[研究生入学考试]考研数三历年真题答案详解之2006_2007_2008_2009年_2010_2011真题_

1、1 n22f h22 22006 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、 填空题 ： 1 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 把答案填在题中横线上 .（ 1） n 1n _.（2）设函数 f ( x) 在 x 2 的某邻域内可导 ,且 f x ef x ， f 2 1， 则 f 2 （ 3 ） 设 函 数 f (u) 可 微 , 且 f 0 1 , 则 z f 4x2dz 1,2 _.y2 在 点 (1,2) 处 的 全 微 分2 1（ 4） 设矩阵 A ， E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA 1 2（ 5） 设 随 机 变 量 X与 Y 相 互 独 立， 且 均 服 从

2、 区 间 0,3B 2E ，则 B .上 的 均 匀 分 布 ， 则P max X , Y 1 _.（ 6） 设总体 X 的概率密度为 f x 1 e x x , X 1 , X 2 , , X n为总体 X 的简单随机样本，其样本方差为 S ，则 ES _.二、选择题： 7 14 小题，每小题 4 分，共 32 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 .（ 7） 设函数 y f (x)具有二阶导数， 且 f (x) 0, f ( x) 0， x 为自变量 x在点 x0 处的 增量， y与dy 分别为 f (x) 在点 x0 处对应的增量与微分

3、，若 x 0 ，则(A) 0 dy y . (B) 0 y dy .(C) y dy 0 . (D) dy y 0 . （ 8） 设函数 f x 在 x(A) f 0 0且f(C) f 0 0且f0 处连续，且0 存在0 存在m0 h21，则(B) f 0 1且f 0 存在(D) f 0 1且f 0 存在 - 1 -1nn（9） 若级数 an 收敛，则级数 n 1(A) an 收敛 .1（ B） ( 1)nan 收敛 .1(C) an an 1 收敛 . (D) an an 1 收敛 . n 1 n 1 2（ 10） 设非齐次线性微分方程 y P(x) y Q( x) 有两个不同的解 y1 (

4、 x), y2 (x),C 为任意常数，则该方程的通解是（） C y1 ( x) y2 (x) . （） y1 (x) C y1 ( x) y2 ( x) .（） C y1 ( x) y2 ( x) . （） y1 (x) C y1 ( x) y2 ( x) （ 11） 设 f ( x, y)与 ( x, y) 均为可微函数，且 y ( x , y) 0 ，已知 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y) 在约 束条件 (x , y) 0 下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若 f x ( x0 , y0 )(B) 若 fx ( x0 , y0 )(C) 若 fx ( x0 , y0

5、)(D) 若 fx ( x0 , y0 )（ 12） 设 1 , 2 , , s均为(A) 若(B) 若(C) 若1 , 2 , ,1 , 2 , ,1 , 2 , ,(D) 若 1 , 2 , , s（ 13） 设 A 为 3 阶矩阵，将1 1 0列得 C ，记 P 0 1 00 0 1（） C P 1AP .0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 .0 ，则 fy ( x0 , y0 ) 0 .0 ，则 fy ( x0 , y0 ) 0 . 0 ，则 f y (x0 , y0 ) 0 .n维列向量，s线性相关，则s线性相关，则s线性无关，则A 为 m n矩阵，下列选项正确的是A 1

6、, A 2 , , A s线性相关 .A 1 , A 2 , , A s线性无关 .A 1 , A 2 , , A s线性相关 .线性无关， 则 A 1 , A 2 , , A s线性无关 .A 的第 2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的，则1倍加到第 2（） C PAP .- 2 -T T2yx1 xTT当 L 与直线 y ax所围成平面图形的面积为 83（） C P AP . （） C PAP .（ 14） 设随机变量 X 服从正态分布 N( 1 , 12 )， Y 服从正态分布 N( 2 ,P X 1 1 P Y 2 1则必有(A) 1 2 (B) 1 2 2 ) ，且

7、(C) 1 2三 、解答题： 15 23 小题，共（ 15） （本题满分 7 分）(D) 1 2 94 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .设 f( )( )x, yg xy 1 xyy f x .7 分）2D10 分） a b0 xlimg（ 16） （本题满分 计算二重积分（ 17） （本题满分 证明：当 0b sin b （ 18） （本题满分 8 分）1 y sin, x 0, y 0 ,求arctan xx , y ；xydxdy， 其中 D 是由直线 y x , y 1,x 0 所围成的平面区域 .时，2cos b b a sin a 2cos a a .在 xOy

8、坐标平面上，连续曲线 L 过点 M 1,0 ，其上任意点 P x, y x 0 处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax （常数 a0 ） .( ) 求 L 的方程；( ) 时，确定 a 的值 .（ 19） （本题满分 10 分）求幂级数n 1 2n 1的收敛域及和函数 s( x) .n 1 n 2n 1（20） （本题满分 13 分）设 4 维 向 量 组 1 1 a,1,1,1 , 2 2, 2 a , 2, 2 T , 3 3,3,3 a,3 T ,4 4 , 4 , 4 , 4a ，问 a 为何值时 1 , 2 , 3 , 4 线性相关 ?当其一个极大线性无关组 ,并将其余向量用

