北京市西城区九年级上期末数学试卷含答案解析

1、20222023北京市西城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的二次函数 y=（x5）2+7 的最小值是（）A7B7C5D5如图，在 RtABC 中，C=90，AC=3，BC=4，则 cosA 的值为（）BCD如图，C 与AOB 的两边分别相切，其中 OA 边与C 相切于点 P若 AOB=90，OP=6，则 OC 的长为（）A12 BCD将二次函数 y=x26x+5 用配方法化成 y=（xh）2+k 的形式，下列结果中正确的是（）Ay=（x6）2+5By=（x3）2+5Cy=（x3）24Dy=（x+3）2 9若一个

2、扇形的半径是 18cm，且它的弧长是 12 cm，则此扇形的圆心角等于（）A30B60 C90 D120如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（1，2），ABx 轴于点以原点 O 为位似中心，将OAB 放大为原来的 2 倍，得到OA1B1，且点 A11 / 40在第二象限，则点 A1 的坐标为（ ）A（2，4） B（ ，1） C（2，4） D（2，4）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 37方向，距离灯塔 40 海里的 A 处， 它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的正东方向上的 B 处这时， B 处与灯塔 P 的距离 BP 的长可以表示为（ ）A40 海 里 B40

3、tan37 海里C40cos37海里D40sin37 海 里 8如图，A，B，C 三点在已知的圆上，在ABC 中，ABC=70，ACB=30， D 是的中点，连接 DB，DC，则DBC 的度数为（）A30B45 C50 D70某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映，如果调整商品售价，每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件设每件商品降价 x 元后，每星期售出商品的总销售额为 y 元，则 y 与 x 的关系式为（ ）Ay=60（300+20 x） Cy=300（6020 x）By=（60 x）（300+20 x） Dy=（60 x）（30020 x）2 / 40二

4、次函数 y=2x28x+m 满足以下条件：当2x1 时，它的图象位于 x轴的下方；当 6x7 时，它的图象位于 x 轴的上方，则 m 的值为（）A8B10C42D24二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）若，则的值为12点 A（3，y1），B（2，y2）在抛物线 y=x25x 上，则 y1y2（填“”，“”或“=”）ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的DEF 的最小边长为 15， 则DEF 的周长为如图，线段 AB 和射线 AC 交于点 A，A=30，AB=20点 D 在射线 AC上，且ADB 是钝角，写出一个满足条件的 AD 的长度值：AD=程大位所著算法统宗是一部中国

5、传统数学重要的著作在算法统宗中记载： “平地秋千未起，踏板离地一尺送行二步与人齐，五尺人高曾记仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉良工高士素好奇，算出索长有几？ ”【注释】1 步=5 尺译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有 1 尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10 尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是 5 尺美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态， OA 是秋千的静止状态， A 是踏板，CD 是地面，点 B 是推动两步后踏板的位置，弧 AB 是踏板移动的轨迹已知 AC=1 尺，CD=EB=1

6、0 尺，人的身高 BD=5 尺设绳索长 OA=OB=x 尺，则可列方 程 为 3 / 40阅读下面材料：在学习圆这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题： 尺规作图：过圆外一点作圆的切线已知：P 为O 外一点求作：经过点 P 的O 的切线 小敏的作法如下：如图，连接 OP，作线段 OP 的垂直平分线 MN 交 OP 于点 C；以点 C 为圆心，CO 的长为半径作圆，交O 于 A，B 两点；作直线 PA，PB所以直线 PA，PB 就是所求作的切线 老师认为小敏的作法正确请回答：连接 OA，OB 后，可证OAP=OBP=90，其依据是；由此可证明直线 PA，PB 都是O 的切线，其依据是三、解答

7、题（本题共 72 分，第 1726题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题7 分，第 29 题 8 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17计算：4cos30tan60sin245如图，ABC 中，AB=12，BC=15，ADBC 于点 D，BAD=30，求 tanC 的值4 / 40已知抛物线 y=x2+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧求 A，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴；设此抛物线的顶点为 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求四边形 ACBD 的面积如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，A=BDC求证：ABDDCB；若 AB=

