三种统计的微观状态数同一个分布对于玻耳兹曼系统课件

1、3.3 系统微观运动状态的描述一. 全同粒子与近独立粒子1）全同粒子2）近独立粒子（弱相互作用） 全同粒子是可以分辨的（因为经典粒子的运动是轨道运动，原则上是可以被跟踪的）。如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子的运动状态加以交换，交换前后，系统的力学运动状态是不同的。二. 经典物理中系统微观运动状态的描述1）可分辨 （可跟踪的经典轨道运动）2）描述方式： 单个粒子的经典运动状态，由 个坐标和 个动量来描述，当组成系统的 个粒子在某一时刻的运动状态都确定时，也就确定了整个系统的在该时刻的运动状态。因此确定系统的微观运动状态需要这 个变量来确定。用 空间中N个点描述 一个粒子在某时刻的力学运

2、动状态可以在空间中用一个点表示，由N个全同粒子组成的系统在某时刻的微观运动状态可以在空间中用N个点表示，那么如果交换两个代表点在空间的位置，相应的系统的微观状态是不同的。3）玻色子与费米子b)玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子或 复合粒子。 如：光子、介子等。a)费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子或复 合粒子。如：电子、质子、中子等。d）泡利不相容原理： 对于含有多个全同近独立的费米子的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。 费米子遵从泡利不相容原理，即在含有多个全同近独立费米子的系统中，占据一个个体量子态的费米子不可能超过一个，而玻色子构成的系统不受泡利不相容原理的约束。费米子和玻色

3、子遵从不同的统计。4）玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统玻耳兹曼系统: 由可分辨的全同近独立粒子组成，且处 在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。玻色系统: 把由不可分辨的全同近独立的玻色粒子组成，不受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统称作玻色系统。费米系统: 把由不可分辨的全同近独立的费米粒子组成，受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数最多只能为1个粒子的系统称作费米系统。 设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子态有3个， 如果这两个粒子分属玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统时，试分别讨论系统各有那些可能的微观状态？量子态1量子态2量子态 3

4、1AB2AB3AB4AB5BA6AB7BA8AB9BA对于玻耳兹曼系统可有9种不同的微观状态量子态1量子态2量子态31AA2AA3AA4AA5AA6AA对于玻色系统，可以有6种不同的微观状态。量子态1量子态2量子态31AA2AA3AA对于费米系统，可以有3个不同的微观状态。粒子类别量子态1量子态2量子态3玻耳兹曼系统A BA BA BABBAABBAABBA玻色系统A AA AA AAAAAAA费米系统AAAAAA玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的的微观状态数 经典统计物理学 在经典力学基础上建立的统计物理学称为经 典统计物理学。 量子经典统计物理学 在量子力学基础上建立的统计物理学称为经 典

5、统计物理学。两者在原理上相同，区别在于微 观状态的描述。宏观状态和微观状态的区别 宏观状态：平衡状态下由一组参量表示，如 N、 E、V。 微观状态：由坐标和动量或一组量子数表示。 为了研究系统的宏观性质，没必要也不可能追究 微观状态的复杂变化，只要知道各个微观状态出现的概率，就可以用统计方法求微观量的统计平均值。因此，确定各微观状态出现的概率是统计物理的根本问题。3.4 等概率原理 等概率原理： 对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个可能的微观状态出现的概率是相等的。既然这些微观状态都同样满足具有确定N、E、V 的宏观条件，没有理由认为哪一个状态出现的概率更大一些。这些微观状态应当是平权的。 等