9、该极大线性无关组线性表出1 , 2 , 3 , 4 线性相关时 ,求.- 3 -4, 1211（21） （本题满分 13 分）设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3, 向量 1T T1,2, 1 , 2 0, 1,1 是线性方程组 Ax 0 的两个解 .( )求 A 的特征值与特征向量；( )求正交矩阵 Q 和对角矩阵（）求 A及 A36E ，其中2,使得 QT AQ ；E 为 3 阶单位矩阵 .（22） （本题满分 13 分）设随机变量 X 的概率密度为1 x 0fX x ,0 x 2 ，0, 其他令 Y X 2 , F x, y 为二维随机变量 (X ,Y ) 的分布函数 .(

10、)求 Y 的概率密度 fY y ；( ) Cov( X , Y)；( ) F , 4 .2（23） （本题满分 13 分）设总体 X 的概率密度为, 0 x 1,f x; 1 ,1 x 2,0, 其他 ,其中 是未知参数 0 1 ， X1 , X 2 ., X n为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本值 x1 , x2 ., xn 中小于 1 的个数 .（）求 的矩估计；（）求 的最大似然估计- 4 -11ln1，0 ., 则 z2(1,2)(1,2)x yn2006 年考研数学（三）真题解析二、 填空题 ： 1 6 小题，每小题n（ 1） n 1.【分析 】将其对数恒等化 N4 分，

11、共 24 分 . 把答案填在题中横线上 .eln N 求解 .n【详解 】 limn 1 nnnlim en 1 n( 1) nne lim ( 1)n lnn1n而数列故 ( 1)nn 1 n有界， lnn1e0 1 .n 1n0，所以 1)n lnn1n（2） 设函数 f (x) 在 x 2 的某邻域内可导 ,且 f x ef x ， f 2 1，则 f 2 2e3 .【分析 】利用复合函数求导即可 .【详解 】由题设知， f x ef x ，两边对 x 求导得f两边再对 x求导得 f故 f (2) 2e3 f 2x ef x f ( x) e2 f x ，( x) 2e2 f x f (

12、 x) 2e3f x ，又 f 2 1，2e .3（ 3 ） 设 函 数 f (u) 可 微 , 且 f 0 1 f 4x2dz 1,2 4dx 2dy.y2 在 点 (1,2) 处 的 全 微 分【分析 】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算 .【详解 】方法一：因为zxzyf (4 x2 y2 ) 8x (1,2) 4，f (4 x2 y2 ) 2 y (1,2) 2，所以 dz 1,2 z 1,2 dx z 1,2 dy 4dx 2dy .- 5 -92 1 1 13 9方法二：对dz故 dz 1,2z f 4x2 y2 微分得f (4x2 y2 )d(4x2 y2 ) f (4

13、x2 y2 ) 8xdx 2ydy ，f (0) 8dx 2dy 4dx 2dy .2 1（ 4） 设矩阵 A ， E 为 2 阶单位矩阵， 1 2【分析 】 将矩阵方程改写为 AX B或XA列式性质进行计算即可 .【详解 】 由题设，有B(A E ) 2E矩阵 B 满足 BA B 2E， 则 B 2 .B或AXB C 的形式， 再用方阵相乘的行1 1于是有 B A E 4 ，而 A E 2 ，所以 B 2 .1 1（ 5） 设随机变量 X 与Y 相互独立，且均服从区间 0,3 上的均匀分布，则P max X , Y 1 1 .【分析 】【详解 】利用 X 与 Y 的独立性及分布计算 .由题设

14、知，f (x)X 与 Y 具有相同的概率密度1,30,0 x 3 . 其他则 P max X ,Y 1 P X 1,Y 1 P X 1 P Y 12P X 1 0 dx .【评注 】 本题属几何概型，也可如下计算，如下图：- 6 -2X Y 1e22e dx2x0222则 P max ,（ 6） 设总体 X 的概率密度为 f x单随机样本，其样本方差为 S ，则P X 1,Y 11 x xES2 2.S阴1.S9, X 1 , X 2 , , X n为总体 X 的简【分析 】利用样本方差的性质 ES DX 即可 .【详解 】因为EX xf (x)dx x e x dx 0，EX x2 f (

15、x)dxx2xe 02 2所以 DX EX EX22x2 x 0 x2e xdx x2e x 0 2 0 xe xdxe dx 2e x 0 2，0 2 ，又因 S 是 DX 的无偏估计量，所以 ES2 DX 2 .二、选择题： 7 14 小题，每小题 4 分，共 32 分 . 每小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 .（ 7） 设函数 y f (x)具有二阶导数， 且 f (x) 0, f ( x) 0， x 为自变量 x在点 x0 处的增量， y与dy 分别为 f (x) 在点 x0 处对应的增量与微分，若 x(A) 0 dy y . (B) 0(