8、12，AD=8，CD=15，求 DB 的长某小区有一块长 21 米，宽 8 米的矩形空地，如图所示社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为 x 米的人行通道如果这两块绿地的面积之和为 60 平方米，人行通道的宽度应是多少米？已知抛物线 C1：y1=2x24x+k 与 x 轴只有一个公共点求 k 的值；怎样平移抛物线 C1 就可以得到抛物线 C2：y2=2（x+1）24k？请写出具体的平移方法；若点 A（1，t）和点 B（m，n）都在抛物线 C2：y2=2（x+1）24k 上，且nt，直接写出 m 的取值范围如图，AB 是O 的一条弦，且 AB= AB 于点

9、D，E=30，连接 OA5 / 40点 C，E 分别在O 上，且 OC求 OA 的长；若 AF 是O 的另一条弦，且点 O 到 AF 的距离为度数，直接写出BAF 的奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的塔组成在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）他们的操作方法如下：如图，他们先在 B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为 45，然后向最高塔的塔基直行 90 米到达 C 处，再次测得最高塔塔顶 A 的仰角为 58请帮助他们计算出最高塔的高度 AD 约为多少米（参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60）如图，ABC

10、 内接于O，AB 是O 的直径PC 是O 的切线，C 为切点，PDAB 于点 D，交 AC 于点 E求证：PCE=PEC；若 AB=10，ED=，sinA=，求 PC 的长阅读下面材料：如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1=ax+b 与双曲线 y2=交于 A（1，6 / 403）和 B（3，1）两点 观察图象可知：当 x=3 或 1 时，y1=y2；当3x0 或 x1 时，y1y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b 的解集有这样一个问题：求不等式 x3+4x2x40 的解集某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式 x3+4x2x40 的解集进行了探究下面是他的探究过程

11、，请将（2）、（3）、（4）补充完整：将不等式按条件进行转化： 当 x=0 时，原不等式不成立；当 x0 时，原不等式可以转化为 x2+4x1 ； 当 x0 时，原不等式可以转化为 x2+4x1 ；构造函数，画出图象设 y3=x2+4x1，y4=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象双曲线 y4=如图 2 所示，请在此坐标系中画出抛物线 y3=x2+4x1；（不用列表）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足 y3=y4 的所有 x 的值为；7 / 40借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式 x3+4x2x4

12、0 的解集为27（7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=+bx+c 的图象经过点 A（1，0），且当 x=0 和 x=5 时所对应的函数值相等一次函数 y=x+3 与二次函数 y=求二次函数 y=+bx+c 的图象分别交于 B，C 两点，点 B 在第一象限+bx+c 的表达式；连接 AB，求 AB 的长；连接 AC，M 是线段 AC 的中点，将点 B 绕点 M 旋转 180得到点 N，连接AN，CN，判断四边形 ABCN 的形状，并证明你的结论28（7 分）在ABC 中，ACB=90，AC=BC=4，M 为 AB 的中点D 是射线BC 上一个动点，连接 AD，将线段 AD

13、绕点 A 逆时针旋转 90得到线段 AE，连接ED，N 为 ED 的中点，连接 AN，MN（1）如图 1，当 BD=2 时，AN=，NM 与 AB 的位置关系是；（2）当 4BD8 时，依题意补全图 2；8 / 40判断（1）中 NM 与 AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接 ME，在点 D 运动的过程中，当 BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值是多少？请直接写出结果29（8 分）在平面直角坐标系 xOy 中，过C 上一点 P 作C 的切线 l当入射光线照射在点 P 处时，产生反射，且满足：反射光线与切线 l 的夹角和入射光线与切线 l 的夹角相等，点 P 称为反射点

