结构力学课件：12弯矩分配法

1、第六章 超静定结构的解法位移法6-1 基本概念6-2 位移法举例6-3 计算无侧移结构的弯矩分配法6-4 计算有侧移结构的反弯点法第六章6.3 弯矩分配法 弯矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解的近似方法。 从数学上说，是一种异步迭代法。 单独使用时只能用于无侧移（线位移）的结构。 以图示具体例子加以说明 按位移法求解时，可得下页所示结果由此可得到什么结论呢？6.3 弯矩分配法 结点力偶可按如下系数分配、传递到杆端即那么如果外荷载不是结点力偶，情况又如何呢？6.3 弯矩分配法叠加得最终杆端弯矩为为进一步推广，先引进一些基本名词的定义。 位移法求解如图所示，相当的C点集中力偶M为6.3 弯矩分配

2、法基本名词定义 转动刚度：AB杆仅当A端产生单位转动时，A端所施加的杆端弯矩，称为AB杆A端的转动刚度，记作SAB。 A端一般称为近端（本端）， B端一般称为远端（它端）。 对等直杆，由形常数可知SAB只与B端的支撑条件有关。 三种基本单跨梁的转动刚度分别为 不平衡力矩：结构无结点转角位移时，交汇于A结点各杆固端弯矩的代数和，称为A结点的不平衡力矩。显然， A结点各杆的分配系数总和恒等于1。 分配系数：分母为结构交汇于A结点各杆的转动刚度总和,分子某杆该端的转动刚度，称为该杆A结点的分配系数。 它可由位移法三类杆件的载常数求得。 例如交汇于A结点的n杆中第i杆A结点的分配系数为 分配力矩：将A

3、结点的不平衡力矩改变符号，乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。显然，传递系数也仅与远端约束有关。 传递系数：三类位移法基本杆件AB，当仅其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数，记作CAB 。 例如对位移法三类等直杆 传递力矩：将A结点的分配力矩乘以传递系数，所得到的杆端弯矩称为该点远端的传递力矩（传递弯矩）。 对于仅一个转动位移的结构，应用上述名词，本质是位移法的求解也可看成是先固定结点，由固端弯矩获得结点不平衡力矩； 最终杆端弯矩：杆端固端弯矩、全部分配弯矩和传递弯矩的代数和即为该杆端的最终杆端弯矩。 这种

4、直接求杆端弯矩，区段叠加作M图的方法即为弯矩分配法。 然后用分配系数求杆端分配弯矩； 接着用传递系数求传递弯矩； 最后计算杆端最终杆端弯矩。 单结点分配设有如图所示单结点(位移)结构。首先锁定结点使无位移。由载常数可获得AC、CB杆的固端弯矩，此时附加刚臂上产生不平衡力矩 。放松结点(反向加不平衡力矩)使产生实际结点位移，此时可分配和传递计算分配和传递弯矩。6.3 弯矩分配法 因此杆端最终弯矩由固端弯矩和分配弯矩（或传递弯矩）相加得到，这时结果是精确解。锁定结果和放松结果叠加，结点达到平衡、产生实际结点位移，这就是位移法的结果。6.3 弯矩分配法6.3 弯矩分配法固定状态:放松状态:最终杆端弯

5、矩:CAB=1/2CBC=0固定状态:放松状态:最终杆端弯矩:分配传递M例1.计算图示梁,作弯矩图分配传递解:M例2.计算图示刚架,作弯矩图解:分配传递结点杆端BA1CB1A11A1B1CC11/23/81/8-1/41/41/8练习求不平衡力矩作图示梁的弯矩图(利用传递系数的概念)40kN.m20kN.m练习:作弯矩图解:10050分配传递作业:6-166-17二.多结点力矩分配对多结点(位移)结构，弯矩分配法的思路是：首先将全部结点锁定，然后从不平衡力矩最大的一结点开始，在锁定其他结点条件下放松该结点使其达到“平衡”(包括分配和传递)。 接着重新锁定该结点，放松不平衡力矩次大的结点，如此一

6、轮一轮逐点放松，直至不平衡力矩小到可忽略。二.多结点力矩分配分配和传递可从任意一点开始，前述从不平衡力矩最大点开始，经验证明这样可加速收敛。由弯矩分配法思路可知，对多结点问题它是一种逐渐逼近精确解的近似方法。实际应用时，一般只进行二、三轮的分配和传递(考试只进行二轮即可)。因为分配系数小于1，传递系数也小于1(因为定向支座处不分配)，因此一轮分配、传递后，新的不平衡力矩一定比原来的小，理论上经过无限次分配、传递结构一定达到平衡，也即可以获得问题的精确解。-57.1固定状态:二.多结点力矩分配-28.6-42.921.4-9.2-12.2-6.16.16.13.52.61.81.8 . 放松结点

7、2(结点1固定):放松结点1(结点2固定):-57.1-28.6-42.928.621.4-9.2-12.2-6.16.16.13.52.61.81.8 . 分配传递0.5710.4290.5710.4290150-10010000-57.1-42.90-28.6-12.2-9.20-6.13.52.601.8-0.8-1.00140-14040.3-40.3014040.3M例：试求作图示连续梁的M图。EI等于常数，l1=6 m, l2=5 m，P=1000kN。（只计算二轮）172119226565953279-2500-15001500-2500-938 -5621765 735883-

8、735-281-469-301 -301-151-15194 5747291074454-42 -42-44-1922656-656-5955941721-1721-3279例：试作M图。1）计算分配系数 解：设EI=6 结点C：结点D：例：试作M图。1）计算分配系数 解：设EI=6 结点C：结点D：2）计算固端弯矩3）力矩分配2）计算固端弯矩3）力矩分配例：试作M图。1）计算分配系数 解：设EI=6 结点C：结点D：2）计算固端弯矩3）力矩分配例：试作M图。1）计算分配系数 解：设EI=6 结点C：结点D：作业:6-216-226-23三、分层法 计算刚架在竖向荷载作用下的弯矩刚架在竖向荷载

9、作用下，计算结果有以下两个特点：1）结点的位移主要是转角，侧移很小；2）作用在某根梁上的荷载主要对本层及上下柱子有影响，对其它层杆件的影响很小。1）在竖向荷载作用下，忽略刚架的侧移；2）作用在梁上的荷载只对本层梁及上下层的柱子有影响。为了简化计算，由此作如下假设：根据以上假设，计算可作如下简化：1）计算方法：由于刚架的侧移被忽略，因此可以用弯 矩分配法计算。2）计算简图：由于荷载只对本层梁及上下柱有影响， 因此计算简图只需取相关部分即可。例：取三、分层法例：+q+q取三、分层法2）计算分配系数时，一层以上柱子的线刚度要乘折 减系数0.9，传递系数取1/3。一层柱子的线刚度 不需折减，传递系数取1/2。1）按上述4个计算简图，分别用力矩分配法进行计算3）对4个计算结果进行叠加，主要是一层以上柱其 内力应