2022年新高考一卷数学试题详细解析

1、2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考 = 1 * ROMAN I卷）数 学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3请保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。若集合，则A BC D【答案】D【解析】集合，集合，故选D2若，则A B C D【答案】D【解析】对原式

2、两边同时乘以得：，即，所以，即故选D3在中，点在边上，记，则A B C D【答案】B【解析】因为，又因为，所以，即故选B4南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为A BC D【答案】C【解析】由题意，代入棱台体积，公式可得：故选C5从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为ABCD【答案】D【解析】总事件数共，第一个数取2时，第二个数可以是；第一个数取3时，第二个数可以是；第一个数取4时，第

3、二个数可以是；第一个数取5时，第二个数可以是；第一个数取6时，第二个数可以是；第一个数取7时，第二个数可以是；所以6记函数的最小正周期为若，且的函数图象关于点中心对称，则ABCD【答案】A【解析】，的函数图象关于点中心对称，则有，且，所以，则；解得，由得，故7设，则ABCD【答案】C【解析】令，；，所以，所以，所以，令，所以，所以，所以，所以，所以8已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上若该球的体积为，且，则该正四棱雉体积的取值范围是ABCD【答案】C【解析】记三棱锥高与侧棱夹角为，高为，底面中心到各顶点的距离为，则，故，令，故，即，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每

4、小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9已知正方体，则A直线与所成的角为B直线与所成的角为C直线与平面所成的角为D直线与平面所成的角为【答案】ABD【解析】在正方体中，因为，所以平面，所以，故选项A，B均正确；设，因为平面，所以直线与平面所成的角为，在直角中，故，故选项C错误；直线与平面所成的角为，故选项D正确综上，答案选ABD10已知函数，则A有两个极值点B有三个零点C点是曲线的对称中心D直线是曲线的切线【答案】AC【解析】，所以有两个极值点与，又，所以只有一个零点；由可知，点是曲线的对称中心；曲线在点处的切线方程为，所以答案选AC11已知

5、为坐标原点，点在抛物线：（）上，过点的直线交于两点，则A的准线为B直线与相切CD【答案】BCD【解析】由题意可知：，所以抛物线：，故的准线为，故A不对；由得曲线在点处的切线斜率为2，所以切线方程为，故直线与相切，所以B正确；过点的直线设为，交于两点的坐标分别设为，联立直线与方程可得，所以有，且，即，进一步可得，此时又，所以C正确；，又，故D正确；综上，答案选BCD12已知函数及其导函数的定义域均为，记若，均为偶函数，则A B C D【答案】BC【解析】由为偶函数可知关于直线对称，由为偶函数可知：关于直线对称，结合，根据关于直线对称可知关于点对称，根据关于直线对称可知：关于点对称，综上，函数与均

6、是周期为2的周期函数，所以有，所以A不正确；，故，所以C正确，所以B正确；又，所以，所以D不正确故选BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。的展开式中的系数为_（用数字作答）【答案】【解析】原式等于，由二项式定理，其展开式中的系数为写出与圆和都相切的一条直线的方程_【答案】，或，或（答对其中之一即可）【解析】由图可得，两圆外切，且均与直线相切。另过两圆圆心的直线的方程为，可得与交点为由切线定理得，两圆另一公切线过点，设，由点到直线距离公式可得，解得，即另由于两圆外切，因此在公切点处存在公切线与垂直，解得若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是_【答案】【解析】易得曲线不过原点

7、，设切点为，则切线斜率为：可得切线方程为，又切线过原点，可得，化简得（），又切线有两条，即方程有两不等实根，由判别式，得，或已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，离心率为，过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长是_【答案】13【解析】椭圆离心率为，不妨设，且为正三角形，则直线斜率由等腰三角形性质可得，由椭圆性质得的周长等价于另设直线方程为，与椭圆方程联立得由弦长公式得，即，四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列（1）求得通项公式；（2）证明：【解析】：（1），所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，所

8、以当时，所以，即（）；累积法可得：（），又满足该式，所以得通项公式为（2）18（12分）记的内角，的对边分别为，已知（1）若，求；（2）求的最小值【解析】（1）由已知条件得： 所以，即，由已知条件：，则，可得，所以，2）由（1）知，则，由正弦定理 当且仅当时等号成立，所以的最小值为 19（12分）如图，直三棱柱的体积为，的面积为求到平面的距离；设为的中点，平面平面，求二面角的正弦值【解析】（1）设到平面的距离为，所以，所以，所以到平面的距离为取的中点，连接，因为，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面,，则，所以，因为直三棱柱，所以，因为，所以平面，所以，由，所以，以为轴，为轴，为轴，建立如图

9、所示的空间直角坐标系，所以，平面BDC的法向量设为，平面BDA的法向量设为，所以，所以，设，则，所以，所以，设二面角 的平面角为，则，所以二面角的正弦值为20（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调査了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组60对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，表示事件“选到的人患有该疾病”

10、，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为（ = 1 * roman i）证明：；（ = 2 * roman ii）利用该调査数据，给出的估计值，并利用（ = 1 * roman i）的结果给出的估计值附：，【解析】（1）假设患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯没有差异，则，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异； （2）（ = 1 * roman i） ，得证；（ = 2 * roman ii）由调查数据可知，则，所以21（12分）已知点在双曲线上，直线交于，两点，直线，的斜率之和为0（1）求的斜率；（2）若，求的面积【答案】（1）

