小学奥数燕尾定理.学生版

1、燕尾定理燕尾定理：在三角形A8C中，AD, BE , b相交于同一点O,那么又血斗。=8。：。.上述定理给出了 一个新的转化面积比与线段比的手段，因为A48O和AACO的形 状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目 中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中, 为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，O是8c上任意一点，请你说明：S；S$=S?:S3 = BD:DC【解析】三角形跳Z）与三角形CE。同高，分别以8。、DC为底，所以有S/SBAQC ；三角形ABE与三角形瓦迨同高，S:S2=ED

2、:EA ；三角形ACE与三角形CEO同高，Sj.S广ED.EA ,所以S1:S_, =S/S,；综上可得S : S& = S?: $3 = BD: DC .【例1】 如右图，三角形A8C中，BD:DC = 4:9 , CE:E4 = 4:3,求ARM.EAE:CE = 5:6 ,求 AF:尸人【巩固】如右图，三角形ABC中，BD:DC = 3:4,【巩固】如图，BD:DC = 2:39 A:CE = 5:3,则:AD【巩固】如右图，三角形A8C中，8。:0c = 2:3, E4:CE = 5:4,求A【例2】如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问 三角形A8C的面积是

3、多少？【例3】如图，三角形ABC的面积是1,七是47的中点，点O在8c上，且 BD:DC = :29 AD与BE交于点、F .则四边形OFEC的面积等于【巩固】如图，已知3Q = DC, EC = 2AE,三角形ABC的面积是30 ,求阴影部分 面积.【巩固】如图，三角形A8C的面积是200cm二E在AC上，点O在8C上，且 AE:EC = 3:5, BD:DC = 2:3f AD与BE交于点尸.则四边形）庄C的面积等 于.【巩固】如图，已知= 3DC, EC = 2AE,以:与CO相交于点O,则A/1BC被分成的 4部分面积各占AABC面积的几分之几？【巩固】如图所示，在八针。中，CP =

4、；CB , CQ = -CA, 80与”相交于点X,若3ABC的面积为6 ,则AABX的面积等于【巩固】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3, 7, 7,则阴影四边形的面积是多少？【巩固】如图，三角形ABC的面积是I，BD = 2DC f尸，请写出这4部分的面积各是多少？CE = 2AE , AD与8K相交于点AA【巩固】 如图，E在AC上，O在8c上，且AE:EC = 2:3, 5:DC = 1:2, AD与BE 文 于点儿四边形。庄C的面积等于22cm 2 ,则三角形ABC的面积【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知AC = 2, 8 = 2, C

5、8 = 3, AM = BM ,那么 三角形AMN （阴影部分）的面积为多少？【例4】如图所示，在AABC中，BE:EC = 3:,。是AE的中点，那么 AFFC=.AA【巩固】在SABC中,BD:DC = 3:2,求 OB:OE=?AE: EC = 3:1 ,【巩固】在A4BC中，BD:DC = 2:1 ,AE:EC = :3,录 OB:OE=?【例5】如图9,三角形BAC的面积是1, E是AC的中点，点D在BC上，且BD：DC=1:2, AD与BE交于点F,则四边形DEFC的面积等于cABI)C【例6】如图1,中，点E在4?上，点b在AC上，斯与CE相交于点P,如果【例7】 如图4,三角形

6、田地中有两条小路AE和CF,交叉处为D,张大伯常走 这两条小路，他知道DF = DC,且AD = 2DE。则两块田地ACF和CFB的 面积,匕是 O【例8】 如图，长方形A8CD的面积是2平方厘米，EC = 2DE ,尸是OG的中点.阴 影部分的面积是多少平方厘米？【例9】如图所示，在四边形A8CQ中，AB = 3BE , AD = 3AF ,四边形AEOP的面积 是12,那么平行四边形3QQC的面积为.【例10DCDA5CO是边长为12厘米的正方形，E、b分别是AB、8c边的中点，AF与CE1交于G ,则四边形AGCD的面积是 平方厘米.【例11】如图，正方形ABC。的面积是120平方厘米，

7、石是的中点，F是8C的中 点，四边形BGHF的面积是 平方厘米.【例12】如图，四边形A8CQ是矩形，E、F分别是他、8。上的点，且4七=京8, CF，BC ,与CE相交于G,若矩形A8CQ的面积为120,贝”A4EG与MX/ 4的面积之和为.【例13】正六边形A , A, A, 4,人，A的面积是2009平方厘米，4，区，冬,a, 及，线分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米.【例14】已知四边形ABC。，CHFG为正方形,S甲:S”l:8, n与是两个正方形的边 长，求“： = ?R【例15】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中,那么,阴影三

8、角形的面积是【例16】如右图，三角形ABC中，AF:FB = BD:DC = CE:AE = 3:2,且三角形ABC的面 积是1,则三角形ABE的面积为,三角形AGE的面积为, 三角形GHI的面积为.【巩固】 如右图，三角形A3C中，AF:FB = BD:DC = CE:AE = 3:2,且三角形GH/的 面积是1,求三角形ABC的面积.【巩固】如图，中比）=2以，CE = 2EB三角形面积的 倍.AF = 2FC ,那么SABC的面积是阴影【巩固】如图在ZABC中,DC _ EA _ FB _ 1 J GH/的面积占彳占 DB = EC = E4 = 2 J 卜48劭而积AEBD cEHBD

9、 c【巩固】如图在ZABC中,DC _EA _FB 代GH/的而积 AA/i 而一说一标一铲卜ABCfi勺面积【巩固】如右图，三角形ABC中,AF: FB = BD: DC = CE:AE = 4:3, 且三角形 ABC 的面积是74,求角形G4/的面积.【例17】三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为 BC中点，求阴影部分的面积.AA【例18】如右图，AABC中，G是AC的中点，。、E、产是3C边上的四等分点， 4?与8G交于M, 4；与8G交于N,已知八钻河的面积比四边形尸CGN的 面积大7.2平方厘米，则人钻。的面积是多少平方厘米？【巩固】如图，AA8C中，点

10、Q是边AC的中点，点石、F是边8c的三等分点,若AABC的面积为1 ,那么四边形CDMF的面积是.【例19】如图，等腰直角三角形DEF的斜边在等腰直角三角形ABC的斜边上， 连接AE、AD、AF,于是整个图形被分成五块小三角形.图中已标出其 中三块的面积，那么aABC的面积是.(36)【例20】如图，三角形的面积是1, BD = DE = EC , CF = FG = GA,三角形ABC被 分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？【巩固】如图，A43C的面积为1 ,点O、七是8C边的三等分点，点F、G是AC 边的三等分点，那么四边形JK/的面积是多少？【例21 如右图，面积为 1 的 A4BC 中，BD:DE:EC = :2: ,