九年级数学培优教程篇全

1、-PAGE . z.第1讲 二次根式的性质和运算考点方法破译1了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进展辨析；2掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进展化简；3会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值或取值围.经典考题赏板【例】荆州以下根式中属最简二次根式的是A.B.C.D.【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：被开方式中不能含分母；被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，应选A.【变式题组】1以下根式中不是最简二次根式的是A.B.C.D.；，最简二次根式是A, B,C, D,【例】(黔东南)方程，当y0时，m的取值围是

2、A0m1 Bm2Cm2 Dm2【解法指导】此题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4*80，*ym0.化为y2m，则2m0，应选C.【变式题组】2假设实数*、y满足，则*y的值是_.3假设，则*y的值为 A 1 B1C2 D34使代数式有意义的*的取值围是 A*3 B*3C*4 D*3且*45.，则abc_.【例】以下二次根式中，与是同类二次根式的是 A BC D【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A； B不能化简；C.；D，而.故此题应选D.【变式题组】6如果最简二次根式与是同类二次根式，则a_7在以

3、下各组根式中，是同类二次根式的是 A和 B和C和D和8最简二次根式和是同类二次根式，则a_，b_.【例】以下计算正确的选项是 A BC D【解法指导】正确运用二次根式的性质； 进展化简计算，并能运用乘法公式进展计算.A、B中的项不能合并.D.故此题应选C.【变式题组】9. 聊城以下计算正确的选项是 A BC D10计算：_11_12()a为实数，则 Aa Ba C1 D013ab0，ab6，则的值为 A B2CD【例】*y0，化简二次根式的正确结果为 A BCD【解法指导】先要判断出y0，再根据*y0知*0. 故原式.选D.【变式题组】14a、b、c为ABC三边的长，则化简的结果是_.15观察

4、以下分母有理化的计算：，算果中找出规律，并利用这一规律计算：_.16，则0*1，则_.【例】先化简吗，再求值：，其中，.，则代数式值为_.【解法指导】对于，先化简代数式再代入求值；对于，根据数的特征求*y、*y的值，再代入求值.【解】原式，当，时，ab1，ab,原式.由题意得：*y1，*y10, 原式.【变式题组】17威海先化简，再求值：(ab)2(ab)(2ab)3a2，其中,.18a是的小数局部，则代数式的值为_.【例】实数*、y满足，则3*22y23*3y2007的值为 A2008B2008C1D1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a、b的关系，再代入求值.解:，由以上两

5、式可得*y., 解得*22008，所以3*22y23*3y20073*22*23*3*2007*220071，应选D.【变式题组】19假设a0，b0，且，求的值.演练稳固反响提高01假设，则估计m的值所在的围是 A1m2B2m3C3m4D4m502是正整数，则实数n的最大值为 A12B11C8D303以下根式中，不是最简二次根式的是A.B.C.D.04贺州以下根式中，不是最简二次根式的是A.B.C.D.05以下二次根式中，是最简二次根式的是A.B.C.D.06设a20， b(3)2, , , 则a、b、c、d、按由小到大的顺序排列正确的选项是 AcadbBbdacCacdbDbcad07以下运

6、算正确的选项是 ABCD08如果把式子根号外的因式移入根号，化简的结果为 ABCD09如果式子化简的结果为2*3，则*的取值围是 A*1B*2C1*2D*010函数中自变量的取值围是_.11湘西对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算ab.则124_.12荆州先化简，再求值：，其中.13先化简，再求值：，其中.培优升级奥赛检测01凉山州一个正数的平方根是3*2和5*6，则这个数是_.02a、b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对a，b共有_对.03全国竞赛设，则_.04全国竞赛设,a是*的小数局部,b是*的小数部,则a3b33ab_.05竞赛，则*2y2_.06全国竞赛，则a、b、c的大

7、小关系是 AabcBbacCcbaDcab 07联赛*，y均为实数，则y的最大值与最小值的差为 AB3CD08全国竞赛非零实数a、b满足，则ab等于 A1B0C1D209全国竞赛等于 ABC5D110，则的值为 ABC D11，求abc的值.12与的小数局局部别是a和b，求ab3a4b8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点方法破译1会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2会进展二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值.3会化简复合二次根式，会在根式围分解因式.经典考题赏板【例】竞赛，则的值等于_【解法指导】通过平方或运用分式性质，把条件和待求式的被开方数都用表示或化简变形.解：两边平方

8、得， ，两边同乘以*得， ，原式=【变式题组】假设0a1，则_设，则的值为 ABCD不能确定【例】全国初中数学联赛满足等式2003的正整数对*,y的个数是 A1B2C3D4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.解：可化为，则*y2003，且2003是质数，正整数对*,y的个数有2对，应选B.【变式题组】3假设a0，b0，且，求的值.【例】：，求代数式的值.【解法指导】视*2，*2-4*为整体，把平方，移项用含a的代数式表示*2，*2-4*，注意0a1的制约.解：平方得，化简原式 【变式题组】4，求代数式的值.5五羊杯竞赛，且，则a的值等于 A5B5C9

9、D9【例】全国竞赛如图，点A、C都在函数的图像上，点B、D都在*轴上，且使得OAB、BCD都是等边三角形，则点D的坐标为_.【解法指导】解：如图，分别过点A、C作*轴的垂线，垂足分别为E、F.设y*AOBCDEFOE=a，BF=b，则AE=a，CF=b，所以，点A、C的坐标为a,a、2ab,b，所以，解得，因此，点D的坐标为,0【变式题组】6阅读以下材料，然后答复以下问题.在进展二次根式化简时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：； 一 ； 二； 三以上这种化简的步骤叫做分母有理化，还可以用以下方法化简：； 四1请你用不同的方法化简；= 1 * GB3参照三试得：=_；要

