4升5~8第八讲：容斥原理

1、第八讲：容斥原理之重叠问题_、导入?文氏图文氏图，也叫“维恩图”，是由英国着名数学家Venn发明的.维恩（公元1834年8月4日一公元1923年4月4日）十九世纪英国着名的数学家和哲 学家，生于英国赫尔.他1883年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员.J 维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图.他作出一系列 简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔.利用这种图表，维恩阐明了演绎推 理的基本原理.为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例.虽然在维恩之前，燧,河 莱布尼茨（Leibniz）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作“

2、维恩图”另外， 维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的着作一一机会逻辑和符号逻辑，在 19世纪末20世纪初曾享有很高的声誉.除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能一一制作机器.他曾制作过一部板球发球机， 当澳洲板球队在1909年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成 员打空四次.什么是容斥原理？这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子.我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这 一斤中还“包含着瓜子壳.如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用 原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量.

3、瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另 一部分就是瓜子壳，两者各不相关.但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间 会有重叠.比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有17个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖 啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算2次， 计算人数的时候要把这一部分减去才行.比如，如果有3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是7+10?3=14人.这就是我们今天要来研究的问题一一有重叠的计数问题，即包含与排除问题.研究这种问题 通常需要画出

4、示意图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥 原理公式.两个量之间的重叠例1、某班有34名同学参加了学校的运动会，其中有17名参加了跳绳，有20名参加了拔 河，问：及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人？ TOC o 1-5 h z 如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算A+B,就会算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以()了.上述分析总结成公式就是：k这个公式就是两个对象的容斥原理.17+20-34=37-34=3 (人)答：即参加跳绳又参加拔河的同学有3人。练一练1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语

5、文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人.语文、数学都优秀的有多少人？2、在一次数学测试中有两道题全班同学都至少答对一题，答对第一题的有33人，答对第二题的又38人，两题都答对的又15人，问全班又多少人？3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器。已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会的有8人，这个文艺组一共有多少人？挑战思维1、为了参加一次竞赛，某班46人中，每人至少参加一项。其中有20人参加语文兴趣小组，参加语文同时又参加数学兴趣小组的有2人，两项都没有报的有10人，那么参加数学兴趣 小组的有多少人？三个量之间的重叠换个思路想一想至少报一项的有多少人?1、某单位元旦期间

6、组织旅游，每人至少说出一个想去的地方。其中想去海南的有42人，想 去桂林的有44人，想去港澳的有36人，既想去海南又想去桂林的有12人，既想去桂林又 想去港澳的有8人，既想去海南又想去港澳的有10人，三个地方都想去的有4人。问这个 单位一共有多少人？（42=44+36） -12-8-10+4=122-（12+8+10）+4=122-30+4二96 （人） 答：这个单位一共有96人。方法总结：一练）三个量的重叠问题中，如果是全部参与，则总人数等于参加三项的人数和减去同 时参加两项的人数和，再加上同时参加的三项人数。501、学校对个最的重叠问题关于果是部精与调查，人数等于至看参加的有的人数和，翥欢

7、项都没有参加的人数和， 玩壬如果莪参加了，喜欢读于三个I1的和减去喜欢看重叠又部欢玩球的有三个量重既喜欢玩球又 喜欢读书的有世失，一既喜欢看电影麦喜欢读书的有15人.问：三种都喜欢的有多少人?2、部校园艺术活动中，五（2）班的同学参加了美术和声乐比赛。参加美术比赛的有25人，参加声乐比赛的射!0人，两项都参括的有琅（人是两项都没有参参的的有）10人。五（2）班一共有多少人？挑战竞赛3、.学校举行运动会。四年级共有60名同学，其中参加百米赛跑的有21人，参加投掷的有 26人，即参加百米有参加跳远的有12人，即参加跳远有参加投掷的有9人，即参加百米有参加投掷的有14人，三项都参加的有5人，三项都没

8、有参加的有12人，问参加跳远的有 多少人？重叠问题中的极值问题1、40人参加某次晚会，其中28人在晚会上唱了歌，25人在晚会上跳舞，那么即唱歌有换个思路想一想要使人数最多则重叠最多，怎么画图才 可以重叠最多呢？要使人数最少，可以 图形不重叠吗？跳舞的人最多有多少人，最少有多少人?最多：25人最少:(28+25)-40=13 人答：最多25人最少13人。方法总结： 两个量的极值中，两项都参加的人最多，就是较少的一项；两项都参加的人数最少，就是求 练一练分。1、某校100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好美术的有75人，那么即爱好音乐有爱好美术的最多有多少人？最少有多少人？2、某班30名同学。在一

9、项测试中，答对答对的最多有多少人？最少有多少人？挑战思维题的有19人换个思路想题想14人，那么两题都最多56人还是75人，最少是0人吗？为什么？3、希望小学音乐兴趣小组有37人，其中20人会手风琴，16人会钢琴，24人会电子琴，即会手风琴又会钢琴的8人，即会电子琴又会钢琴的10人，即会手风琴又会电子琴的8人， 那么三种都不会的至少多少人？换个思路想一想方法总结：根据：:s=a+b+c-ab-bc-ac+abc+d若要d最大，两个量的极值中，两项都参加的人最多，就是较少的一项C必两怎都参加的人数最少，就是求家庭作业分。I三个量的极值中，如果要不参加的最多，就要参加的尽量少。I.一.一二 _ _

10、.1、一个班有48-人，班主任在班会上问：谁做完语文作业请举手!”有37-人举手。又问：谁做完数学作业请举手!”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业没有做完”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数 人。2、某个班的全体学生进行了短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到优秀，这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：短跑游泳篮球短跑、游泳游泳、篮球篮球、短跑短跑、游泳、篮球1718156652求这个班的学生数?3、某班共有30名男生，其中20人参加足球队，12人参加蓝球队，10人参加排球队。已知没一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，有6人既参加足球队又参加蓝球队，有2人既参加蓝球队又参 加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有多少人？4、班有46人其中会弹琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班级会弹琴又会拉小提琴的至少有多少人？5、某班同学中，有26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，有9人既爱打篮球又爱踢足球，有4人既爱打排球又爱踢足球，有7人既爱打篮球又爱打排球，没有一个人三种球都爱玩，也没有一个人 三种球都不爱玩，问：这个班共有多少学生？6、某班有45名同学，其中22名同学参加科技兴趣小组，27名同学参加数学兴趣小