线性代数(慕课版)第三章----向量与向量空间课件

1、线性代数（慕课版）第三章 向量与向量空间第一讲 n 维向量及其线性运算n维向量的线性运算01n维向量的定义02本讲内容一、n维向量的定义1. n 维向量的定义定义3.1行向量列向量3n维向量的线性运算02n维向量的定义01本讲内容二、 n维向量的线性运算2. n 维向量的运算即两个向量相等，就是各个对应的分量都相等。（1）零向量分量都为零的向量称为零向量, 记作O。 （2）负向量 定义3.2（3）向量的相等5二、n维向量的线性运算（4）向量的加法都是 n 维向量，规定（5）向量的减法即：两个向量相加减就是将它们的对应分量相加减6二、n维向量的线性运算（6）数乘即：数乘向量就是用数乘以向量的每一

2、个分量。注向量相加及数乘两种运算统称为向量的线性运算7二、n维向量的线性运算定理3.1 向量的线性运算满足如下运算规律。8二、n维向量的线性运算例1解9二、n维向量的线性运算例2解10二、n维向量的线性运算注11二、n维向量的线性运算例3解12线性代数（慕课版）第三章 向量与向量空间第二讲 向量组的线性关系(1)向量组的等价01向量组的线性组合02线性组合的经济学应用举例03向量组线性相关性的定义04本讲内容一、向量组的线性组合定义3.3(3) 任一向量均可由其基本单位向量组唯一线性表示.注意(1) 零向量可由任一向量组线性表示.(2) 向量组中任一向量均可由该向量组线性表示.15一、向量组的

3、线性组合例1证16向量组的等价02向量组的线性组合01线性组合的经济学应用举例03向量组线性相关性的定义04本讲内容二、向量组的等价定义3.4性质定理3.2定理3.318二、向量组的等价例2证19二、向量组的等价例3解20向量组的等价03向量组的线性组合01线性组合的经济学应用举例02向量组线性相关性的定义04本讲内容三、线性组合的经济学应用举例在经济学中，需要将某个量，比如成本，分解成几部分时，常常需要用到线性组合的概念.例4解22向量组的等价04向量组的线性组合01线性组合的经济学应用举例03向量组线性相关性的定义02本讲内容四、向量组线性相关性的定义定义3.5注24四、向量组线性相关性的

4、定义25四、向量组线性相关性的定义例5解26四、向量组线性相关性的定义例6解27四、向量组线性相关性的定义例7解28四、向量组线性相关性的定义29线性代数（慕课版）第三章 向量与向量空间第三讲 向量组的线性关系(2)向量组的等价01向量组的线性组合02线性组合的经济学应用举例03向量组线性相关性的定义0405向量组线性相关性的性质本讲内容向量组线性相关性的性质性质3.1推论性质3.2推论32向量组线性相关性的性质例1解33向量组线性相关性的性质性质3.3找等式，看系数34向量组线性相关性的性质cv性质3.3推论35向量组线性相关性的性质找等式，看系数性质3.436向量组线性相关性的性质cv性质

5、3.437向量组线性相关性的性质例2解38向量组线性相关性的性质例3解39向量组线性相关性的性质性质3.540向量组线性相关性的性质性质3.6例4解41向量组线性相关性的性质42向量组线性相关性的性质性质3.6推论43线性代数（慕课版）第三章 向量与向量空间第四讲 向量组的线性关系(3)向量组的等价01向量组的线性组合02线性组合的经济学应用举例03向量组线性相关性的定义0405向量组线性相关性的性质向量组线性相关性的判定06本讲内容向量组线性相关性的判定定理3.4推论1推论2推论346向量组线性相关性的判定例1解47向量组线性相关性的判定例2解48向量组线性相关性的判定例3解49向量组线性相

6、关性的判定例4解定理2.850向量组线性相关性的判定定理3.5推论1推论251向量组线性相关性的判定例5解52向量组线性相关性的判定性质3.5定理3.5总结改变向量的个数时，少的相关，多的也相关；多的无关，少的也无关.改变向量的维数时，低维无关，高维也无关；高维相关，低维也相关.同步改变向量的分量顺序时，线性相关性不变53线性代数（慕课版）第三章 向量与向量空间第五讲 极大线性无关组和秩(1)01极大线性无关组和向量组的秩(1)本讲内容极大线性无关组和向量组的秩(1)向量组的极大无关组定义3.6解释定义3.756极大线性无关组和向量组的秩(1)注01020304050657极大线性无关组和向量

7、组的秩(1)向量组的秩定义3.8向量组的秩的性质58极大线性无关组和向量组的秩(1)向量组的等价定义3.4性质定理3.2定理3.359极大线性无关组和向量组的秩(1)定理3.6推论60极大线性无关组和向量组的秩(1)性质向量组等价矩阵等价61极大线性无关组和向量组的秩(1)例162极大线性无关组和向量组的秩(1)解63极大线性无关组和向量组的秩(1)64极大线性无关组和向量组的秩(1)例2解65极大线性无关组和向量组的秩(1)66极大线性无关组和向量组的秩(1)例3解找等式，看系数67极大线性无关组和向量组的秩(1)注68线性代数（慕课版）第三章 向量与向量空间第六讲 极大线性无关组和秩(2)