16、C) y dy 0 . (D) 【分析 】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解y dy .dy y.0 ，则0 .【 详解 】 由 f ( x) 0, f ( x) 0 知，函数 f (x) 单调增加，曲线y f (x)凹向， 作函数 y f ( x) 的图形如右图所示， 显然当 x 0 时，- 7 -f h2f h2n取 an ( 1)n 1 ，则可排除选项（） ， （） ；n 1 n 1 n 1 2nny dy f ( x0 )dx（ 8） 设函数 f x 在 x(A) f 0 0且f(C) f 0 0且f【分析 】从 m0 h2f ( x0 ) x 0 ，故应选 ( ).0 处连续，

17、且 m0 h2 1，则0 存在 (B) f 0 1且f 0 存在0 存在 (D) f 0 1且f 0 存在 C 1 入手计算 f (0) ，利用导数的左右导数定义判定 f (0), f (0)f h2的存在性 .【详解 】由 lm0 h2f (0)1知， lm0 f h20 .又因为h2 0 .0 xlim f ( x)0hlim f令 t h2 ，则 1f h2lm0 h2 tlim0f t f (0)f t所以 f (0) 存在，故本题选（ C） .f x 在 x 0 处连续，则(0) .（9） 若级数an 收敛，则级数n1(A) an 收敛 .1（B） ( 1)nan 收敛 .1(C)

18、an an 1 收敛 . (D) an an 1 收敛 . n 1 n 1 2【分析 】 可以通过举反例及级数的性质来判定 .【详解 】 由 an 收敛知 an 1 收敛，所以级数 an an 1 收敛，故应选 ( ).或利用排除法：n取 an ( 1)n 1 ，则可排除选项（） .故（）项正确（ 10） 设非齐次线性微分方程 y P(x) y Q( x) 有两个不同的解- 8 -.y1 ( x), y2 (x),C 为任意常数，则该方程的通解是（） C y1 ( x) y2 (x) . （） y1 ( x) C y1 (x) y2 (x) .（） C y1 ( x) y2 ( x) . （）

19、 y1( x) C y1( x) y2 ( x)【分析 】 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可 【详解 】由于 y1 ( x) y2 (x) 是对应齐次线性微分方程.y P( x) y 0的非零解，所以它的通解是 Y C y1 (x) y2 (x) ，故原方程的通解为y y1 ( x) Y y1( x) C y1 ( x) y2 (x) ，故应选 ( ).【评注 】本题属基本题型，考查一阶线性非齐次微分方程解的结构：y y * Y .其中 y* 是所给一阶线性微分方程的特解， Y 是对应齐次微分方程的通解 .（ 11） 设 f ( x, y)与 ( x, y) 均为可微函数，且 y ( x

20、 , y) 0 ，已知 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y) 在约 束条件 (x , y) 0 下的一个极值点，下列选项正确的是(A) 若 f x ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y ( x0 , y0 ) 0 .(B) 若 fx ( x0 , y0 ) 0 ，则 fy ( x0 , y0 ) 0 .(C) 若 fx ( x0 , y0 ) 0 ，则 fy ( x0 , y0 ) 0 .(D) 若 fx ( x0 , y0 ) 0 ，则 f y (x0 , y0 ) 0 .【分析 】 利用拉格朗日函数 F (x , y, ) f ( x, y)x0 , y0 的参数 的值）取到

21、极值的必要条件即可 .【详解 】 作拉格朗日函数 F( x , y , ) f (x , y)值为 0 ，则消去Fx ( x0 , Fy ( ,0 ，得fx ( x0 , y0 )y0 , HYPERLINK l _bookmark1 0 )y0 , HYPERLINK l _bookmark2 0 )， 即0 f x ( x0 , y0 ) 00 f y (x0 , y0 ) 0y ( x0 , y0 ) f y (x0 , y0 ) x ( x0 , y0 )- 9 - (x , y) 在 ( x0 , y0 , 0 ) （ 0 是对应( x , y)，并记对应 x0 , y0 的参数 的

22、x ( x0 , y0 ) 0.y ( x0 , y0 ) 00 ,A A1，y (x0 , y0 ) y x整理得 fx ( x0 , y0 ) 1 f ( x0 , y0 ) (x0 , y0 ) . （因为 y ( x, y) 0），若 fx ( x0 , y0 ) 0 ，则 fy ( x0 , y0 ) 0 .故选（） .（ 12） 设 1 , 2 , , s均为 n 维列向量， A 为 m n矩阵，下列选项正确的是(C) 若 1 , 2 , , s线性相关，则 A 1 , A 2 , , A s线性相关 .(D) 若 1 , 2 , , s线性相关，则 A 1 , A 2 , , A

