2022高考总复习 数学(人教A理一轮)第1课时　绝对值不等式

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第1课时绝对值不等式选修452022内容索引010203必备知识 预案自诊关键能力 学案突破核心素养数学运算(多层次提升)必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.绝对值三角不等式(1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|,当且仅当时,等号成立;(2)性质:|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|,当且仅当时,等号成立.|a|+|b| ab0 |a-b|+|b-c| (a-b)(b-c)0 2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a(a0)的解法:|x|a-axaxa

2、或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法:|ax+b|c;|ax+b|c.(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程及数形结合的思想.-cax+bc ax+bc或ax+b-c 3.基本不等式 2ab 4.柯西不等式(1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设,是两个向量,则|,当且仅当是零向量或存在

3、实数k,使=k时,等号成立.5.不等式证明的方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、放缩法以及利用绝对值三角不等式、柯西不等式法等.【考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)对|a-b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立.()(2)|a+b|+|a-b|2a|.()(3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.()(4)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”.()(5)若m=a+2b,n=a+b2+1,则nm.()2.若|a-c|b|,则下列不等式正确的是()A.ac-bC.|a|b|-

4、|c|D.|a|b|+|c|答案 D解析 |a|-|c|a-c|b|,即|a|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是()A.(2,3)B.(1,2) C.(1,3)D.(1,4)答案 C 5.若存在实数x使|x-a|+|x-1|3成立,则实数a的取值范围是. 答案-2,4解析 |x-a|+|x-1|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|3有解,可使|a-1|3,-3a-13,-2a4.关键能力 学案突破考点1绝对值不等式的解法【例1】 (2020全国1,理23)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|. (1)画出y=f(x)的图象;(2)求不

5、等式f(x)f(x+1)的解集.(2)函数y=f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=f(x+1)的图象. 解题心得解含有两个以上绝对值符号的不等式的方法解法1:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;解法2:利用“零点分段法”求解,即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而将绝对值不等式转化为常规不等式,体现了分类讨论的思想;解法3:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.对点训练1(2019全国2,理23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f

6、(x)0的解集;(2)若x(-,1)时,f(x)0,求a的取值范围.解 (1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1).当x1时,f(x)=-2(x-1)20;当x1时,f(x)0.所以,不等式f(x)0的解集为(-,1).(2)因为f(a)=0,所以a1.当a1,x(-,1)时,f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1)1时,求a的取值范围;(2)若a0,对x,y(-,a,都有不等式f(x)|y+ |+|y-a|恒成立,求a的取值范围.解题心得1.对于求参数范围问题,可将已知条件进行等价转化,得到含有参数的不等式恒成立,此时通过求函数的最值得到关于参

7、数的不等式,解不等式得参数范围.2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxa有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)mina无解f(x)maxa;f(x)a无解f(x)mina.对点训练3(2020山西太原三模,23)已知函数f(x)=|x+1|+|x-2a|,aR.(1)若a=1,解不等式f(x)4;(2)对任意的实数m,若总存在实数x,使得m2-2m+4=f(x),求实数a的取值范围.(2)根据题意,得m2-2m+4的取值范围是f(x)值域的子集.m2-2m+4=(m-1)2+33,又f(x)=|x+1|+|x-2a|2a+1|,所

8、以f(x)的值域为|2a+1|,+).故|2a+1|3,解得-2a1,即实数a的取值范围为-2,1.考向3恒等转化法求参数范围【例4】 (2020全国2,理23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)4的解集;(2)若f(x)4,求a的取值范围.(2)因为f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|a2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)24,即|a-1|2时,f(x)4.所以当a3或a-1时,f(x)4.当-1a3时,f(a2)=|a2-2a+1|=(a-1)21的解集;(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.考点3求函数或

9、代数式的最值(多考向探究)考向1利用基本不等式求最值【例5】 (2020河北石家庄二模,文23)函数f(x)=|2x-1|+|x+2|.(1)求函数f(x)的最小值;考向2利用绝对值三角不等式求最值(1)当a=1时,解不等式f(x)4;(2)求函数g(x)=f(x)+f(-x)的最小值.解题心得利用绝对值三角不等式求函数或代数式的最值时,往往需要对函数或代数式中的几个绝对值里面的代数式等价变形,使相加或相减后对消变量,得到常数.对点训练6已知函数f(x)=|2x+1|-|x-1|.(1)求f(x)+|x-1|+|2x-3|的最小值;(2)若不等式|m-1|f(x)+|x-1|+|2x-3|有解

10、,求实数m的取值范围.解(1)f(x)+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|-|x-1|+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|+|2x-3|2x+1-(2x-3)|=4,当 时等号成立,所以f(x)+|x-1|+|2x-3|的最小值为4.(2)不等式|m-1|f(x)+|x-1|+|2x-3|有解,|m-1|f(x)+|x-1|+|2x-3|min.|m-1|4,m-1-4或m-14,即m-3或m5,实数m的取值范围是(-,-35,+).考向3利用放缩法求最值【例7】 (2019全国3,理23)设x,y,zR,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2

11、)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2 成立,证明:a-3或a-1.解题心得利用放缩法求代数式的最值,一般利用基本不等式,绝对值三角不等式及数学结论进行放缩,在放缩的过程中,结合已知条件消去变量得到常量,从而得到代数式的最值.对点训练7已知实数m,n满足2m-n=3.(1)若|m|+|n+3|9,求实数m的取值范围;解 因为2m-n=3,所以2m=n+3.(1)|m|+|n+3|=|m|+|2m|=3|m|9,所以|m|3,所以m-3或m3.故m的取值范围为(-,-33,+).要点归纳小结1.绝对值不等式主要利用“零点分段法”求解,有时也利用函数图象通过观察得出不等式的解集.2.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法(1)分离参数法:运用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(x)mina”可解决恒成立中的参数范围问题.(2)数形