6.4.3 余弦定理、正弦定理（第1课时）余弦定理（1）

1、643余弦定理、正弦定理第一课时余弦定理教材分析本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修第二册（人教A版）第六章平面向量及其应用， 本节课主要学习余弦定理及利用余弦定理的应用。本节课在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比拟中，提出了一个考问题“勾 股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理那么指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如 何看这两个定理之间的关系?并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平 方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角;如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角;如 果大于第三边的平方那么第三边所对

2、的角是锐角。由上可知，余弦定理是勾股定理的推广，还要启发引导学 生注意余弦定理的各种变形式并总结余弦定理的适用题型的特点，在解题时正确选用余弦定理到达求解， 求证目的启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系，在应用向量知识的同时注意使学生 体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系。教学目标与核心素养课程目标学科素养A.掌握余弦定理的证明方法，牢记公式；B.掌握余弦定理公式的变式，会灵活应用 余弦定理解决两类解三角形问题；C.掌握给出三边判断三角形的形状问题；D.培养学生的数形结合的能力。.数学抽象：余弦定理的推导过程；.逻辑推理：余弦定理的证明；.数学运算：利用余弦定

3、理解三角形；.直观想象：数形结合法；教学重难点L教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用;2.教学难点：利用向量的数量积推导余弦定理的思想方法及利用余弦定理求解三角形的思路。课前准备多媒体教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回顾，温故知新L向量的减法：宁【答案】OA-OB = BAo相同起点，尾尾相连，指向被减向量。2.1可量的数里积【答案】a-babcosO3 .证明三角形全等的方法有哪些？【答案】ASA, AAS, SAS, SSSo二、探索新知探究1 .在三角形A8C中，三个角A, B, C所对的边分别为m b, c, 怎样用a, 6和C表小c? 【解析】如图，设C5

4、= a,C4 = b,A5=c,那么c =。匕，通过复习所学知识， 建立知识间的联系， 提高学生概括、类比 推理的能力。通过探究，由向 量证明余弦定理，提 高学生分析问题、概f T (T -、( 、 f f f f fc = c- c = a-b - a-b = a- a+ h- b-2a- h 7 7=a2 +b2 -2abcosC所以。2 =2 + 一 2abeosC o同理可证：a2 =b2 +c2 - 2bccosAb2 = a2 +c2 - Zac cos B余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a1 -b2 +c2 - 2bc

5、cosAb2 = a2 +c2 - 2accosBc2 = a2 +b -2abcosC应用：两边和一个夹角，求第三边.思考1：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关 系，应用余弦定理，我们可以解决三角形的三边确定三角形的角 的问题，怎么确定呢？刀2 22由余弦定理变形得cos A =2bc a2 +c2-b2cos B =lac括能力。通过思考，推导余弦定理的推论，提高学生解决问题的能力。通过思考与探 究，进一步推导余弦 定理的变形结论，提 高学生的观察、概括 能力。 a2 +b2 -c2cos C =lab应用：三条边求角度。思考2：勾股定理指出了直角三角形中的三条边之间的关系

6、，余弦定 理那么指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系，你能说说这两 个定理之间的关系吗？【解析】a1 =b2 +c2 - 2/?ccos A, a2 =b2 + c2探究2：当角C为直角时，有当角C为锐角时，这三 者的关系是什么？钝角呢？【结论】当角C为锐角时，a2+h2c2；当角C为钝角时，a2 +b2 c2 ；当角C为直角时，a2 +b2 =c2o一般地，三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c叫做三角 形的元素，三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。例1 .在AABC中，b=60cm, c=34cm, A = 41 ,解这个三角形（角度精准到1，边长精确到1c

7、m.）解：由余弦定理，得a2 =b2 +c2 -2bccosA = 602 +342 一 2 x 60 x 34xcos41出1676.78所以241,由余弦定理的推论，得n a2+c2-b2342+412 -602763 到巾、“凡口cos3 =，利用计算器，可lac2 x 34 x 412788得3六1060所以，C = 180-（A+B）180o-（4r+106o） = 33例2在A/LBC中， 斫7,氏8,锐角C满足sin。二 任，求B。14（精准到1）篇：因为sinC二号,HC为锐角，所以 cos C=sh?C =J1 （4；）=卷.由余弦定理，得2a6cos C=49+64-2X7

8、X8X需=9.所以c=3.进而cos b安卫=乎二8 = _12ca2X3X774利用计算器.可得8*98：通过例题的讲解，让 学生进一步理解余 弦定理，提高学生解 决与分析问题的能 力。三、达标检测1.在AABC中，。=7, b=4小,c=V13,贝必45。的最小角为（）兀c兀一兀c兀A,3B6C,4D.五【答案】B【解析】由三角形边角关系可知，角C为A8C的最小角，那么cosC。2 + 分一。2 72+（4小）2 -（小5）2 小Ji- 2ab -2X7X4V3一，所以 一6,应选艮2.在A3C中，2=按+*+A，那么角A等于（）A. 60B. 45 C. 120D. 30【答案】c通过练

9、习巩固本节 所学知识，通过学生 解决问题的能力，感 悟其中蕴含的数学 思想，增强学生的应 用意识。R + / 一I【解析】由COSA=F=2,.A=12。.应选C。.在ZkABC中，假设=20cosC,那么ABC的形状为【答案】等腰三角形【解析】Ya = 2bcos C=2b-2ab/.a2=a2-b2c2,即 h2=c29 b=c,ABC为等腰三角形.在ABC中，内角A, B,。的对边分别为a, b, c,5=C,2Z? =/，贝cosA=.【答案】；【解析】由B=C,2b=4a,r用1 _ 小可付 bc j a.5.在aABC中，a=5, b=3,角。的余弦值是方程5d+7x6 =0的根，求第三边。的长.【解析】5/+7x6=0可化为(5x3)(x+2)=0, 汨=5, %2= -2(舍去),7 cos C5.根据余弦定理.，c1=a1-b22abcos C3 52+322x5x3x 16,.c=4,即第三边长为4.四、小结.余弦定理及其推论；.利用余弦定理的解三角形。五、作业习题 6.46 (1) (2)题通过总结，让学生 进一步巩固本节所 学内容，提高概括能 力，提高学生的数学 运算能力和逻辑推 理能力。教学反思本课中，教师立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题解决问题、应用反 思的过程，学生成为余弦定理的“