福建省莆田市2021-2022学年高一下学期期末数学试题-附答案

1、福建省莆田市2021-2022学年高一下学期期末数学试题 题号一二三四五总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、单选题1复数（为虚数单位）的虚部为ABCD2若向量，且，则实数m的值为（）A2BC1D2或13按从小到大顺序排列的9个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，70，若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73，则m等于（）A40B48C50D574复数z的共轭复数是，若复数在复平面内对应的点是（0，2），则z（）ABCD5设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A若，则B若，则C若

2、，则D若，则6锐角ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，某数学兴趣小组探究该三角形时，提出以下四个论断：甲：；乙：；丙：；丁：若上述四个论断中有且只有一个是正确的，则正确的是（）A甲B乙C丙D丁7如图，在平面四边形中，则向量在向量上的投影向量为（）ABCD8半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则（）A平面B该二十四等边体的体积为CME与PN所成的角为D该二十四等边体的外接球的表面积为评卷人得分二、多选题9

3、AQI表示空气质量指数，AQI的数值越小，表明空气质量越好当AQI的数值不大于100时称空气质量为“优良”，大于100时称空气质量为“污染”，某地2022年5月1日到20日AQI数值的统计数据的折线图如下，则下列说法正确的是（）A这20天中，有10天空气质量为“优良”，上旬的空气质量比中旬的好B这20天中，空气质量最好的是5月15日，最差的是5月19日C这20天AQI的数值的中位数大于100D这20天AQI的数值中，上旬数值的方差大于中旬数值的方差10设复数，（，i为虚数单位），是z的共轭复数，则下列说法正确的是（）A若，则B若，则CD11如图，在正方体中，线段上有两个动点E，F，且（m为正常

4、数），则下列结论中正确的是（）AB线段上存在点E，F，使得C的面积与的面积之比为D三棱锥的体积为定值12在ABC中，F是AC的中点，则下列说法正确的是（）A若，点D在线段BC的延长线上，则B若E是AB的中点，BF与CE相交于点Q，则C若点P在线段AC上，则的值可以是D若E是线段AB上一动点，则为定值评卷人得分三、填空题13某单位职工分为青年、中年、老年三类，且青年、中年、老年职工的人数之比为从中抽取72人作为样本，则该单位青年职工被抽取的人数为_人14定义：，两个向量的叉乘的模为，表示向量与的夹角若点，O为坐标原点，则_15已知圆台的轴截面面积为10，母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为_评

5、卷人得分四、双空题16在空间四边形中，二面角的平面角为，为的中点，则与所成的角为_若点为的重心，则_评卷人得分五、解答题17已知向量(1)求；(2)求与的夹角的余弦值18（1）定理证明：请用向量方法证明余弦定理（只需证明其中的一个式子即可）；（2）定理应用：如图，在平面四边形ABCD中，求AD的长 19某市为了解疫情期间本地居民对当地防疫工作的满意度，从本市居民中随机抽取若干人进行满意度测评（测评分满分为100分）根据测评的数据制成频率分布直方图如下：根据频率分布直方图，回答下列问题：（1）估计本次测评分数的中位数（精确到0.01）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计

6、本次测评分数的第85百分位数（精确到0.01）；（3）若该市居民约为250万人，估计全市居民对当地防疫工作满意度测评分数在85分以上的人数20如图，在直三棱柱中，E为AC的中点，(1)证明：/平面；(2)证明：21在；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题：已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且_(1)求b的值；(2)若，求ABC外接圆的面积注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分22如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PAD是边长为2的正三角形，平面PAD平面ABCD，E为棱PD的中点(1)求证：AE平面PCD；(2)若直线PC与平面ABCD所

7、成角的正切值为，求侧面PAD与侧面PBC所成二面角的大小答案：1A【详解】试题分析：由题意得，所以复数的虚部为，故选A.考点：复数的运算与复数的概念.2D【分析】利用平面向量平行的坐标表示.【详解】因为向量，且，所以，解得m=2或1.故A，B，C错误.故选：D.3B【分析】利用百分位数的求法，分别求出第一四分位数与第三四分位数，进而求出的值.【详解】对于已知个数据：，第一四分位数为，第三四分位数为，解得.故选：B.4A【分析】设复数，表示出，又因为复数在复平面内对应的点是（0，2），列出关于的方程，解出，即可求出复数z.【详解】设复数，因为复数在复平面内对应的点是（0，2），所以，所以.故选：