14、规定：光线不能“穿过”C，即当入射光线在C 外时，只在圆外进行反射；当入射光线在C 内时，只在圆内进行反射特别地，圆的切线不能作为入射光线和反射光线光线在C 外反射的示意图如图 1 所示，其中1=2自C 内一点出发的入射光线经C 第一次反射后的示意图如图 2 所示，P1 是第 1 个反射点请在图 2 中作出光线经C 第二次反射后的反射光线；当O 的半径为 1 时，如图 3，第一象限内的一条入射光线平行于 x 轴，且自 O 的外部照射在其上点 P 处，此光线经O 反射后，反射光线与 y 轴平行，则反射光线与切线 l 的夹角为 ；自点 A（1，0）出发的入射光线，在O 内不断地反射若第 1 个反射

15、点P1 在第二象限，且第 12 个反射点 P12 与点 A 重合，则第 1 个反射点 P1 的坐标为 ；如图 4，点 M 的坐标为（0，2），M 的半径为 1第一象限内自点 O 出发的入射光线经M 反射后，反射光线与坐标轴无公共点，求反射点 P 的纵坐标的取值范围9 / 4010 / 4020222023北京市西城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的二次函数 y=（x5）2+7 的最小值是（）A7B7C5D5【考点】二次函数的最值【分析】根据二次函数的性质求解【解答】解：y=（x5）2+7当 x

16、=5 时，y 有最小值 7 故选 B【点评】本题考查了二次函数的最值：当 a0 时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当 x= ，函数最小值 y=；当 a0 时，抛物线在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当 x=，函数最大值 y=如图，在 RtABC 中，C=90，AC=3，BC=4，则 cosA 的值为（）BCD【考点】锐角三角函数的定义【分析】根据勾股定理，可得 AB 的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可11 / 40得答案

17、【解答】解：在 RtABC 中，C=90，AC=3，BC=4， 由勾股定理，得AB=cosA=，=5故选：A【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边如图，C 与AOB 的两边分别相切，其中 OA 边与C 相切于点 P若 AOB=90，OP=6，则 OC 的长为（）A12 BCD【考点】切线的性质【分析】 连接 CP ，由切线的性质可得 CP AO ，再由切线长定理可得 POC=45，进而可得 POC 是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出 OC 的长【解答】解： 连接 CP，OA 边与C 相切于点 P，CPAO，C 与AO

18、B 的两边分别相切，AOB=90，POC=45，OP=CP=6，OC=6，12 / 40故选 C【点评】本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理的运用，能够正确的判定POC 是等腰直角三角形是解题关键将二次函数 y=x26x+5 用配方法化成 y=（xh）2+k 的形式，下列结果中正确的是（）Ay=（x6）2+5By=（x3）2+5Cy=（x3）24Dy=（x+3）2 9【考点】二次函数的三种形式【分析】运用配方法把一般式化为顶点式即可【解答】解：y=x26x+5=x26x+94=（x3）24， 故选：C【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关

19、键若一个扇形的半径是 18cm，且它的弧长是 12 cm，则此扇形的圆心角等于（）A30B60 C90 D120【考点】弧长的计算【分析】把弧长公式进行变形，代入已知数据计算即可【解答】解：根据弧长的公式 l=，得n=120，故选：D【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长的公式 l=13 / 40是解题的关键如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为（1，2），ABx 轴于点以原点 O 为位似中心，将OAB 放大为原来的 2 倍，得到OA1B1，且点 A1在第二象限，则点 A1 的坐标为（）A（2，4）B（，1）C（2，4）D（2，4）【考点】位似变换；坐标与图形性质【分析】直接利

20、用位似图形的性质以及结合 A 点坐标直接得出点 A1 的坐标【解答】解：点 A 的坐标为（1，2），以原点 O 为位似中心，将OAB 放大为原来的 2 倍，得到OA1B1，且点 A1 在第二象限，点 A1 的坐标为（2，4）故选：A【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键如图，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 37方向，距离灯塔 40 海里的 A 处， 它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的正东方向上的 B 处这时， B 处与灯塔 P 的距离 BP 的长可以表示为（ ）A40 海 里 B40tan37 海里C40cos37海里D40sin37