23、 s线性无关 .(C) 若 1 , 2 , , s线性无关，则 A 1 , A 2 , , A s线性相关 .(D) 若 1 , 2 , , s线性无关，则 A 1 , A 2 , , A s 线性无关 .【分析 】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定 A .【详解 】 记 B ( 1 , 2 , , s) ，则 (A所以，若向量组 1 , 2 , , s线性相关，则A 1 , A 2 , , A s也线性相关，故应选 ( ).1 , 2 , , s ) AB .r (B) s ，从而 r (AB) r (B) s ，向量组（ 13） 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第

24、2 行加到第 1 行得 B ，再将 B 的第 1 列的 1倍加到第 21 1 0列得 C ，记 P 0 1 0 ，则0 0 1C P AP .（）11（） C PAP .T（） C P AP .T（） C PAP . 【分析 】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得 .【详解 】由题设可得1 1 0 1 1 0 1 1 0 1B 0 1 0 A ,C B 0 1 0 0 1 00 0 10 0 1 0 0 1 011 0而 P 1001 0 ，则有 C0 1PAP 1 .故应选（）.（ 14） 设随机变量 X 服从正态分布 N( 1 , 12 )， Y 服从正态分布 N( 2

25、 , ) ，且1001- 10 -1 ysin1 xy arctan xy yxxP X 1 1 P Y 2 1则必有(B) 1 2 (B) 1 2(C) 1 2 (D) 1 2 A 【分析 】 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得 .【详解 】 由题设可得PX11PY21，1122则 211211，即11.1212其中 (x)是标准正态分布的分布函数 .又( x)是单调不减函数，则11 ，即12 .12故选 (A).三 、解答题： 15 23 小题，共 94 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .（ 15） （本题满分 7 分）1 y sin设 f x, y , x 0, y

26、0 ,求( ) g x f x , y ；0( ) lim g x .【分析 】第 ( )问求极限时注意将 x作为常量求解，此问中含第( ) 问需利用第 ( ) 问的结果，含 未定式极限 .,0 型未定式极限；x【详解 】 ( ) g x f x, y m - 11 -ysin x3 0 y 3 92 1 1 231 y0 01 y1im 1 1 x arctax1 1 xx arctanx .x( ) lim g x00 xlim0 xlimarctanx x x2（ 16） （本题满分 计算二重积分7 分） y21 1 x x arctan x01xlim1x2 2xarctanx x x

27、 arctanx2x（通分）x2 2 x(1 x2 ) 2xx2 x0limx0 x2 lim1xydxdy， 其中 D 是由直线 y x , y 1,x 0 所围成的平面区域 .D【分析 】画出积分域，将二重积分化为累次积分即可 .【详解 】积分区域如右图 . 因为根号下的函数为关于 x 的一次函数， “先 x后 y ”积分较容易，所以y2 xydxdy dy y2 xydxDy xy 2 dy 2 y 2dy 2（ 17） （本题满分 10 分）证明：当 0 a b 时，bsin b 2cos b b a sin a 2cos a a .【分析 】 利用“参数变易法”构造辅助函数，再利用函

28、数的单调性证明 .【详解 】 令 f ( x) x sin x 2cos x x asin a 2cos a a,0 a x b ，则 f (x) sin x x cos x 2sin x x cos x sin x ，且 f ( ) 0 .又 f ( x) cos x x sin x cos x xsin x 0，（ 0 x 时, s x0 ），故当 0 a x b 时， f ( x)单调减少， 即 f ( x) f ( ) 0， 则 f (x) 单调增加，于是 f (b) f (a) 0 ，即bsin b 2cos b b a sin a 2cos a a .- 12 -exxx1dx1n

29、 2n 1n 1 2n 1x 2 .n 2n 332 4 83 32.（ 18） （本题满分 8 分）在 xOy 坐标平面上，连续曲线L 过点 M 1,0 ，其上任意点 P x, y x 0 处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax （常数 a0 ） .( ) 求 L 的方程；( ) 当 L 与直线 y ax所围成平面图形的面积为 8 时，确定 a 的值 .【分析 】 ( )利用导数的几何意义建立微分方程，并求解； 形的面积，确定参数 .( )利用定积分计算平面图【详解 】 ( ) 设曲线y y通解公式得y 1dxL 的方程为 y f ( x) ，则由题设可得ax ，这是一阶线性微分方程

30、，其中 P( x) , Q(x) ax ，代入axe x dx C x ax C ax2 Cx，又 f (1) 0 ，所以 C a .故曲线 L 的方程为 y ax2 ax (x 0) .( ) L 与直线 y ax （ a0 ）所围成平面图形如右图所示 . 所以D 0 ax ax2 ax dxa 0 2x x2 dx a ，故 a 2（ 19） （本题满分 10 分）求幂级数n11 x 的收敛域及和函数 s( x) .【分析 】因为幂级数缺项，按函数项级数收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合已知函数的幂级数展开式计算和函数 .【详解 】记 un( x)( 1)n 1 x2 n n(2n

