24.圆的有关性质24.13弧、弦圆心角

1、24.1.3 弧、弦、圆心角通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系.运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题.指导知识探究第 83 至 84 页内容，回答下列问题.顶点在圆心的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做等圆；能够重合的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的的图形重合，这就是圆的旋转性.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弦，两条弧中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等.在O 中，AB、CD 是两条弦.如果 AB=CD，那么AB=CD，AOB=COD；(2)如果AB=CD，那么 AB=CD，AOB=COD；

2、(3)如果AOB=COD，那么 AB=CD，AB=CD.反馈1. 如图， AD 是 O 的直径， AB=AC ， CAB=120 ，根据以上条件写出三个正确结论.( 半径相等除外)(1)ACOABO； (2)AD 垂直平分 BC； (3)AC=AB.2.如图，在O 中，AB=AC，ACB=60，求证：AOB=BOC=AOC.证明：AB=AC，AB=AC. 又ACB=60，ABC 为等边三角形，AB=AC=BC，AOB=BOC=AOC.第 2 题图第 3 题图3.如图，(1)已知AD=BC.求证：AB=CD.(2)如果 AD=BC，求证：DC=AB.证明：(1)AD=BC，AD+AC=BC+AC

3、，DC=AB，AB=CD.(2)AD=BC，AD=BC，AD+AC=BC+AC，即DC=AB.活动 1 小组例 1 在O 中，一条弦 AB 所对的劣弧为圆周的整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的.例 2 在半径为 2 的O 中，圆心O 到弦 AB 的距离为 1，则弦 AB 所对的圆心角的度数为 120.例 3 如图，在O 中，AB=AC，ACB=75，求BAC 的度数.解：30.例 4 已知：如图，AB、CD 是O 的弦，且 AB 与 CD 不平行，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AB=CD，那么AMN与CNM 的大小关系是什么？为什么？(1)OM、ON 具备垂径定理推论的条件. (2)同

4、圆或等圆中，等弦的弦心距也相等.解：AMN=CNM.AB=CD，M、N 为 AB、CD 中点.OM=ON，OMAB，ONCD.OMA=ONC，OMN=ONM，OMA-OMN=ONC-ONM.即AMN=CNM.活动 2训练1.如图，AB 是O 的直径，BC=CD=DE，COD=35，求AOE 的度数.解：75.第 1 题图第 2 题图，CD 为O 的弦，在 CD 上截取 CE=DF，连结 OE、OF，并且它们的延长线交O 于点 A、B.2.试判断OEF 的形状，并说明理由；求证：AC=BD.解：(1)OEF 为等腰三角形.理由：过点 O 作 O于点 G.则 CG=DG.CE=DF，CG-CE=D

5、G-DF.EG=FG.O，OG 为线段 EF 的中垂线.OE=OF.OEF 为等腰三角形.证明：连结 AC、BD.由(1)知 OE=OF，又OA=OB，AE=BF，OEF=OFE.CEA=OEF，DFB=OFE，CEA=DFB.在CEA 与DFB 中，AE=BF，CEA=BFD，CE=DF，CEADFB.AC=BD.AC=BD.过圆心作垂径.(2)连结 AC、BD，通过证弦等来证弧等.3.已知如图，AB 是O 的直径，M、N 是 AO、BO 的中点.CMAB，DNAB，分别与圆交于 C、D 点.求证：AC=BD.证明：连结 AC、OC、OD、BD.M、N 为 AO、BO 中点，OM=ON，AM=BN.CMAB，DNAB，CMO=DNO=90.在 RtCMO 与 RtDNO 中，OM=ON，OC=OD，RtCMORtDNO.CM=DN.在 RtAMC 和 RtBND 中，AM=BN，AMC=BND，CM=DN，AMCBND.AC=BD