21、海里【考点】解直角三角形的应用方向角问题14 / 40【分析】根据已知条件得出BAP=37，再根据 AP=40 海里和正弦定理即可求出BP 的长【解答】解：一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 37方向，BAP=37，AP=40 海里，BP=APsin37=40sin37海里； 故选 D【点评】本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想如图，A，B，C 三点在已知的圆上，在ABC 中，ABC=70，ACB=30，D 是 的中点，连接 DB，DC，则DBC 的度数为（ ）A30B

22、45 C50 D70【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系【分析】根据三角形的内角和定理得到 A=80，根据圆周角定理得到 D= A=80，根据等腰三角形的内角和即可得到结论【解答】解：ABC=70，ACB=30，A=80，D=A=80，D 是的中点，BD=CD，DBC=DCB=50，15 / 40故选 C【点评】 本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件市场调查反映，如果调整商品售价，每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件设每件商品降价 x 元后，每星期售出商品的总销售额为 y

23、元，则 y 与 x 的关系式为（ ）Ay=60（300+20 x） Cy=300（6020 x）By=（60 x）（300+20 x） Dy=（60 x）（30020 x）【考点】根据实际问题列二次函数关系式【分析】根据降价 x 元，则售价为（60 x）元，销售量为（300+20 x）件，由题意可得等量关系：总销售额为 y=销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可【解答】解：降价 x 元，则售价为（60 x）元，销售量为（300+20 x）件， 根据题意得，y=（60 x）（300+20 x），故选：B【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系

24、，再列函数解析式二次函数 y=2x28x+m 满足以下条件：当2x1 时，它的图象位于 x 轴的下方；当 6x7 时，它的图象位于 x 轴的上方，则 m 的值为（） A8B10C42D24【考点】二次函数的性质【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线 x=2，在 7x8 这一段位于 x 轴的上方，利用抛物线对称性得到抛物线在 0 x1 这一段位于 x 轴的上方，而图象在 1x2 这一段位于 x 轴的下方，于是可得抛物线过点（ 2，0），（6，0），然后把（2，0）代入 y=2x28x+m 可求出 m 的值【解答】解：抛物线 y=2x28x+m=2（x2）28+m 的对称轴为直线 x=2， 而抛

25、物线在2x1 时，它的图象位于 x 轴的下方；当 6x7 时，它的图16 / 40象位于 x 轴的上方抛物线过点（2，0），（6，0），把（2，0）代入 y=2x28x+m 得 8+16+m=0，解得 m=24 故选 D【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及抛物线的轴对称性：求二次函数y=ax2+bx+c （ a ， b ， c 是常数， a 0 ） 与 x 轴的交点坐标， 令 y=0 ， 即ax2+bx+c=0，解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标 =b24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数：=b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b24ac=0 时，抛物线与

26、x 轴有 1 个交点；=b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分）若，则的值为【考点】比例的性质【分析】已知 的比值，根据比例的合比性质即可求得【解答】解：根据比例的合比性质，已知 =， 则=【点评】熟练应用比例的合比性质12点 A（3，y1），B（2，y2）在抛物线 y=x25x 上，则 y1 y2（ 填“”，“”或“=”）【考点】二次函数图象上点的坐标特征【分析】分别计算自变量为3、2 时的函数值，然后比较函数值的大小即可【解答】解：当 x=3 时，y1=x25x=24； 当 x=2 时，y2=x25x=6；246，y1y2故答案为：【点评】本

27、题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标17 / 40满足其解析式也考查了二次函数的性质ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的DEF 的最小边长为 15， 则DEF 的周长为 90【考点】相似三角形的性质【分析】由ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的DEF 的最小边长为15，即可求得 AC 的周长以及相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案【解答】解：ABC 的三边长分别为 5，12，13，ABC 的周长为：5+12+13=30，与它相似的DEF 的最小边长为 15，DEF 的周长：ABC 的周长=15：5=3：1，DEF 的周长为：