8、向量组的秩和矩阵的秩的关系01极大线性无关组和向量组的秩02本讲内容一、极大线性无关组和向量组的秩例1解71一、极大线性无关组和向量组的秩72一、极大线性无关组和向量组的秩例2证73向量组的秩和矩阵的秩的关系02极大线性无关组和向量组的秩01本讲内容二、向量组的秩和矩阵的秩的关系定理3.775二、向量组的秩和矩阵的秩的关系例3解列摆行变换法76二、向量组的秩和矩阵的秩的关系例4解77二、向量组的秩和矩阵的秩的关系78二、向量组的秩和矩阵的秩的关系例5解定理2.9（3）79二、向量组的秩和矩阵的秩的关系例6证80二、向量组的秩和矩阵的秩的关系81线性代数（慕课版）第三章 向量与向量空间第七讲 向

9、量空间过渡矩阵与坐标变换01向量空间的定义02本讲内容一、向量空间的定义定义3.9例184一、向量空间的定义定义3.10定义3.1185一、向量空间的定义维数定义3.6定义3.886一、向量空间的定义例2解87一、向量空间的定义例3解88过渡矩阵与坐标变换02向量空间的定义010本讲内容二、过渡矩阵与坐标变换定义3.12注注过渡矩阵90二、过渡矩阵与坐标变换例4解定义3.1291二、过渡矩阵与坐标变换例5解定义3.1292二、过渡矩阵与坐标变换例6解93线性代数（慕课版）第三章 向量与向量空间第八讲 向量的内积向量组的正交规范化01向量的内积的定义02正交矩阵03本讲内容一、向量的内积的定义9

10、6定义3.13内积的性质一、向量的内积的定义97定义3.14范数的性质定义3.15一、向量的内积的定义98例1解向量组的正交规范化02向量的内积的定义01正交矩阵03本讲内容二、向量组的正交规范化100正交向量的性质定义3.16定义3.17定理3.8二、向量组的正交规范化101定理3.8二、向量组的正交规范化102例2证二、向量组的正交规范化103施密特正交化二、向量组的正交规范化104例3解向量组的正交规范化03向量的内积的定义02正交矩阵01本讲内容三、正交矩阵106正交矩阵性质三、正交矩阵107结论例4解三、正交矩阵108例5三、正交矩阵109例5向量组线性相关性的判定110性质3.5定

11、理3.5总结改变向量的个数时，少的相关，多的也相关；多的无关，少的也无关.改变向量的维数时，低维无关，高维也无关；高维相关，低维也相关.同步改变向量的分量顺序时，线性相关性不变线性代数（慕课版）第三章 向量与向量空间导学第三章 向量与向量空间N维向量及其线性运算向量组的线性关系极大无关组和秩向量空间本章主要内容包括： 平面上的任意点，可以由二元的有序数组来表示，空间直角空间直角坐标系中表示任意点用三元的有序数组，讨论方程组的解时，我们用n元的有序数组，在一个较复杂的控制系统中(导弹、飞行器) ，决定系统在某一时刻t的参数有n个，这就需要用n元的有序数组来对控制系统进行描述.这些有序数组就是我们

12、要讨论的向量，向量是解决数学以及工程技术问题的有力的工具。向量的内积11201向量与矩阵向量组的线性关系向量空间0204向量组的正交规范化03本讲内容 列矩阵行矩阵行向量列向量mXn矩阵第二章默认向量的定义01 向量与矩阵114代数和数乘乘法矩阵数乘乘法数向量没有幂运算向量代数和相等相等列向量与行向量相乘行向量与列向量相乘方阵幂运算01 向量与矩阵11502向量与矩阵向量组的线性关系向量空间0104向量组的正交规范化03导学内容02 向量组的线性关系线性表示向量组等价线性相关性定义性质定理判定定理矩阵等价第二章总成本第二章矩阵的秩极大无关组与秩极大无关组向量组的秩矩阵的秩第二章第二章初等变换1

13、1703向量与矩阵向量组的线性关系向量空间0102向量组的正交规范化04导学内容03 向量空间基(底)向量组的秩向量组维数向量空间极大无关组定义定义坐标过渡矩阵11904向量与矩阵向量组的线性关系向量空间0102向量组的正交规范化03导学内容04 向量组的正交规范化向量的内积定义性质正交向量组定义性质施密特正交化正交矩阵定义性质121线性代数（慕课版）第三章 向量与向量空间本章小结01知识点归纳教学要求和学习建议02本章小结 1 知识点归纳124向量与向量空间向量的基本运算向量的内积向量组的线性关系向量空间极大无关组与秩第五章预备知识第四章预备知识矩阵的秩 1 知识点归纳125(1)向量的基本

14、运算相等代数和乘积数乘数列向量与行向量相乘行向量与列向量相乘方阵 1 知识点归纳126(2)向量组的线性关系向量组等价定义性质定理线性组合判定定理部分组延长向量组线性相关性 1 知识点归纳127(3)极大无关组与秩向量组的秩定义求解方法极大无关组列摆行变换法线性相关性定义求解方法矩阵的秩关系具体矩阵求秩初等变换法抽象矩阵求秩利用结论(4) 向量空间维数基(底)坐标过渡矩阵 1 知识点归纳128(5)向量的内积正交向量组范数夹角内积定义施密特正交化正交矩阵先正交化再单位化01知识点归纳教学要求和学习建议02本章小结 2 教学要求和学习建议130（1）理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩（3）（2）理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.（4）理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系了解维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵.（5）了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法. 了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质.（6）131向量的