6、概率原理是统计物理学中的一个合理的基本假设。该原理不能从更基本的原理推出，也不能直接从实验上验证。它的正确性在于从它推出的各种结论与客观实际相符而得到肯定。3.5 分布与微观状态数一. 分布 设一个系统，有大量全同近独立的粒子组成，具有确定的粒子数 、能量 和体积 .能级：简并度：粒子数：分布 必须满足： 给定了一个分布，只能确定处在每一个能级上的粒子数，它与系统的微观状态是两个性质不同的概念。 微观状态是粒子运动状态或称为量子态。它反映的是粒子运动特征。例如：在某一能级上，假设有3个粒子，这三个粒子是如何占据该能级的量子态，也就是它的微观状态。 三种统计的微观状态数 同一个分布对于玻耳兹曼系

7、统、玻色系统、费米系统给出的微观状态数显然是不同的，下面分别加以讨论. 1. 玻耳兹曼系统 粒子可以分辨，若对粒子加以编号，则 个粒子占据能级 上的 个量子态时，是彼此独立、互不关联的。分布相应的系统的微观状态数为：分布相应的系统的微观状态数为：得到： 2. 玻色系统 粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制。首先 个粒子占据能级 上的 个量子态有种 可能方式。将各种能级的结果相乘，就得到玻色系统与分布相应的微观状态数为： 3. 费米系统： 粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。 个粒子占据能级 上的个 量子态，相当于从 个量子态中挑出 个来为粒子所占据，有种可能的方

8、式 将各能级的结果相乘，就得到费米系统与分布相应的微观状态数为： 经典极限条件 如果在玻色系统和费米系统中，任一能级上的粒子数均远小于该能级的量子态数，即 （对所有能级） 称为满足经典极限条件，也称非简并性条件。经典极 限条件表示，在所有的能级，粒子数都远小于量子态数。 此时有： 在玻色和费米系统中， 个粒子占据能级 上的 个量子态时本来是存在关联的，但在满足 经典极限条件的情形下，由于每个量子态上的粒 子数远小于1，粒子间的关联可以忽略。这时， 全同性的影响只表现在因子 上。 经典统计中的分布和微观状态数 对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设 ，这时经典系统的一个运动状

9、态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小 表示经典系统的一个微观状态在 空间所占的体积，称为经典相格。这里 由测量精度决定，最小值为普朗克常量。 现将 空间划分为许多体积元 ，以 表示运 动状态处在 内的粒子所具有的能量， 内粒子的运动状态数为:这样， 个粒子处在各 的分布可表示为能级：简并度：粒子数：体 积 元: 由于经典粒子可以分辨，处在一个相格内的粒子个数不受限制，所以经典系统遵从玻耳兹曼系统的统计规律，所以与分布 相应的经典系统的微观状态数为：玻耳兹曼系统玻色系统费米系统经典系统微观状态3.6 玻耳兹曼分布 在上一讲中，我们得到了与一个分布相对应的系统的微观状态数,

10、而且举例说明了对于一个孤立系统的约束条件不变的条件下，即E、N、V=const, 对于不同的分布系统的微观状态数是不同的。可能存在这样一个分布 ,它使系统的微观状态数最多。 根据等几率原理，对处于平衡态的孤立系统，每一个可能的微观状态数的几率是相等的。因此，微观状态数最多的分布，出现的几率最大，称为最可几分布（最概然分布）。下面推导玻耳兹曼系统（定域系统）粒子的最概然分布玻耳兹曼分布。三种分布的推导斯特令（Stirling）公式： 当足够大时,第二项与第一项相比可以忽略.这时玻耳兹曼分布两边取对数得：对若假设N1，al1 ， l1,可得到：两边关于 求变分，但这些 不完全是独立的，必须满足约束

11、条件：则必须满足： 求在此约束条件下的最大值: 则有：即， 考虑使用拉格朗日乘数法， 取未定因子为a和分别乘以前面约束条件两式，有 玻耳兹曼分布也可表示为处在能量为 的量子态上的平均粒子数 上式给出了玻耳兹曼系统粒子的最概然分布，称为玻耳兹曼分布。 a和b分别由下面条件决定说明：（1） 取极大值的条件不仅要求同时要求证明：对关于 再求变分，有所以满足取极大值的条件。（2）一个处在宏观平衡态的孤立系统可能给出的微观状态数为各种分布对应的微观状态数的总和，其中最概然分布给出的微观状态数比其他分布给出的微观状态数大得多，因此可以用最概然分布给出的微观状态数来近似系统总的微观状态数。 现将玻耳兹曼分布