11、的斜率为0；（2）的面积为【解析】解析：（1）将点代入双曲线方程得，化简得得，故双曲线方程为由题显然直线的斜率存在，设，设，则联立直线与双曲线得：，故，化简得：，故，即，而直线不过点，故（2）由，得，不妨设直线的倾斜角为锐角且为， eq oac(,1)当均在双曲线的左支时，得到，此时与渐近线平行，与双曲线左支无交点。 eq oac(,2)当均在双曲线的右支时，由，得，即，联立及得，进而解出：，代入直线得，故，而，由，故.22（12分）已知函数和有相同的最小值.（1）求；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.【解析】（1）， = 1 *

12、 GB3 时，恒成立，所以在上单调递增，即没有最小值.该类情况应舍去. = 2 * GB3 时，在上小于0，在上大于0，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处有最小值为，所以在上小于0，在上大于0，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处有最小值为，因为和有相同的最小值.所以有，即因为，所以上式等价于，令，则恒成立，所以在上单调递增又因为且，所以.（2）证明：由（1），且在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且. = 1 * GB3 时，此时，显然与两条曲线和共有0个交点，不符合题意； = 2 * GB3 时，此时，与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1； =

13、3 * GB3 时，首先，证明与曲线有2个交点：即证明有2个零点，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，（令，则，）所以明在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为.其次，证明与曲线和有2个交点：即证明有2个零点，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，（令，则，）所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为.再次，证明存在使得：因为，所以，若，则，即，所以只需证明在上有解即可，即在上有零点，因为，所以在上存在零点，取一零点为，令即可，此时取则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列：因为，所以，

14、又因为在上单调递减，即，所以同理，因为，又因为在上单调递增，即，所以，又因为，所以，即直线，与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.试卷点评欧阳才学2022年高考数学落实立德树人根本任务，促进学生德智体美劳全面发展，体现高考改革的要求。试卷突出数学学科特点，强化基础考查，突出关键能力，服务“双减”政策，助力基础教育提质增效。1.考查双基，体现能力 试卷近一半的题目都属于常规的基础题型，从考查的知识点来看，也都是高中数学的主干知识。但题目的考法更加灵活，如果学生平时只是一味刷题，不注重数学知识的理解和思维能力的培养，在很多基础题目上也会翻车。如选择第5题，考查学生对古典概型的计算，有的

15、学生不理解互质的定义，便无从下手；第9题对正方体中异面直线和线面角的考查，无需计算就能得分；再比如解答题第20题（1），考查的是独立性检验，实际上是代入公式进行计算即可轻松解决此题。2.关注应用，体现素养 数学与实际生活的结合一直是高考的热点，今年的试卷也一如既往的将数学知识融于实际情境之中，体现数学的应用价值。如第4题以我国的重大建设成就“南水北调”工程为背景，考查学生的空间想象、运算求解能力，试题引导学生关注社会主义建设的成果，增强社会责任感，体现学生的数学素养。3.知识综合，区分度高 由于数学学科的特点，高考数学出现知识间的综合。如函数与数列的结合，切线与不等式的结合，三角变形公式与解三

16、角形的结合等等。另外，少数几个较难的题目也体现了良好的区分度，如8、16、21、22题对学生的思维能力都有较高的要求。第16题体现了特殊与一般的思想，20（2）题以条件概率作为背景为命题的切入点，要求学生证明等式这对学生的就是一个不小的考验，其次要概率估计值的计算让学生犯难了；22题作为全卷最后一道题目，第22题重视基于数学素养的关键能力的考查，在数学知识层面、数学能力层面和创新思维层面都有所体现，具有较好的选拔功能。本卷有一定的创新性，平时的立体几何第一问考查的是证明，解析几何第一问考查的是求曲线方程等都有所改变，因此想要在高考中拿到高分，只有深刻挖掘题目背后的原理和内涵，才能更好的把握住数

17、学的本质，需要在理解数学的基础上学好数学。 试卷点评范世祥今年是数学新高考全国卷的第三年，由教育部考试中心（2022年现已更名为教育部教育考试院）统一命制的2022年全国新高考 = 1 * ROMAN I卷数学试卷，试卷遵循普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）的基本要求，试题落实立德树人根本任务，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，坚持素养导向、能力为重的命题原则，体现了高考数学的科学选拔和育人导向作用。试卷结构保持不变，试题稳定适度创新。试题重视数学的本质，突出理性思维、数学应用、数学探究、数学文化的引领作用，突出对关键能力的考查。试题体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要

18、求，难度设计科学合理，贯彻“低起点、多层次、高落差”的科学调控策略，命制了适合不同学生水平的试题。充分发挥了数学试题的选拔功能和积极导向作用。“低起点”注重基础。试卷在选择题、填空题、解答题起始部分起点低、入口宽，从数学概念、数学方法入手，面向全体学生。如试卷第15题、第910题、第1314题、第1719题，都是注重考查基础知识、回归教材的特点。“多层次”突显思维。试题重视难度和思维的层次性，数学概念的理解、基本数学方法的掌握、数学素养的养成等与思维水平有高度的关联性，给学生更广阔的思考空间、更多的思考角度以及基于自己认知水平的发现和探索解题方法的不同平台。如试卷第 题、第 题、第 题具有多种解法，体现解题方法的多样性，给不同层次的学生提供多种分析问题和解决问题的途径。“高落差”服务选才。试题的难度设计不仅有层次性，而且在思维的灵活性、深刻性，方法的综合性、