8、A.5C【分析】举出的反例可判断A；举出异面的反例可判断B；根据两条平行线其中一条垂直平面，那么另外一条也垂直平面可判断C；举出平行的反例可判断D.【详解】对于A，如图，此时，A错误；对于B，如图，此时异面，B错误；对于C，由性质定理： “如果在两条平行线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面.”可知，C正确；对于D，此时，D错误.故选：C.6C【分析】直接利用三角函数关系式的变换，三角函数的值判断命题的真假【详解】解：假设甲正确，即，因为，函数在上单调递减，所以，即乙也正确，故与题意矛盾，假设乙正确，即，因为，函数在上单调递减，所以，故甲也正确，故与题意矛盾；假设丁正确，由，即，即

9、，即，因为，所以，所以，即，故甲也正确，故与题意矛盾；假设丙正确，故，由于，故，因为，所以，函数在上单调递增，所以，即，此时，和的大小无法确定，故甲、乙、丁无法确定，故满足题意；故选：C7B【分析】根据图形求出向量与的夹角，再根据投影向量的公式进行求解即可.【详解】延长，交于点，如图所示，又，向量在向量上的投影向量为，故选：B.8D【分析】依题意补齐正方体，对于A，假设平面，得到，根据六边形为正六边形，得出矛盾判断A；对于B，结合集合图形，该二十四等边体的体积为正方体体积去掉八个三棱锥体积，从而求出B；对于C，由平移法找出异面直线所成角为，判断C；对于D，取正方形对角线交点为，即为该二十四等边

10、体的外接球球心，从而求出半径大小，进而求出外接球体积，判断D.【详解】依题意，补齐正方体，如下图，对于A，假设平面，平面，二十四等边体就是一种半正多面体，由对称性可知，六边形为正六边形，这与“”矛盾，所以假设不成立，A错误；对于B，正方体的棱长为，该二十四等边体的体积为正方体体积去掉个三棱锥体积，即，B错误；对于C，为异面直线与所成角（或补角），在等边中，C错误；对于D，如图，取正方形对角线交点为，即为该二十四等边体的外接球球心，在等腰中，在正方形中，即外接球半径，该二十四等边体的外接球的表面积，D正确.故选：D.9AC【分析】根据折线统计图一一分析即可判断；【详解】解：由折线统计图可知不大于

11、的有、日共天，即有10天空气质量为“优良”，且上旬的空气优良的天数比中旬的多天，即上旬的空气质量比中旬的好，故A正确；空气质量最好的是5月日，最差的是5月日，故B错误；因为有天不大于，将数据从小到大排列，可知第个数接近，第个数大于，且比第个数更远离，故中位数大于，故C正确；由折线统计图可知上旬的数据的极差不超过，且数据比较集中，中旬的数据极差大于，且数据比较分散，故中旬的方差更大，故D错误；故选：AC10ABD【分析】由复数相等可判断A；求出与z可判断B；求出的模长可判断C；由可判断D.【详解】复数，则，若，则，所以A正确；当，所以B正确；，所以，所以C不正确；，所以D正确.故选：ABD.11

12、ACD【分析】根据正方体的结构特征得出，进而由线线垂直得到线面垂直平面，从而可判断A；假设，可得四点共面，进而得出矛盾可判断B；在矩形和等边中分别求出的面积与的面积，进而得出面积的比可判断C；结合以上所求，利用等体积法求出三棱锥的体积，得出与的位置无关可判断D.【详解】对于A，连接，如图所示，在正方体中，平面，平面，在正方形中，又平面，平面，平面，又平面，A正确；对于B，如图所示，假设，则四点共面，这与“直线与直线是异面直线”矛盾，所以假设不成立，B错误；对于C，连接，连接交于，则点是的中点，接，如图所示，设正方体的棱长为，则，在矩形中，在等边中，C正确；对于D， 如图所示，由上可知，平面，D

13、正确.故选：ACD.12AD【分析】以 为基底，按题中要求表示出相关的向量，用数量积的公式计算即可.【详解】选项A：若 ，则 ，则 ，故A正确.选项B：令 ，则 所以 ；令 ，则 .所以 即 ，故B不正确.选项C：设 ， ，则 不妨设 ，则 当 时， ，即 ，所以不存在，故C不正确.选项D：设 ，则 因为 ，所以 所以 (定值)，故D正确.故选：AD.1324【分析】由题意知这是一个分层抽样问题，算出青年占所有青年、中年、老年的比例，抽取的72人作为样本再乘以青年的比例即可得到青年被抽取的人数.【详解】因为青年、中年、老年职工的人数之比为，从中抽取72人作为样本，所以要从该单位青年职工被抽取的