31、 1)un 1( x) un (x)1，则( 1) x(n 1)(2n 1)( 1)n 1 x2n 1n(2n 1)- 13 -Tn 1 n(2 n 1) n 1 (2n 1) 2nn 1 2n 1 n 1 1 x20 s1 (t)dt 0 1 tn(2n 1) , n(2n 1)0 1 t 2 22x x0 0T2 1,即 x 1时，所给幂级数收敛；当 x 1 时，所给幂级数发散；所以当 x当 x 1 时，所给幂级数为 ( n 1 ( 1)n ，均收敛，1)故所给幂级数的收敛域为 1,1在 1,1 内， s( x) ( 1)n 1 x2n 1 2x ( 1)n 1x2n 2xs1( x)，而

32、 s1 (x) ( 1)n 1 x2n 1 , s1 ( x) ( 1)n 1x2n 2 1 ，所以 s1 (x) s1 (0) x x 1 2 dt arctan x ，又 s1 (0) 0 ，于是 s1 (x) arctan x . 同理s1 (x) s1(0) s 1(t)dt arctantdtt arctant x t dt x arctan x 1 ln 1 x2 ，又 s1(0) 0 ，所以 s1( x) x arctan x 1 ln 1 x2 .故 s( x) 2x2 arctan x x ln 1 x2 . x 1,1 .由于所给幂级数在 x 1 处都收敛，且 s( x)

33、2x2 arctanx x ln 1 x2 在x 1 处都连续，所以 s(x) 在 x 1成立，即s( x) 2x2 arctan x xln 1 x2 ， x 1,1 .（20） （本题满分 13 分）设 4 维 向 量 组 1 1 a,1,1,1 , 2 2, 2 a , 2, 2 T , 33,3,3 a,3 T ,4 4 , 4 , 4 , 4a ，问 a 为何值时 1 , 2 , 3 , 4 线性相关 ?当其一个极大线性无关组 ,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出1 , 2 , 3 , 4 线性相关时 ,求.【分析 】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩

34、阵的行列式为零来确定参数 a ；用初等变换求极大线性无关组 .【详解 】记以 1 , 2 , 3 , 4 为列向量的矩阵为 A ，则- 14 -(10 a) a3 .331 a1 A11于是当 A 0,即a当 a 0 时，显然当 a 10 时，191A112 3 42 a 3 42 3 a 42 3 4 a0或a 10 时， 1 , 2 , 3 , 4 线性相关 .1 是一个极大线性无关组，且 2 2 1 , 3 3 1 , 4 4 1；2 3 42 3 4834，2742 3 6由于此时关组，且19A 有三阶非零行列式 112 3 40，即 42 38 32 71400 0，所以 1 , 2

35、 , 3 为极大线性无2 3 .（21） （本题满分 13 分）设 3 阶实对称矩阵 A的各行元素之和均为 3, 向量 1T T1,2, 1 , 2 0, 1,1 是线性方程组 Ax 0的两个解 .( ) 求 A 的特征值与特征向量；( ) 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 ,使得 QT AQ ；6（）求 A 及 A E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵 .2【分析 】 由矩阵 A 的各行元素之和均为 3 及矩阵乘法可得矩阵 A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组 Ax 0 有非零解可知 A 必有零特征值，其非零解是 0 特征值所对应的特征向量得到 A 和 A E2【详解 】 ( ).将

36、A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵 Q； 由 QTAQ 可6.因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以- 15 -1TTk取1 3 1A 1 3 3 1 ，1 3 1则由特征值和特征向量的定义知，的特征向量 . 对应 3的全部特征向量为又由题设知 A 1 0, A 2 0 ，即3是矩阵 A 的特征值， (1,1,1)T 是对应k ，其中 k 为不为零的常数 .A 1 0 1 , A 2 0 2 ，而且 1 , 2 线性无关，所以 0是矩阵 A 的二重特征值， 1 , 2 是其对应的特征向量，对应 0 的全部特征向量为 1 1 k2 2 ，其中 k1 , k2 为不全为零的常数 .(

37、) 因为 A 是实对称矩阵，所以 与 1 , 2 正交，所以只需将 1 , 2 正交 .1 1，2 , 12 2 11 , 101113261120 .12再将 , 1 , 2 单位化，得1令 Q1313131 , 2 , 31, 21，则 Q162616Q ，由2, 32120 ，12A 是实对称矩阵必可相似对角化，得Q AQ（）由 ( )知 QT AQ30030.，所以0- 16 -T33323 3 TX , F x, y41211AQTQ Q3 A E2T1 13 61 23 61 13 66Q Q A30120123E 20131060126Q QT AQ E26 3232321326

