Transformation(齐次坐标变换)

1、PartHIHomogeneousTransformation（齐次坐标变换）1-平移图3.1平移变换如图所示存在基坐标系0和动坐标系I,二者的姿态相同，原点不重合。空间-lr中和坐标系I固联的一质点P在坐标系o中的坐标表示为P=pa。：，在坐标系I中的坐标表示为匕=p“I、plz,坐标系I的原点Oi在坐标系o中坐标为比=dQXd0yd0:。根据矢量运算规则有4=片+；(3.1.1)如果考虑到坐标系I相对丁坐标系0的姿态变化阵尺，则可以认为二者之间的相对关系是原点间的平移运动和绕原点的纯转动的合成，有：P。=+D；(3.1.2)同理有P严R；P+D：(3.1.3)2-平移+旋转假设存在坐标系0

2、,I和II,仿照(3.1.2)式可以写出由II到I的坐标变化关系P严R；P,+D：(3.2.1)消去中间变量后，可以得到p点在坐标系0中的表示，P=R：R；P2+R；D；+D；(3.2.2)氏接考虑坐标系0和I之间的关系可以写成Po=R：P,+D：(323)对比以上二式得到：R：=&R；(3.2.4)D：=R：D；+D：(3.2.5)以上两式说明：姿态变换矩阵在多级坐标变换中可以进行虚接的相乘而得到平移变换在多级坐标变换中必须注意所用坐标的相对坐标系及坐标系之间的转换。3.3齐次变换01_(331)将(3.2.4)和(3.2.5)写成矩阵的形式为:飞厉=尺用R；D：+D；_01口01由此可以定

3、义坐标的齐次变换矩阵为:(332)由丁R是正交阵,R-10可以容易的获得:-RlD1(333)(3.3.4)(335)相应的进行坐标变换的坐标也称为齐次坐标:pxp=p、P:1由此式(3.2.2)和(3.2.3)可以写成：h=日加称作由坐标系I到0的齐次坐标变换。(345)H=久Rot,(3.4.4)3.4基本齐次变换(342)1-基本平移d.cT1(343)100a_100o-_100o-0100010b0100；Transvh=；Trans.e=001000100010000100010001TmnsW(341)2.基本旋转_1000Rot=0cosa-sma0 x,a0S1116Zcos

4、a00001COS00S1H000100Rot.=-Sill00COS000001cos。一sin&00o0sm。cos。Rot.=o001000013.般形式其中n=nxnyn:r表示动作标系I的x轴在固定坐标系0中的坐标;5=5v5v5.z表示动作标系I的y轴在固定坐标系0中的坐标；a=axaya:r表示动作标系I的z轴在固定坐标系0中的坐标。与坐标变换阵R一样，齐次坐标变换阵H可以由多个基本齐次变换矩阵按次序乘积求得。【例】坐标系I由坐标系0经过绕X轴转6Z角，然后沿X轴平移b,再沿Z轴平移d,最后绕z轴转动&角后得到，求由坐标系I到0的齐次坐标变换矩阵H。解：齐次坐标阵H可以表示成一下

5、4个子齐次坐标变换矩阵依次积的形式，即:sinasinsinacos将基本变换矩阵带入后得:j000100/1000cos8-sniO0o0cosa-sma001000100Slllcos*000SllltZcosa00010001d00100001000100010001JJJ1-Jcos8-sinQ0bH=sindcosaSillcosacos8-S1116Zcosdcosa补充如（332）式所描述的齐次坐标变换是在Robotics中应用的一种特例,其更一般的结构是%】1X1RotationPerspectiveTranslationScalefactor(3.4.6)(345)H=久Rot,(3.4.4)其中ScaleFactor和Perspective将在计算机图形学和视觉中起到重耍作用，在表示刚体运动学的坐标变换中将分别取1和0的最简单情况。5.小结Robotics中的齐次坐