9.2.4 总体离散程度的估计（2）

1、【新教材】总体离散程度的估计教学设计（人教A版）教材分析本节是主要介绍如何从样本中提取基本信息:方差、标准差、极差，来推断总体的情况.统计学是研究如 何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据.教学目标与核心素养课程目标.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差）.会求样本数据的方差、标准差、极差.理解离散程度参数的统计含义.数学学科素养.数学抽象：方差、标准差有关概念的理解；.数学运算：求方差、标准差；.数据分析：用样本平均数和样本标准差估计总体.教学重难点重点：求样本数据的方差、标准差、极差.难点：用样本平均数和样本标准差估计总体.课前准备教学方法：以学

2、生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。教学过程一、情景导入在初中我们学过方差、中位数和平均数标准差的概念，他们都是描述一组数据的离散程度的特征数.回忆它们的定义及特点，用样本平均数和样本标准差怎样估计总体.要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本209-213页，思考并完成以下问题1、标准差和方差各指什么？2、标准差和方差的特征各是什么？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答下列问题。三、新知探究.方差、标准差的定义1 n 1 n 一组数据R, X2,.，&，用X表示这组数据的平均数

3、，那么这组数据的方差为:%）2=：蜡一 X 尸1尸12,标准差为、I这X/T 2.总体方差、总体标准差的定义1 N 如果总体中所有个体的变量值分别为，力，.，为，总体平均数为丫，那么称屋（匕一丫/尸1为总体方差，S=d容为总体标准差.如果总体的N个变量值中，不同的值共有WKN）个，记为力，,Yk，其中匕出现的频数为的=1,2,，左），那么总体方差为催=与/；（匕一下产 %=i3.样本方差、样本标准差的定义 1 n 如果一个样本中个体的变量值分别为歹1，歹2,，为，样本平均数为V，那么称s2=5ZS7）2 为样本方差，5=正为样本标准差.4.方差、标准差特征标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动

4、幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小， 数据的离散程度越小.在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多 采用标准差.四、典例分析、举一反三题型一标准差与方差的应用例1甲、乙两机床同时加工直径为100 mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：99 100 98 100 100 103乙：99 100 102 99 100 100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.7【答案】(l)x甲=100, x乙=100晶=予s2=L(2)乙机床加工零件的质量更稳定.【解析】(1)三甲=(99+10

5、0+98+100+100+103)= 100, 1x 乙=彳(99 +100 +102+99 +100 +100) = 100.跟踪训练一1.为了参加某数学竞赛，某高级中学对高二年级理科、文科两个数学兴趣小组的同学进行了赛前模拟测试, 成绩(单位：分)记录如下.理科:79,81,81,79,94,92,85,89文科：94,80,90,81,73,84,90,80计算理科、文科两组同学成绩的平均数和方差，并从统计学的角度分析，哪组同学在此次模拟测试中 发挥比拟好？【答案】理科嚏1 = 85(分)，方差式= 31.25；文科工2 = 84(分)，方差*=41.75.理科组同学在此次模拟测试中发挥

6、比拟好. TOC o 1-5 h z 11【解析】计算理科同学成绩的平均数x i = oX(79 + 79 + 81 + 81 + 85 + 89+92 + 94) = 85(),方差式=谈(79 OO 85)2 + (79 85)2+(8185)2 + (81 85尸 + (85 85)2+(89 85 + (92 85)2+(94 85)2 = 31.25；11计算文科同学成绩的平均数 x 2=x(73 + 80+80 + 81+84 + 90+90+94) = 84(分)，方差 d= X 2，所以从统计学的角度分析，理科组同学在此次模拟测试中发挥比拟好.题型二用样本平均数和样本标准差估计

7、总体例2在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数 据，只知道抽取了男生23人，其平均数和方差分别为170.6和12.59,抽取了女生27人，其平均数和方差 分别为160.6和38.62,你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差作出估计 吗？【答案】能，估计为51.4862【解析】引入记号，把男生样本记为玉,，3,其平均数记为了，方差记为个；把女生样本记为X，%，为7,其平均数记为了，方差记为；把总样本数据的平均数记为N,方差记为,I.123279为了与工亍联系，变形为/根据方差的定义，总样本方差为$2 =京 ZUh+(“一

8、歹5U _ /=1；=123，计算后可得工2(七一元)(元一彳) = 0,i=l这也就是估计值.=/与(七一元+元一彳)2+(匕一歹+9一彳)2272(匕一 y)(y-z) = o .这样变形后可计算出/7=1解题技巧(用样本平均数和样本标准差估计总体考前须知)(1)标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差.(2)计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形和整体代换.跟踪训练二1.在一个文艺比赛中，8名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分.在给某选手 的打分中，专业人士打分的平均数和标准差分别为47.4和3.7,观众代表打分的平均数和标准差为56.

9、2和 11.8,试根据这些数据计算这名选手得分的平均数和标准差.【答案】平均数为52.68分，标准差为10.37.【解析】把专业人士打分样本记为耳，短，工8,其平均数记为嚏，方差记为W；把观众代表打分样本记为/，及，.，夕 其平均数为亍，方差记为除 把总体数据的平均数记为方差记为2.812那么总样本平均数为：z =7x47.4+x56.2 = 52.68(),五、课堂小结让学生总结本节课所学主耍知识及解题技巧 六、板书设计2.4总体离散程度的估计.方差、标准差的定义例1 例2.总体方差、总体标准差的定义o 1*+ X二、件/占有占?/七、作业课本213页练习，214例习题9.2的剩余题.教学反

10、思本节课学生难掌握的是用样本平均数和样本标准差估计总体，在此类题型中学生对公式的转化有一定 的困难，需细细推敲.174=力(99 -100)1 2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-100)2+(103-100)2 = *=1(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-100)2+(100-100)2 = 1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又端或，所以乙机床加工零件的质量更稳定.解题技巧(实际应用中标准差、方差的意义)在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程 度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据 越集中，稳定性越高.18_