28、330=90 故答案为 90【点评】此题考查了相似三角形的性质熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题关键如图，线段 AB 和射线 AC 交于点 A，A=30，AB=20点 D 在射线 AC上，且ADB 是钝角，写出一个满足条件的 AD 的长度值：AD=10【考点】含 30 度角的直角三角形【分析】过 B 作 BEAC 于 E，由A=30，AB=20，得到 AE=10AEB，即可得到结论【解答】解：过 B 作 BEAC 于 E，A=30，AB=20，AE=10，ADB 是钝角，18 / 40，推出ADBADBAEB，0AD10，AD=10，故答案为：10【点评】本题考查了含 30角的直角三角

29、形的性质，熟记直角三角形的性质是解题的关键程大位所著算法统宗是一部中国传统数学重要的著作在算法统宗中记载： “平地秋千未起，踏板离地一尺送行二步与人齐，五尺人高曾记仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉良工高士素好奇，算出索长有几？ ”【注释】1 步=5 尺译文：“当秋千静止时，秋千上的踏板离地有 1 尺高，如将秋千的踏板往前推动两步（10 尺）时，踏板就和人一样高，已知这个人身高是 5 尺美丽的姑娘和才子们，每天都来争荡秋千，欢声笑语终日不断好奇的能工巧匠，能算出这秋千的绳索长是多少吗？”如图，假设秋千的绳索长始终保持直线状态， OA 是秋千的静止状态， A 是踏板，CD 是地面，点 B 是推动两步后踏

30、板的位置，弧 AB 是踏板移动的轨迹已知 AC=1 尺，CD=EB=10 尺，人的身高 BD=5 尺设绳索长 OA=OB=x 尺，则可列方程为 102+（x5+1）2=x2 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】设绳索有 x 尺长，此时绳索长，向前推出的 10 尺，和秋千的上端为端19 / 40点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理列出方程【解答】解：设绳索长 OA=OB=x 尺， 由题意得，102+（x5+1）2=x2故答案为：102+（x5+1）2=x2【点评】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，考查学生理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来求解阅读下面材

31、料：在学习圆这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题： 尺规作图：过圆外一点作圆的切线已知：P 为O 外一点求作：经过点 P 的O 的切线 小敏的作法如下：如图，连接 OP，作线段 OP 的垂直平分线 MN 交 OP 于点 C；以点 C 为圆心，CO 的长为半径作圆，交O 于 A，B 两点；作直线 PA，PB所以直线 PA，PB 就是所求作的切线 老师认为小敏的作法正确请回答：连接 OA，OB 后，可证OAP=OBP=90，其依据是 直径所对的圆周角是 90 ；由此可证明直线 PA，PB 都是O 的切线，其依据是 经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线 【考点】作图复杂作图；切线的判定【

32、分析】分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案【解答】解：连接 OA，OB 后，可证OAP=OBP=90，其依据是：直径所对20 / 40的圆周角是 90；由此可证明直线 PA，PB 都是O 的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线故答案为：直径所对的圆周角是 90；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线【点评】此题主要考查了切线的判定以及圆周角定理，正确把握切线的判定方法是解题关键三、解答题（本题共 72 分，第 1726题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题7 分，第 29 题 8 分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程17计算：4cos30

33、tan60sin245【考点】特殊角的三角函数值【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案【解答】解：原式=4=6= （）2【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键如图，ABC 中，AB=12，BC=15，ADBC 于点 D，BAD=30，求 tanC 的值【考点】解直角三角形【分析】根据在ABC 中，AB=12，BC=15，ADBC 于点 D，BAD=30，可以求得 BD、AD、CD 的长，从而可以求得 tanC 的值【解答】解：ABC 中，AB=12，BC=15，ADBC 于点 D，BAD=30，21 / 40ADB=ADC=90，AB

34、=2BD，BD=6，CD=BCBD=156=9，AD=，tanC=即 tanC 的值是【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是计算出题目中各边的长，找出所求问题需要的条件已知抛物线 y=x2+2x+3 与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧求 A，B 两点的坐标和此抛物线的对称轴；设此抛物线的顶点为 C，点 D 与点 C 关于 x 轴对称，求四边形 ACBD 的面积【考点】抛物线与 x 轴的交点【分析】（1）令 y=0 解方程即可求得 A 和 B 的横坐标，然后利用配方法即可求得对称轴和顶点坐标；（2）首先求得 D 的坐标，然后利用面积公式即可求解【解答】解：（1）令 y=0

