福建南安侨光中学2012届高三数学利用定积分证明数列和型不等式

1、利用定积分证明数列和型不等式n我们把形如 z f (k) MC ( r为常数)或 f (k)g(n)的不等式称之为数列和型不等式，这类不k 4k 1等式常见于高中数学竞赛和高考压轴题中，由于证明难度较大往往令人望而生畏.其中有些不等式若利用定积分的几何意义证明，则可达到以简驭繁、以形助数的解题效果,下面举例说明供参考n一、Z f (k) vC ( C为常数)型k 1例1 (2007年全国高中数学联赛江苏赛区第二试第二题)已知正整数求证十 +| + 丝.n 1 n 2 2n 36分析 这是一边为常数另一边与自然数有关的不等式，标准答案是用数学归纳法证明比这个.右不等式更强的不等式1 +HI +

2、:1-,:-电*状:#由总*-岁不年年冷冷3收改#尉 中次求求就书看守先分办宠步木.笠王北 沿片土整片求益M-K-二工 中土王峨总：杳文小的几何意义求解.1证明 构造函数y =一并作图象如图1所示，一一一 1，一 一一 ，一，.因函数y=一在(0,十无)上是凹函数，由函数图象可知，在区间n,2n上的火个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，n2 n TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 12ndx = ln x |n = In 2n Tn n = In 2 x2525因为 ln 2 % 0.6931,为 0,6944 ,所以

3、ln 2 25.3636 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 11 l,J 125所以+川+ n 1 n 2 2n 36.1115*例 21 + + +| + (n = N ).23 3 n34证明构造函数y =4 = x,，又(x/) = x学x2而函数y = x 3在 色通上是凹函数，由图象知，在区间2,对上的再一2个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积，n 2x dx =-21 ,n 112212 =二 一 丁2x 8 2n-11所以.1 方三山2333191151二：二一一(2 一)二 一 一 2n3 82n2 84 2n211.1*例 3

4、证明。1 十一十一十(|+一3(n w N )2,2 3、3 n、n1-3证明 构造函数f (x)=尸=x 2 ,又其函数是凹函数,x. x由图3可知,在区间上升-1个矩形的面积之和小于曲边梯形的面积,产 + . + M I dx - 2工 即 2V2 3J3月，a h xjr暖.:$:潴袋X:工X-M千笈冷.V.- -P-云品工芳等益品久等等益” 般哀酬工惠等；。竽.5.?. 激：;:,v:-:-:A-$*:n、Z f(k)x/g(n)型k 1例 4 若冷 EM 用之 2,求证：1+1+|+1inn1+1+1+|H+.2 3 n2 3 n -1证明 不等式链的左边是通项为1的数列的前科-1项

5、之和，右边通项为 的数列的前 TOC o 1-5 h z nn -1用一 1项之和，中间的ln也可当作是某数列的前 胃一1项之和.故只要证当/之2时这三个数列的通 HYPERLINK l bookmark73 o Current Document 11项不等式 一 in n -ln( n -1) 成乂即可.y = - (In =-构造函数x ,因为x,作 HYPERLINK l bookmark64 o Current Document nn 1y x的图象，由图4知，在区间售-11心之2）上曲边梯形的面积大小在以区间长度1为一边长,以左右端点对应的函数值为另一边长的两个矩形面积之间，即Inx

6、*T TX-N=-1)7i = n-1口用-ln（国-1） lnT在1,也）内恒成立，求G的取值范围；1 + + -+- + 1口（存+ 1） +之 1）（出）证明：一； ,：1.本题第三问不等式的证明是本大题也是本卷的压轴戏，具有综合性强、难度大、思维含金量 高、区分度大等特点.这个不等式的证明既可用第二问的结论证明也可用定积分来证明.1 + + + - - - 1 口+1） +（科.1）总的数列的证明（出）不等式 23%2（月+ 1）左边是通项为前月项之和，我们也可把右边当作是通项为4的数列的前n项之和nl 时,=W+而-爪等L 11=ln（l + _j + -2附2（理+ 1）,此式适合入、口（1+1）+1+， 要证当此1时，4 4即修 鞭2H 2（阀+ 1）,也就是要证- 11,y=- 、-p由此构造函数 工，并作其图象如图1 A 1、1 Mx-（-+）1 即 2 ， ；一.,；.=ln x* T + 1=ln（若+ 1） -ln2s n5所示.由图知，直角梯形的面积大于曲边梯形的面积,+ 加（符- In n,所以2汽2（盟+1）,故原不等式成立.点评 本解法另辟蹊径，挖掘新的待证不等式左右两边的几何意义，通过构造函数利用定积 分的几何意义来解决问题，解法虽然综合性强，但由于数形结合解法直观便于