2022高考总复习 数学(人教A理一轮)3.2　第2课时　利用导数研究函数的极值、最大(小)值

1、高考总复习优化设计GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI第2课时利用导数研究函数的极值、 最大(小)值第三章2022内容索引0102必备知识 预案自诊关键能力 学案突破必备知识 预案自诊【知识梳理】 1.导数与函数的极值(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值,f(a)=0;而且在点x=a附近的左侧,右侧,则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值,f(b)=0;而且在点x

2、=b附近的左侧,右侧,则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.都小f(x)0 都大 f(x)0 f(x)g(x),即f(x)-g(x)0,构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x);(2)构造“形似”函数:通过等价变换把不等式转化为左右两边具有相同结构的式子,根据“相同结构”构造辅助函数;(3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x);(4)放缩法:若所给不等式不易求解,可将不等式进行放缩,然后构造函数进行求解.【考点自诊】 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)

3、函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.()(2)导数为零的点不一定是极值点.()(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.()A.x=1B.x=-2C.x=-2和x=1D.x=1和x=2答案 D解析 由f(x)=4x2-12x+8=4(x-2)(x-1)=0得x=1或x=2,当x0;当1x2时,f(x)2时,f(x)0.可得函数f(x)的极值点为x=1和x=2.故选D.3.设函数f(x)=xex,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点答案

4、D解析 f(x)=ex+xex=(1+x)ex.令f(x)=0,则x=-1.当x-1时,f(x)-1时,f(x)0,则x=-1为f(x)的极小值点.4.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e上的最大值为()A.1-eB.-1C.-eD.0答案 B解析 因为 ,当x(0,1)时,f(x)0;当x(1,e时,f(x)0,f(x)单调递增,当x(x1,x2)时,g(x)0,则f(x)0,则f(x)0,f(x)单调递增,图1 当a0,可得x10,则f(x)0,f(x)单调递增,当x(x2,+)时,g(x)0,则f(x)0,f(x)单调递减,因此,当a0时,函数有一个极值点.综上所述,当a 时,判断函

5、数f(x)在定义域上的单调性;(2)求函数f(x)的极值点.考点2求函数的极值、最大(小)值【例2】 已知函数f(x)=ln x-kx+k(kR),求f(x)在1,2上的最小值. 于是f(x)在1,2上的最小值为f(1)=0或f(2)=ln 2-k.()当0ln 2-k,即0kln 2时,f(x)min=f(1)=0.()当0ln 2-k,即kln 2时,f(x)min=f(2)=ln 2-k.综上所述,当k0时,若k为整数,且x+1(k-x)f(x)+x+1,求k的最大值.x0,h(x)=ex-10.函数h(x)=ex-x-2在(0,+)上单调递增.而h(1)0,所以h(x)在(0,+)上存

6、在唯一的零点,故g(x)在(0,+)上存在唯一的零点,设此零点为,则(1,2).当x(0,)时,g(x)0,g(x)单调递增.所以g(x)在(0,+)上的最小值为g(),又由g()=0,可得e=+2,所以g()=+1(2,3),故等价于k0.所以当0 x2时,f(x)2时,f(x)0.所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+).(2)函数f(x)在(0,2)上存在两个极值点,等价于f(x)=0在(0,2)上有两个不同的实数根.(方法1)f(x)=0在(0,2)上有两个不同的实数根等价于ex-kx=0在(0,2)上有两个不同的实数根.设h(x)=ex-kx,则h(x)=ex

7、-k.当k1时,h(x)0,所以h(x)在(0,2)上单调递增,此时h(x)在(0,2)上不存在两个不同的实数根.当k1时,由h(x)0可得xln k,由h(x)0可得x2时,G(x)0,函数G(x)在(2,+)上单调递增,G(2)=3-ln 20,所以在(2,+)上,G(x)0恒成立,所以F(a)=a2-ln a-a+10,所以函数F(x)在(1,a)上存在唯一零点x=x0,所以f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,此时函数f(x)存在极小值.综上,若函数f(x)在区间(1,+)上有极值,则a2.故实数a的取值范围为(2,+).考点5利用导数求实际问题中的最值【例5】

8、(2020江苏,17)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO为铅垂线(O在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(单位:米)与D到OO的距离a(单位:米)之间满足关系式h1= a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(单位:米)与F到OO的距离b(单位:米)之间满足关系式h2=- b3+6b.已知点B到OO的距离为40米.(1)求桥AB的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(单位:万元),桥墩CD每米造价 k(单位:万元)(k0),问OE为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?(2)以O为原点,MN为x轴,OO为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示). x(0,20)20(20,40)f(x)-0+f(x)极小值所以当x=20时,f(x)取得最小值.答:(1)桥AB的长度为120米; (2)当OE为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低. 解题心得关于三角函数、几何图形面积、几何体体积及实际问题中的最值问题,最初的解题思路往往并不是用导数的方法求最值,但在一般方法不易求的情况下,能想到用导数的方法求最值,问题就容易多了.对点训练5(2020四川三台中学期中,理12)如图所示,四边形AB