35、，则x2+2x+3=0， 解得：x1=1，x2=3则 A 的坐标是（1，0），B 的坐标是（3，0）y=x2+2x+3=（x1）2+4，则对称轴是 x=1，顶点 C 的坐标是（1，4）；（2）D 的坐标是（1，4）AB=3（1）=4，CD=4（4）=8，则四边形 ACBD 的面积是： ABCD=48=16【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及配方法确定二次函数的对称轴和顶点坐标，正确求得 A 和 B 的坐标是关键22 / 40如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，A=BDC求证：ABDDCB；若 AB=12，AD=8，CD=15，求 DB 的长【考点】相似三角形的判定与性质【分析】（1

36、）根据平行线的性质，可得ADB 与DBC 的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；（2）根据相似三角形的性质，可得答案【解答】（1）证明：ADBC，ADB=DBCA=BDC，ABDDCB；（2）ABDDCB，AB=12，AD=8，CD=15，=，即=， 解得 DB=10，DB 的长 10【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键某小区有一块长 21 米，宽 8 米的矩形空地，如图所示社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为 x 米的人行通道如果这两块绿地的面积之和为 6

37、0 平方米，人行通道的宽度应是多少米？23 / 40【考点】一元二次方程的应用【分析】设人行道的宽度为 x 米，则矩形绿地的长度为：2x，根据两块绿地的面积之和为 60 平方米，列方程求解【解答】解：设人行道的宽度为 x 米，宽度为：8由题意得，2（82x）=60，解得：x1=2，x2=9（不合题意，舍去） 答：人行道的宽度为 2 米【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解已知抛物线 C1：y1=2x24x+k 与 x 轴只有一个公共点求 k 的值；怎样平移抛物线 C1 就可以得到抛物线 C2：y2=2（x+1）24k？请写出具

38、体的平移方法；若点 A（1，t）和点 B（m，n）都在抛物线 C2：y2=2（x+1）24k 上，且nt，直接写出 m 的取值范围【考点】抛物线与 x 轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换【分析】（1）抛物线与 x 轴只有一个公共点，则判别式=0，据此即可求得 k的值；把 C1 化成顶点式的形式，利用函数平移的法则即可确定；首先求得 t 的值，然后求得等 y=t 时 C2 中对应的自变量的值，结合函数的性质即可求解【解答】解：（1）根据题意得：=168k=0，解得：k=2；（2）C1 是：y1=2x24x+2=2（x1）2，抛物线 C2 是：y2=2（x+1）2824

39、/ 40则平移抛物线 C1 就可以得到抛物线 C2 的方法是向左平移 2 个单位长度，向下平移 8 个单位长度；（3）当 x=1 时，y2=2（x+1）28=0，即 t=0在 y2=2（x+1）28 中，令 y=0，解得：x=1 或3则当 nt 时，即 2（x+1）280 时，m 的范围是3m1【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点的个数的确定，以及函数的平移方法， 根据函数的性质确定 m 的范围是关键如图，AB 是O 的一条弦，且 AB= AB 于点 D，E=30，连接 OA求 OA 的长；点 C，E 分别在O 上，且 OC若 AF 是O 的另一条弦，且点 O 到 AF 的距离为度数，直接写

40、出BAF 的【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理【分析】（1）根据垂径定理求出 AD 的长，根据圆周角定理求出 AOD 的度数，运用正弦的定义解答即可；（2）作 OHAF 于 H，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求出OAF 的度数，分情况计算即可【解答】解：（1）OCAB，AB=，AD=DB=2，E=30，AOD=60，OAB=30，OA=4；（2）如图，作 OHAF 于 H，OA=4，OH=2，25 / 40OAF=45，BAF=OAF+OAB=75，则BAF=OAFOAB=15，BAF 的度数是 75或 15【点评】本题考查的是垂径定理、圆周角定理和勾股定理的应用，掌握垂直弦的直径平分