38、06311 1 111 1 1 .61 1 1126663，E3226326 6则 A E Q EQ2 2（22） （本题满分 13 分）设随机变量 X 的概率密度为63E .2, 1 x 0fX x ,0 x 2 ，0, 其他令 Y 2 为二维随机变量 (X ,Y ) 的分布函数 .( ) 求Y 的概率密度 fY y ；( ) Cov( X ,Y)；( ) F , 4 .2【分析 】 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布，然后求导得相应的概率密度或利用公式计算 .【详解 】 （I） 设 Y 的分布函数为 FY ( y) ，即 FY ( y) P(Y y) P(X 2 y) ，则1) 当

39、y 0 时， FY ( y) 0；- 17 -0 12 00 1y 1 3214 4 2 4 6Y18 y 0,其他8 y132) 当 0 y 1时， FY ( y)dx y 23) 当 1 y 4时， FY ( y)1 dx4) 当 y 4， FY ( y) 1 .所以P(X 2 y) P0 4dx 4 y . P( X 2 y) P 1dxy 1 14 421y.y X yX y, 0 y 1fY ( y ) FY ) , 1y . 4（ II） Cov(X , Y)而 EX 01 xdxEX dx所以 Cov( X ,Y)( ) F , 42Cov( X , X 2 ) E(X EX )

40、(X 2 EX 2 ) EX 3 EXEX 2，02 xdx 1， EX 2 01 x2dx 02 x2dx 5 ，02 3x4dx ，7 1 5 2.8 4 6 31 1 2P X , 4 P X , X 42 2P X1, 2X2P2X122112 2 dx（23） （本题满分 13 分） 设总体 X 的概率密度为f x;其中 是未知参数 0 1 ，1.4, 0 x 1,1 ,1 x 2,0, 其他 ,X1 , X 2 ., X n为来自总体 X 的简单随机样本，记 N 为样本- 18 -1 2 32f ( x) 存在，则 xf (x) 存在，则 xf (0) 0f (0) 存在x值 x1

41、 , x2 ., xn 中小于 1 的个数 .（）求（）求的矩估计；的最大似然估计【分析 】 利用矩估计法和最大似然估计法计算【详解 】 （）因为 EX xf (x;)，n)dx32n N 个N为3令 X ，可得 的矩估计为2（）记似然函数为 L( ) ，则1L ( )N个两边取对数得ln L ( ) N ln令 d lndL ( ) N n N1 1(n N )ln(10，解得.0 x dx 1 x 1 dx ，X.1 N (1 ) n N .的最大似然估计 .2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一 选择题 （本题共 10 分小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个

42、选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（ 1） 当 x A . 1 e x（2） 设函数A .若 lm0 C . .若 m00 时，与 x等价的无穷小量是（ ）B. l n (1 x ) C . 1 x 1f ( x) 在 x 0 处连续，下列命题错误的是：B . 若 m0 f ( x)0D . 若 lim f ( x)D . 1 c o sx( )f ( x) 存在，则 xf ( x) 存在，则 xf (0) 0f (0) 存在（3） 如图 .连续函数 y f ( x) 在区间3, 2 , 2,3 上的图形分别是直径为 1 的上、下- 19 -x1x0C . dy1

43、 101 arcsin y 1 arcsin y4 43 5F (半圆周， 在区间 2,0 , 0,2 上图形分别是直径为 2 的上、 下半圆周， 设 F (x) f (t )dt ,则下列结论正确的是： （ ）A. . F (3) 3 2) B. F ( 3 ) 5 F ( 2 )C . F ( 3) F (2) D . F ( 3 ) F ( 2 ) 4 4（4） 设函数 f (x , y) 连续，则二次积分 dx sinx f (x , y)dy 等于（ ） 2A. dy arcsinx f ( x, y)dx B. 0 dy arcsin y f ( x, y)dx0 f ( x, y

44、) dx D . 0 dy f ( x , y) dx 2 2（5） 设某商品的需求函数为 Q 160 2 ， 其中 Q，商品需求弹性的绝对值等于 1，则商品的价格是（ A. 10 B . 20 C . HYPERLINK l _bookmark3 30（6） 曲线 y 1 ln(1 ex), 渐近线的条数为（ ）分别表示需要量和价格， 如果该）D . 40A. 0（7）设向量组线性（A） 1 2 , 2（C） 1 2 2 , 2（8）设矩阵 A（A ）合同，且相似B. 1 C . 2 D . 3无关，则下列向量组线相关的是 ( )1 , 3 1 (B) 2 1 , 222113 , 3 2

45、1 (D) 1 2 2 , 21 1 1 0 02 1 ， B 0 1 0 则 A 与 B （1 2 0 0 0(B) 合同，但不相似3 , 3 12 3 , 3 2 1）(C) 不合同，但相似(9) 某人向同一目标独立重复射击，次命中目标的概率为 ( )( A)3 p(1 p)2(C)3 p2 (1 p)2(D) 既不合同，也不相似 每次射击命中目标的概率为，(B)6 p(1 p) 2( D)6 p2 (1 p)2(10) 设随机变量 (X ,Y )服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，则此人第 4 次射击恰好第 2fx( x), fy ( y) 分别表示 X, Y的概率密度，则在（A）