14、人数为.故24.14【分析】首先利用向量的坐标表示求出向量，然后利用向量的夹角公式求出向量与向量的夹角，进而根据叉乘的模为，代入求出叉乘的模即可.【详解】，.故答案为.15【分析】作出圆台的轴截面图形，根据其几何特征写出轴截面面积的表达式，再根据圆台的侧面积公式直接代入求解即可.【详解】如图所示，依题意，设下底面圆半径为，上底面圆半径为，圆台的高为，过点作交于点，在中，则圆台轴截面的面积，则圆台的侧面积.故答案为.16 #； .【分析】对于第一空，取的中点，连接，根据平移法得出为异面直线与所成的角（或补角），根据二面角的平面角定义得出为二面角的平面角，进而利用解三角形知识求；对于第二空，利用等

15、体积法将转化为，结合点为的重心则有，再根据线面垂直的判定定理得出平面，从而得到平面，进而确定出为所求几何体的高，再通过解三角形知识以及体积公式进行求解即可.【详解】根据已知条件，作出图形，如下，取的中点，连接，在中，在中， ，且，为异面直线与所成的角（或补角），为二面角的平面角，又，连接，如下图，点为的重心，在中线上，且，过点作交的延长线于点，连接，过点作交于点，又平面，平面，平面，平面，又平面，平面，平面，平面，在中，在中，.故；.17(1)(2)【分析】（1）由可求出，再将数量积和模长代入即可求出答案.（2）由向量的夹角公式代入即可求出答案.(1)因为，所以由得解得所以(2)因为所以所以与

16、的夹角的余弦值18（1）证明见解析；（2）【分析】（1）利用平面向量的相关知识进行证明.（2）利用正、余弦定理解三角形，求边长.【详解】（1）已知的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，求证：证明：如图，设由三角形法则有所以所以即结论得证.（2）因为，所以因为，所以在中有：由余弦定理得所以在中由正弦定理由：得.所以AD的长.19（1）76.67分，76.2分；（2）90.63；（3）万人【分析】（1）先判断出中位数所在区间，设中位数为x，利用频率和为列出方程，解出x；利用频率分布直方图中，平均数的计算公式计算可得答案；（2）利用百分位数的定义计算即可；（3）由频率直方图先求出满意度测评分

17、数在85分以上的频率，进而可得人数【详解】解：（1）在频率分布直方图中，由，所以中位数位于（70，80）内，设中位数为x，则，解得，即本次测评分数的中位数约为76.67分由频率分布直方图可知，本次测评分数的平均数为76.2，即本次测评分数的平均数约为76.2分（2）在频率分布直方图中，前5组频率之和为0.84，小于0.85，故第85百分位数位于第6组，所以90.63，即第85百分位数约为90.63，（3）由频率分布直方图知测评分在85分以上的频率为，所以估计该市居民测评分在85分以上的人数约为（万人）20(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）连接交于点O，连接OE，利用三角形中位线定理

18、可得，再利用线面平行的判定定理可证得结论，（2）由直棱柱的性质可得，结合，可得AC平面，则，再结合可得平面，从而得，再由已知边的数量关系可得，从而可证得结论，或由已知可证得，所以，再由等腰三角形的性质可得，再由已知边的数量关系可得，从而可证得结论，(1)连接交于点O，连接OE，因为四边形为矩形，所以O为的中点在中，E为AC的中点，所以又因为平面，OE平面，所以/平面，(2)解法一：因为平面ABC，AC平面ABC，所以又因为，平面，AB平面，所以AC平面又因为平面，所以因为，所以矩形为正方形，所以又因为AC平面，平面，所以平面又因为OE平面，所以因为，所以因为，O为的中点，所以所以所以解法二：因为平面ABC，AC平面ABC，所以因为，所以，所以又因为O为的中点，所以因为，所以因为，O为的中点，所以所以所以21(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）解法一：选,由正弦定理结合诱导公式化简，可求出b的值；解法二：选，由正弦定理结合两角和的正弦定理化简，可求出b的值；解法三：选由正弦定理化简，可求出b的值；（2）解法一：由，得出，对其两边同时平方可求出，再由余弦定理求出，可求出外接圆的半径，即