41、这条弦，并且平分弦所对的两条弧、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的塔组成在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）他们的操作方法如下：如图，他们先在 B 处测得最高塔塔顶A 的仰角为 45，然后向最高塔的塔基直行 90 米到达 C 处，再次测得最高塔塔顶 A 的仰角为 58请帮助他们计算出最高塔的高度 AD 约为多少米（参考数据：sin580.85，cos580.53，tan581.60）【考点】解直角三角形的应用仰角俯角

42、问题【分析】根据已知条件求出 BD=AD ， 设 DC=x ， 得出 AD=90+x ， 再根据tan58=，求出 x 的值，即可得出 AD 的值【解答】解：B=45，ADDB，DAB=45，26 / 40BD=AD，设 DC=x，则 BD=BC+DC=90+x，AD=90+x，tan58=1.60， 解得：x=150，AD=90+150=240（米），答：最高塔的高度 AD 约为 240 米【点评】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用如图，ABC 内接于O，AB 是O 的直径PC 是O 的切线，C 为切点，PDAB 于点 D，交 A

43、C 于点 E求证：PCE=PEC；若 AB=10，ED=，sinA=，求 PC 的长【考点】切线的性质【分析】（1）由弦切角定理可知 PCA=B，由直角所对的圆周角等于 90可知 ACB=90由同角的余角相等可知 AED=B，结合对顶角的性质可知 PCE=PEC；（2）过点 P 作 PFAC，垂足为 F由锐角三角函数的定义和勾股定理可求得AC=8，AE= ，由等腰三角形三线合一的性质可知 EF= ，然后证明AED PEF，由相似三角形的性质可求得 PE 的长，从而得到 PC 的长【解答】解：（1）PC 是圆 O 的切线，PCA=BAB 是圆 O 的直径，27 / 40ACB=90A+B=90P

44、DAB，A+AED=90AED=BPEC=AED，PCE=PEC（2）如图所示，过点 P 作 PFAC，垂足为 FAB=10，sinA=，BC=AB=6AC=8DE=，sinA=，AE=EC=ACAE=8 =PC=PE，PFEC，EF=AED=PEF，EDA=EFP，AEDPEF，解得：EP=28 / 40PC=【点评】本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得 AEDPEF 是解题的关键阅读下面材料：如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1=ax+b 与双曲线 y2=交于 A（1， 3）和 B（3，1）两点观

45、察图象可知：当 x=3 或 1 时，y1=y2；当3x0 或 x1 时，y1y2，即通过观察函数的图象，可以得到不等式ax+b 的解集有这样一个问题：求不等式 x3+4x2x40 的解集某同学根据学习以上知识的经验，对求不等式 x3+4x2x40 的解集进行了探究下面是他的探究过程，请将（2）、（3）、（4）补充完整：将不等式按条件进行转化： 当 x=0 时，原不等式不成立；当 x0 时，原不等式可以转化为 x2+4x1 ； 当 x0 时，原不等式可以转化为 x2+4x1 ；29 / 40构造函数，画出图象设 y3=x2+4x1，y4=，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象双曲线 y4=如图

46、 2 所示，请在此坐标系中画出抛物线 y3=x2+4x1；（不用列表）确定两个函数图象公共点的横坐标观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足 y3=y4 的所有 x 的值为1 和4；借助图象，写出解集结合（1）的讨论结果，观察两个函数的图象可知：不等式 x3+4x2x40 的解集为 x1 或4x1【考点】二次函数与不等式（组）【分析】（2）首先确定二次函数的对称轴，然后确定两个点即可作出二次函数的图象；（3）根据图象即可直接求解；（4）根据已知不等式 x3+4x2x40 即当 x0 时，x2+4x1 ，；当 x0时，x2+4x1 ，根据图象即可直接写出答案【解答】解：（2