46、 fX ( x)Y y 条件下， X 的条件概率密度 f X Y( x y)为( )(B) fy ( y)- 20 -x3 x2 13 (sin xx y x y _.1x2 y2fy ( y)(C) fx (x) fy ( y) (D) fx ( x)二、填空题： 11-16 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上（ 11） 2x x cos x)（ 12）设函数 y2x 31 ，则 y( n) (0)（ 13）设 f (u , v) 是二元可微函数， z（ 14）微分方程dx x 2 xdy y 1 ( y )3 满足_ ._ .f ( y , x ), 则 z

47、y zy x 1 1的特解为 _.（ 15）设距阵 A0 1 0 00 0 1 00 0 0 10 0 0 0, 则 A3 的秩为 _.(16)在区间 (0,1)中随机地取两个数 ,这两数之差的绝对值小于 的概率为 2三、解答题 ： 17 24 小题，共 86 分 .请将解答写在答题纸指定的位置上明、证明过程或演算步骤 ._.解答应写出文字说（ 17） （本题满分 10 分）设函数 y y(x) 由方程 y ln y x y 0 确定，试判断曲线 y y( x)在点（ 1， 1）附近的凹凸性 .（ 18） （本题满分 设二元函数f ( x, y)11 分）x2 . x y 1.1 , 1 x

48、y 2.计算二重积分 f (x, y)d . 其中 D (x , y) x y 2D（ 19） （本题满分 11 分）设函数 f ( x)， g( x) 在 a , b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又 f (a) g(a) ，f (b) g(b) ，证明：（）存在 (a , b),使得 f ( ) g ( )；（）存在 (a , b), 使得 f ( ) g ( ).- 21 -将函数 f ( x)f ( x; )212（20） （本题满分 10 分）x2 (21)(本题满分 11分)x1设线性方程组 x1x1 与方程x1 2x2 x313xx22x24x2a展开成 x 1的幂级数，并指出

49、其收敛区间 .4x3 0ax3 0 (1)a2 x3 01 (2)有公共解，求 a的值及所有公共解（22） （本题满分 11 分）设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1 1, 2 2, 3 2, 1 (1,T1,1) 是 A 的属于 1 的一个特征向量 .记 B A5 4 A3 E ，其中 E 为 3 阶单位矩阵 .（）验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；（）求矩阵 B.（23） （本题满分 11 分）设二维随机变量 (X ,Y) 的概率密度为（）求 P X（）求 Z X（24） （本题满分f ( x, y)2 x y,0 x0,其他2Y ；Y 的概率密度 fZ

50、 ( z) .11 分）设总体 X 的概率密度为,0 x12(1 ) , 0,其他1,0 y 1.,x 1, .其中参数 (0 1) 未知， X1 , X 2 ,. X n是来自总体 X 的简单随机样本， X 是样本均值 .（）求参数 的矩估计量 ；2（）判断 4 X 是否为的无偏估计量，并说明理由 .- 22 -4 43 5x21 112007 年考研数学（三）真题一、选择题 （本题共 10 分小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有 一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（7） 当 x 0 时，与 x 等价的无穷小量是（ B）A . 1 e x B.

51、 l n (1 x ) C . 1 x 1 D . 1 c o sx（8） 设函数 f ( x) 在 x 0 处连续，下列命题错误的是： (D)A .若 lm 存在，则 f (0) 0 B . 若 m 存在，则 f (0) 0C . .若 m 存在，则 f (0) 存在 D . 若 f ( x) xf ( x) 存在，则 f (0) 存在（9） 如图 .连续函数 y f ( x) 在区间 3, 2 , 2,3 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周， 在区间 2,0 , 0,2 上图形分别是直径为 2 的上、 下半圆周， 设 F (x) 0 f (t )dt ,则下列结论正确的是： （C ）

52、A. . F (3) F ( 2) B. F ( 3 ) F ( 2 ) 4 4C . F ( 3 ) 3 F (2) D . F ( 3 ) 5 F ( 2 )（ 10） 设函数 f (x , y) 连续，则二次积分 dx sinx f (x , y)dy 等于（ B）A. 0 dy arcsinx f ( x, y) dx B. 0 d y a r c i nf( x, d xC . 0 d y f( x, d x D . 0 dy f (x , y)dx 2 21 a r c i n 1 arcsin y（ 11） 设某商品的需求函数为 Q 160 2 ，其中 Q，该商品需求弹性的绝对值

