理论力学(第三版)第5章第3节拉格朗日方程课件

1、理论力学（第三版）第5章第3节拉格朗日方程 达朗贝尔原理 基本拉格朗日方程 保守系的拉格朗日方程导读5.3 拉格朗日方程 循环积分 广义速度 广义动量按照牛顿运动定律, 力学系统的第i质点的运动方程是只要把最后一项理解为一种力, 上式就变为平衡方程的类型. 事实上, 研究第i个质点的运动时, 若选用跟随这个质点一同平动的参考系统, 这个质点显然是(相对)静止的, 它应当遵守平衡方程. 最后一项就是惯性力. 这就叫做达朗贝尔原理.达朗贝尔-拉格朗日方程1 达朗贝尔原理 达朗伯原理是以牛顿定律加上理想约束假定作为逻辑推理的出发点导出的. 从这个基本法出发再利用约束对虚位移的限制关系式, 可以导出力

2、学系统的动力学方程，从而概括了力学系统的运动规律. 由于约束的性质是纯几何的或运动学的, 因此可认为真正作为动力学理论的逻辑出发点就是这个基本方程, 故称之为“原理”. 这比承认牛顿运动定律再加上理想约束假定作为出发点更为简洁和富有概括性. 当存在非理想约束时, 达朗贝尔原理也适用,它可叙述为：主动力和非理想约束力及惯性力的虚功之和为零. 对于完整约束或非完整约束, 这个原理都适用, 因此它可以称为分析动力学的普遍原理.动力学普遍方程的直角坐标形式适用于具有稳定（或非非稳定）约束的系统；适用于具有完整（或非完整）约束的系统；适用于具有保守力（或非保守力）的系统.适用于具有理想约束或双面约束的系

3、统；2 动力学普遍方程 达朗贝尔拉格朗日方程主要应用于求解动力学第二类问题，即：已知主动力求系统的运动规律. 应用达朗贝尔拉格朗日方程求解系统运动规律时，重要的是正确分析运动，并在系统上施加惯性力. 由于达朗贝尔拉格朗日方程中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开. 应用达朗贝尔拉格朗日方程时，需要正确分析主动力和惯性力作用点的虚位移，并正确计算相应的虚功.例题1离心调速器已知：M1为球A、B 的质量；m2为重锤C 的质量；l为杆件的长度；为O1 y1轴的旋转角速度.求： 的关系.BACllllO1x1y13 应用举例 解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有一个自

4、由度. 取广义坐标 q=(1) 分析运动、确定惯性力 球A、B绕 y轴等速转动；重锤静止不动。球A、B的惯性力为(2) 给系统有一虚位移 。A、B、C 三处的虚位移分别为rA、rB、 rC CllllO1x1y1ABFIBFIAm1 gm1 gm2 grBrArC (3) 应用达朗贝尔拉格朗日方程 根据几何关系，有CllllO1x1y1ABFIBFIAm1 gm1 gm2 grBrArC例题2 质量为m1的三棱柱ABC通过滚轮搁置在光滑的水平面上. 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿三棱柱的斜面AB无滑动地滚下. 求：(1) 三棱柱后退的加速度a1; (2)圆轮质心C2相对于三棱柱加速度ar.x

5、yC2DC1ACBO解：(1) 分析运动三棱柱作平移，加速度为 a1. 圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为ae= a1 ；质心的相对加速度为ar；圆轮的角加速度为2.(2) 施加惯性力xyC2DC1ACBOm1gm2ga1aeF12F11M122(3) 确定虚位移 考察三棱柱和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度xyC2DC1ACBOm1gm2gF12rF12F11M12 x (4) 应用达朗贝尔拉格朗日方程求解联立方程，得xyC2DC1ACBOm1gm2gF12rF12F11M12 x 由于约束条件, n个矢径并不独立. 现在引入独立的广义坐标q 把矢径用广义坐标表示出：对时间求导因为位矢只是

6、广义坐标和时间的函数, 它对广义坐标的偏导数也是广义坐标和时间的函数, 因此速度就是广义坐标、广义速度以及时间的函数, 但是位矢对时间和广义坐标的偏导数并不是广义速度的函数. 4 基本形式的拉格朗日方程因为广义速度也是独立的, 所以再来看位矢对广义坐标的偏导数的时间变化率即位矢对广义坐标的偏导数和对时间的偏导数可以对易这样把广义坐标表示代入达朗贝尔-拉格朗日方程, 考虑(5.24)和(5.25)式上式中的两个括号正是力学系统的动能T, 所以拉格朗日方程 这里已经甩掉了虚位移. 因为T 和Q都是t, q和它的时间变化率的已知函数, 所以这是关于s 个未知函数q(t)的常微分方程组, 其中每个方程

7、一般都含有这s 个未知函数的二阶导数.叫广义动量叫广义速度叫拉格朗日力Q 叫广义力广义动量时间变化率等广义主动力与拉格朗日力之和所以注意： 拉格朗日方程在数学上是q的常微分方程, 在物理上是实际运动所遵从的运动定律. (1) 方程中的 d/dt 运算当然是把描写实际运动的q当作时间t的函数q(t), (2) 而广义速度则是q(t)的时间变化率. (3) 可是, 为了具体写出(5.27)式, 必须先计算T(q , dq/dt, t) 的偏导数dT/dq和dT/d(dq/dt ), (4) 在作这种运算时, 是把广义坐标、广义速度和时间当作独立变数看待的, 也就是说, 不把q作为时间的函数，也不把

8、广义速度作为q的时间变化率. 这是怎么回事? 原来, 作为研究问题的出发点, 我们并不局限于实际实现的运动情况, 而是考虑瞬时“冻结”了的约束条件所允许的一切可能的运动情况(虚位移概念就是这样引入的). q并不是指某个时刻的实际的广义坐标, 而是约束条件所允许的任意的广义坐标, 所以它不是时间的函数. 广义速度也是约束条件所允许的任意的广义速度, 所以它也不是广义坐标时间变化率, 而是独立于广义坐标的. 对于只具有完整约束、自由度为N的系统，可以得到由N个拉格朗日方程组成的方程组.应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤： 判断约束性质是否完整、主动力是否有势，决定采用哪一种形式的拉格朗日方程.