47、）；两个函数图象公共点的横坐标是1 和4 则满足 y3=y4 的所有 x 的值为1 和4故答案是：1 和4；30 / 40不等式 x3+4x2x40 即当 x0 时，x2+4x1 ，此时 x 的范围是：x1；当 x0 时，x2+4x1 ，则4x1 故答案是：x1 或4x1【点评】本题考查了二次函数与不等式，正确理解不等式 x3+4x2x40 即当x0 时，x2+4x1 ，；当 x0 时，x2+4x1 ，分成两种情况讨论是本题的关键如图，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y= +bx+c 的图象经过点A（1，0），且当 x=0 和 x=5 时所对应的函数值相等一次函数 y=x+3 与二次函

48、数 y= +bx+c 的图象分别交于 B，C 两点，点 B 在第一象限求二次函数 y=+bx+c 的表达式；连接 AB，求 AB 的长；连接 AC，M 是线段 AC 的中点，将点 B 绕点 M 旋转 180得到点 N，连接AN，CN，判断四边形 ABCN 的形状，并证明你的结论【考点】二次函数综合题【分析】（1）根据当 x=0 和 x=5 时所对应的函数值相等，可得（5，c），根据待定系数法，可得函数解析式；联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得 B、C 点坐标，根据勾股定理，可得 AB 的长；根据线段中点的性质，可得 M 点的坐标，根据旋转的性质，可得 MN 与31 / 40BM

49、的关系，根据平行四边形的判定，可得答案【解答】解：（1）当 x=0 时，y=c，即（0，c）由当 x=0 和 x=5 时所对应的函数值相等，得（5，c） 将（5，c）（1，0）代入函数解析式，得，解得故抛物线的解析式为 y= x2+ x2；联立抛物线与直线，得，解得，即 B（2，1），C（5，2） 由勾股定理，得AB=；如图：，四边形 ABCN 是平行四边形， 证明：M 是 AC 的中点，AM=CM点 B 绕点 M 旋转 180得到点 N，BM=MN，32 / 40四边形 ABCN 是平行四边形【点评】本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等得出点（ 5，c）是解题关键，又利用了待定系数法求函

50、数解析式；利用解方程组得出交点坐标，又利用了勾股定理；利用了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形在ABC 中，ACB=90，AC=BC=4，M 为 AB 的中点D 是射线 BC 上一个动点，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到线段 AE，连接 ED，N 为ED 的中点，连接 AN，MN（1）如图 1，当 BD=2 时，AN=（2）当 4BD8 时，依题意补全图 2；，NM 与 AB 的位置关系是 垂直；判断（1）中 NM 与 AB 的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；（3）连接 ME，在点 D 运动的过程中，当 BD 的长为何值时，ME 的长最小？最小值

51、是多少？请直接写出结果【考点】几何变换综合题【 分 析 】 （ 1 ） 根 据 已 知 条 件 得 到 CD=2 ， 根 据 勾 股 定 理 得 到AD=2，根据旋转的性质得到 ADE是等腰直角三角形，求得DE=AD=2，根据直角三角形的性质得到 AN=DE=，AM=AB=2，推出ACDAMN，根据相似三角形的性质即可得到结论；根据题意补全图形即可；根据等腰直角三角形的性质得到 CAB= B=45，求得CAN+NAM=45根据旋转的性质得到 AD=AE，DAE=90，推出33 / 40ANMADC，由相似三角形的性质得到AMN=ACD，即可得到结论；连接 ME，EB，过 M 作 MGEB 于 G，过 A 作 AKAB 交 BD 的延长线于K，得到AKB 等腰直角三角形，推出 ADKABE，根据全等三角形的性质得到ABE=K=45，证得 BMG 是等腰直角三角形，求出 BC=4，AB=4，MB=2，由 MEMG，于是得到当 ME=MG 时，ME 的值最小，根据等量代换即可得到结论【解答】解：（1）ACB=90，AC=BC=4，BD=2，CD=2，AD=2，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90得到线段 AE，ADE 是