53、等于 1，则商品的价格是（ D）x1A. 10（ 12） 曲线 yA. 0（7）设向量组线性B. 20 C . 30ln(1 ex), 渐近线的条数为（ D）B. 1 C . 2无关，则下列向量组线相关的是D . 40D . 3分别表示需要量和价格，如果(A)（A） 1 2 , 2 1 , 3 1 (B) 2 1 , 2 3 , 3 1(C) 1 2 2 , 2 2 3 , 3 2 1 (D) 1 2 2 , 2 2 3 , 3 2 1- 23 -x yn 1 _ .31 3fy ( y)2 1 1 1 0 0（8）设矩阵 A 1 2 1 ， B 0 1 0 则 A 与 B1 1 2 0 0

54、0（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9) 某人向同一目标独立重复射击， 每次射击命中目标的概率为，次命中目标的概率为 (C)( A)3 p(1 p)2 (B)6 p(1 p) 2(C)3 p2 (1 p)2 ( D)6 p2 (1 p)2（B）则此人第 4 次射击恰好第 2(10) 设随机变量 (X ,Y )服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关， fx( x), fy ( y) 分别表示 X, Y 的概率密度，则在 Y y 条件下， X 的条件概率密度 f X Y( x y) 为 (A)（A） fX ( x) (B) fy (

55、y)(C) fx (x) fy ( y) (D) fx ( x)二、填空题： 11-16 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上x3（ 11） 2xx2 13 (sin x x（ 12）设函数 y，则12x 3（ 13 ） 设 f ( u ,y2z zx yyf1 ( xdydx(, )2yy xx y1x1 0 00 1 00 0 1（ 14）微分方程00（ 15）设距阵 A0cos x) _ 0_ .y( n) (0) _ ( 1)n 2n n! 二 元 可 微 函 数 ， z f ( y , x ), 则xy x y .x y x2 f ( , )y)3 满足

56、y x 1 1的特解为 y2x21 ln x ., 则 A3 的秩为 1 .0 0 0 0(16)在区间 (0,1)中随机地取两个数 ,这两数之差的绝对值小于的概率为 .2 4- 24 -1 x,D1 D11 D120于是三、解答题 ： 17 24 小题，共 86 分 .请将解答写在答题纸指定的位置上 .解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 .（ 17） （本题满分 10 分）设函数 y y( x) 由方程 yln y近的凹凸性 .【详解 】：对方程两边求导得 y ln y 2y2从而有 y x 1再对两边求导得求在 (1,1) 的值：1 1ln1 2y (2 ln y) yyx 1( y

57、 1(2所以 y y(x)在点 (1,1)处是凸的（ 18） （本题满分 11 分） 设二元函数x2 .f ( x, y) 1x2 y2 ,x y 0确定，试判断曲线 y y(x) 在点（ 1， 1）附1 0 y12 ln y21 yyx 1 )ln1)0 y108( y )2 y(2 ln y)x y 1.1 x y 2.计算二重积分 f (x, y)d . 其中 DD【详解 】：积分区域 D 如图，不难发现(x , y) x y 2D 分别关于 x 轴和 y 轴对称，设 D1 是 D 在第一象限中的部分，即利用被积函数得f ( x , y)dD设D1 (D1 D (x , y) x 0,

58、y 0f ( x , y) 无论关于 x 轴还是关于 y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可4 f ( x , y)d D1， 其 中y) x 11 y ,2 xf (x , y)d 4 f ( x, y)d 4 f ( x , y)d 4 f ( x , y)dD D 1 D11 D 124 x2d 4 f ( x , y)dD11D12- 25 -cos sin221 t2 1 t 2 1 t 21 2 u2 0 2 u 2 2 0 2 u 2 u2 2d 0 2 (1 t u)D12 x2 y 2 0 cos sin r 0 cos sin由于 D11 ( x, y) 0 x 1,0

59、 y 1 x ，故1 1 x2x2d 0 0 dyx dxD1110 x2 (1 x)dx为计算 D12 上的二重积分，可引入极坐标( r , ) 中 x y而D12 0, rcos sin11的方程是 r12 cos sin cos1 1 13 4 12(r , ) 满足 x r cos , y r sin . 在极坐标系, x y 2 的方程是， r ，因，故sind 2 d cos 12 sin r dr 2 1 d令 tan t 作换元，则 2arctan t ，于是 : 0 t : 0 1且d 2dt ,cos 1 t 2 ,sin 2t ，代入即得d 2 1 1 2dt 1 2dt

60、D12 x2 y 2 0 cos sin 0 1 2t t 2 2(1 t )0 2du 1 2du 1 1 ( 1 1 )du121= ln1 2 u2 2 u综合以上计算结果可知f ( x , y)d 4 4ln(D（ 19） （本题满分 11 分）设函数 f ( x)， g( x) 在101 2 12 2 1ln 2 ln( 2 1)12 1) 4ln( 2 1)3a , b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又f (b) g(b) ，证明：（）存在 (a , b),使得 f ( ) g ( )；（）存在 (a , b), 使得 f ( ) g ( ).【详解 】：证明： (1)设 f (