9、确定系统的自由度，选择合适的广义坐标. 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广义力. 将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程.5 拉格朗日方程的应用例1 试推导平面极坐标中的质点运动方程解: 这里有两个自由度, 广义坐标即极径和极角. 径向速度和横向速度分别是广义动量为它们分别是径向动量和相对于极点的角动量. 拉格朗日力为前一个是质点绕极点运动的惯性离心力. 广义力Q , Q可利用虚功来求. 先令=0, 虚功W=F r=F ,得到Q = F . 这是力的径向分量.同理 先令 =0, 利用虚功得到Q= F .这是相对极点的力矩.例2 如果某一广义坐标q , 反映力学系统的整体平移,

10、 其平移方向沿着单位矢量 (如图). 即其中q代表q 以外的所有各广义坐标, dq 则是所有质点的共同平移. 在这情况下,相应的广义动量这正是力学系统的动量在 方向的分量. 同理可以证明相应的广义力是主动力之和在n方向的分量. (课下作业)q 是系统绕转动轴转过的角度, 此时相应的广义动量例3 如广义坐标q , 反映系统的整体转动, 其转动轴沿着单位矢量 , 则这正是力学系统的角动量上在 方向的分量, 即力学系统对n轴的角动量. 相应广义力Q为 当主动力 全是保守力时, 存在一个势能函数V(r1, r2, , rn, t) 使则, 广义力为拉格朗日方程就可以改写为6 保守系的拉格朗日方程因为势

11、能中一般不包括广义速度, 令 代表系统的动能和势能之差, 则则(5.28)式变为这是保守系的拉格朗日方程, L叫拉格朗日函数.通常定义广义动量 所以, 广义动量的时间变化率等于广义力例题1 质量为m、长度为l的均质杆AB可以绕A端的铰链在平面内转动. A端的小圆轮与劲度系数为k的弹簧相连，并可在滑槽内上下滑动. 弹簧的原长为l0.求：系统的运动微分方程. 解：(1) 系统的约束为完整约束，主动力为有势力.(2) 系统具有两个自由度，广义坐标选择为q=(x, ), x 坐标的原点取在弹簧原长的下方.xOxl0ABCk(3) 计算系统的动能：不计弹簧的质量，系统的动能即为AB杆的动能xOxl0AB

12、Ck 系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成，以O点为共同的势能零点拉格朗日函数(4) 应用拉格朗日方程运动微分方程xOxl0ABCk例题2 不可伸缩的柔软轻绳绕过两个定滑轮和一个动滑轮(图), 滑轮的重量很轻, 质量为m1, m2和m3的物体分别悬挂于绳的两端和动滑轮下. 求各物体的加速度. 解: 三个物体作上下方向的一维运动, 又受到一不可伸缩的绳的限制,因此只有2个自由度.取左右两边的绳长l1和l2作为力学系统的广义坐标. l1+2l3+l2=常数l.三个物体受到的都是重力, 是保守系统, 所以l1l3l3l2m2m1m3拉格朗日方程给出所以BAkOr0 例题3 均质杆OA，重量为W，长度

13、为l绕O作定轴转动. 重量同为W的滑块B套在OA杆上，可在OB杆上滑动. 劲度系数为k、不计质量的弹簧，两端分别与A、B相连. 弹簧未变形时，OBr0. 求：系统的运动微分方程(摩擦忽略不计). 解：(1) 系统的约束为完整约束，且主动力有势. (2) 系统的自由度N2. 取广义坐标 q=(r, ). (3)确定系统的动能和势能：零势能取弹簧原长及水平线, 则应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程求解:BAkOr0BrWWFF例题4 图示系统中，物块A与球B看成两个质点，质量分别为 , 用质量不计的长为 l 的杆相连.水平面光滑，求系统的运动微分方程. 解：系统受理想约束, 主动力(重力)有势

14、. 系统的自由度为2, 选 x, 为广义坐标. 椭圆摆代入拉格朗日方程系统运动微分方程 小 结达朗贝尔-拉格朗日方程拉格朗日方程叫广义动量叫广义速度叫拉格朗日力Q 叫广义力这是保守系的拉格朗日方程, L=T-V拉格朗日函数.附：拉格朗日介绍（Lagrange, Joseph-Louis）是法国数学家、力学家、天文学家. 1736年1月25日生于意大利西北部的都灵；1813年4月10日卒于巴黎. 拉格朗日在中学时代读了天文学家哈雷写的一篇谈论计算方法的小品文在解决求光学玻璃的焦点问题时，近世代数优越性的一个实例之后，就对数学和天文学发生了兴趣，不久进入都灵皇家炮兵学院学习. 通过自学的方式钻研数学，尚未毕业就担任了该院的部分数学教学工作. 18岁时开始撰写论文，19岁被正式聘任为该院的数学教授. 1755年，拉格朗日开始和欧拉通信讨论“等周问题”，从而奠定了变分法的基础. 拉格朗日最得意的著作是分析力学，撰写这部巨著，他倾注了大量的智慧和精力，整整经历了37个春秋. 在这部著作中，他利用变分原理建立了优美、和谐的力学体系，把宇宙描绘成为一个