往是不知道的，因此必须先假定y(x)来进行计算，这就使得求得的自振频率高于精确值。注意： 2. 通常第一频率所对应的振型易于估计，易于用简单的函数表达，因此瑞利法主要是用于求第一频率的近似值。14-10 计算频率的近似方法 在假定振型曲线时，

57、应该使它满足位移的边界条件，通常多采用某一静力荷载作用下的弹性曲线来作为振型曲线y(x)。此时，应变能Umax可以更简便地用相应的外力功Wmax来代替。由Umax与Vmax相等，即得确定频率的另一计算公式：（14-98)14-10 计算频率的近似方法 对于单跨梁，通常假设其自重作用下的弹性曲线作为振型曲线，就可以得到基本频率1的良好近似解。 计算经验表明，基频的计算对振型曲线是不敏感的，只要所设振型曲线满足位移边界条件，且与真实振型曲线接近，就能得出相当精确的解答。 对于其他结构，当用能量法求基本频率时，则首先要判断基本振型的大致形状，它应该是结构在振动时容易出现的较为简单的变形形式，然后假设

58、一与它接近的曲线方程 y(x)，这样算得的频率也就是对应于基本频率的近似解。14-10 计算频率的近似方法 例14-25 均质等截面简支梁，粱长为l ，单位梁长的质量为 , 其抗弯刚度EI为常数，若取振型曲线为：m (1) 图b所示的正弦曲线 ； (2) 梁在自重作用下的挠曲线,分别计算自振频率，并将所得结果进行比较。 解 (1) 振型为正弦曲线得 14-10 计算频率的近似方法 正弦曲线 是准确的第一阶主振型， x y(x)=asin l(2) 设振型为梁在自重作用下的挠曲线：所以 因此由它求得的是第一频率的精确解。根据自重作用下的挠曲线求得的结果也具有很高的精确度。讨论：14-10 计算频

59、率的近似方法一、几个值得注意的问题 1. 弹性体系的振动自由度 描述体系的振动，需要确定体系中全部质量在任一瞬时的位置，为此所需要的独立坐标数就是弹性体系振动的自由度。值得注意的是：体系中集中质量的个数不一定等于体系振动的自由度，自由度数目与计算假定有关，而与集中质量数目和超静定次数无关。三个集中质量，一个自由度一个集中质量，两个自由度第十四章 结构动力学总结2. 确定体系振动自由度的方法 方法一 可以运用附加链杆法，使质量不发生线位移所施加的附加链杆数即为体系的计算自由度。例如图a中，需要两个链杆才能阻止集中质量的线位移(图b)，故体系有两个振动自由度。 方法二 当忽略杆件的轴向变形时，可以运用几何构