12、的微观状态数 与对玻耳兹曼分布有偏离 的一个分布的微观状态数加以比较。对 作泰勒展开， 假设对玻耳兹曼分布的相对偏离为则对于 的宏观系统， 这个估计说明，即使对最概然分布仅有极小偏离的 分布，它的微观状态数与最概然分布给出的微观状态数相比也接近于零。（3）斯特令公式要求，实际情况往往不满足。（4）以上理论可以推广到含有多个组元的情形。经典统计中玻耳兹曼分布的表达式a和b分别由下面条件决定 3.7 玻色分布和费米分布 同理可以求出玻色系统和费米系统中粒子的最概然布。对 两边取对数得：若假设N1，al1 ， l1,可得到： 两边关于 求变分，则必须满足：但这些 不完全是独立的，必须满足约束条件：

13、为求在此约束条件下的最大值，使用拉格朗日乘数法，取未定因子为a和分别乘以上面两式，有则有：即，同理可导出费米分布为 上式给出了玻色系统粒子的最概然分布，称为玻色分布。 a和b分别由下面条件决定 玻色分布和费米分布分布也可表示为处在能量为 的量子态 上的平均粒子数a和b分别由下面条件决定 玻耳兹曼分布： 玻色分布： 费米分布： 3.8 三种分布的关系 如果参数a 满足条件则玻色分布和费米分布过渡到玻耳兹曼分布。即满足经典极限条件的玻色(费米)系统遵从玻耳兹曼系统同样的分布。由于 对所有能级等价，所以两者均称为经典极限条件，或非简并性条件。经典极限条件表示，在所有的能级，粒子数都远小于量子态数。

14、当满足经典极限条件时，微观状态数和分布退化的规律 第四章 玻耳兹曼统计 普适气体常数 、阿伏加德罗常数 和玻耳兹曼常数 之间的关系：注意：理想气体物态方程玻耳兹曼常数k玻耳兹曼分布:其中一、 根据玻耳兹曼分布研究气体分子质心的平动，导出气体分子的速度分布律。在这问题上，由量子统计理论和由经典统计理论得到的结果相同。以下采用经典统计理论讨论。设气体含有N个分子，体积为V,分子质心平动动能在体积内，在的动量范围内，分子质心分子数为4.3 麦克斯韦速度分布律平动的状态数为对经典粒子，物理量是连续的，可以去掉下标，于是 参数由总分子数决定，利用得得质心动量在范围内的分子数为如果用速度作变量，作代换或则

15、在单位体积内，速度在范围内的分子数， 函数称为麦氏速度分布函数，满足条件称为麦氏速度分布律在速度空间的球坐标中，麦氏速度分布律为两边完成速度空间所有方向的积分，则在单位体积内，速率在 范围内的分子数，称为麦氏速率分布律称为速率分布函数，满足条件最可几速率：使速率分布函数 取极大值的速率。对 关于 求导，令不符合要求，取最可几速率得最可几速率利用积分利用积分则平均速率方均根率则分子平均能量系统总内能定容热容量定压热容量定压热容量与定容热容量之比 理论结果与实验结果符合得很好，但没有考虑原子内电子的运动。原子内的电子对热容量没有贡献是经典理论所不能解释的，要用量子理论才能解释。二、 理想气体的内能和热容量证明： 将系统看作经典系统，粒子总能量4.4 能量均分定理一、能量均分定理 对于处在温度为 的平衡状态的经典系统，粒子 能量中每一平方项的平均值为 。其中 均为正值 ； 与无关 ( )系统麦氏概率分布在 的 体积范