10、有简化过程= 2 * GB3参照四试得：=_；要有简化过程2化简：【例】五羊杯竞赛设a、b、c、d为正实数，ab，cd，bcad，有一个三角形的三边长分别为，求此三角形的面积.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么)，的几何意义是以a、c为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD，使ABba，ADc，延长DA至E，使DEd，延长DC至F，使DFb，连结EF、FB、EB，则BF，EF，BE=，从而知BEF就是题设的三角形，而SBEFS长方形ABCDSBCFSABESDEF(ba)c(dc)(ba)bd(bcad)【变

11、式题组】7(竞赛)a、b均为正数，且ab2，求U演练稳固反响提高01，则代数式值为_02设，则 A24B25CD03*计算_04竞赛假设有理数*、y、z满足，则_05竞赛正数m、n满足，则_06竞赛假设，则的值是 A2B4C6D807实数a满足，则的值是 A1999B2000C2001D200208设，则a、b、c之间的大小关系是 AabcBcbaCcabDacb09，化简培优升级奥赛检测01信利杯竞赛，则_02，则_ 03竞赛，则_04全国联赛，则*_05(T1杯联赛) ，则_06选拔赛如果，则的值为 AB2001C1D007竞赛当时，代数式的值是 A0B1C1D08全国联赛设a、b、c为有

12、理数，且等式成立，则的值是 A1999B2000C2001D不能确定09计算：123410实数a、b满足条件，化简代数式，将结果表示成不含b的形式.11，化简：12奥林匹克竞赛自然数*、y、z满足等式，求*yz的值.第3讲 一元二次方程的解法考点方法破译1掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3会应用一元二次方程解实际应用题。经典考题赏析【例】以下关于*的方程中，一定是一元二次方程的是 A.(m-2)*2-2*-1=0 B.k2*+5k+3=0 C.D.【解法指导】A、B选项中的二次系数可以为0，不是；D的分母中含字母，不符合.

13、应选C.【变式题组】1威海假设关于*的一元二次方程*2+(k+3)*+k=0的一个根是-2，则另一个根是_.【例2】如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2-2m=1，n2-2n=1，则代数式2m2+4n2-4n+1998=_.【解法指导】此题要运用整体代入法，根据一元二次方程根的定义运用整体代入法降次.解：由题意，2m2=4m+2，4n2=8n+2，则原式=(4m+2)+(8n+2)-4n+1998=(4m+4n)+4+1998，又由根与系数关系得m+n=2，原式=2010.【变式题组】2假设3a2-a-2=0，则5+2a-6a2=_.3设a、b是方程*2+*-2009=0的两个实数根，则a

14、2+2a+b的值为 A2006 B2007 C2008 D2009【例3】关于*的一元二次方程(m-3)*2+4*+m2-9=0有一个根为0，m的值为_.【解法指导】方法1：将*=0代入；方法2：有一个根为0，则常数项为0.解：依题意m2-9=0，m=3，根据方程是一元二次方程得m3，综合知m=-3.【变式题组】4庆阳假设关于*的方程*2+2*+k-1=0的一个根是0，则k=_.5东营假设关于*的一元二次方程(m-1)*2+5*+m2-3m+2=0的常数项为0，则m的值等于 A1 B2 C1或2 D0【例4】解方程：*2+4*-1=0.【解法指导】解：解法一：a=1，b=4,c=-1，*=.即

15、*=-2.原方程的根为.解法二：配方，得(*+2)2=5，直接开平方，得,原方程的根为.【变式题组】6方程*2=16的解是 A*=4 B*=4 C*=-4 D*=167.方程(*-3)(*+1)=*-3的解是 A.*=0 B.*=3 C.*=3或*=-1 D.*=3或*=08.方程3*(*+1)=3*+3的解为 A*=1 B*=-1 C*1=0，*2=-1 D*1=1，*2=-19.我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程.*2-3*+1=0；(*-1)2=3；*2-3*=0；*2-2*=4.【

16、例5】解方程：6*2-*-12=0【解法指导】为便于配方可先化二次项系数为1，解：方程两边都除以6，移项得*2-*=2，配方得*2-*+(-)2=2+(-)2,(*-)2=()2，即*-=，*1=,*2=.【变式题组】10仙桃解方程：*2+4*+2=0.11解方程：*2-3*-1=0.12解方程：*2-2*-3=0.演练稳固反响提高01方程*2-4*=0的解是_.02方程(*+2)(*-1)=0的解为_.03大兴安岭方程(*-5)(*-6)=*-5的解是 A*=5 B*=或*=6 C*=7 D*=5或*=704用配方法解方程*2-2*-5=0时，原方程应变形为 A(*+1)2=6 B(*-1)

17、2=6 C(*+2)2=9 D(*-2)2=905一元二次方程5*2-2*=0的解是 ABCD06a、b是关于*的一元二次方程*2+n*-1=0的两实数根，则式子的值是 An2+2 B-n2+2 Cn2-2 D-n2-207有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为 A8人 B9人 C10人 D11人08用配方法解一元二次方程*2-4*=5的过程中，配方正确的选项是 A(*+2)2=1 B(*-2)2=1 C(*+2)2=9 D(*-2)2=909义乌解方程*2-2*-2=0.10用配方法解一元二次方程：2*2+1=3*.11*解方程：(*-3)2+

18、4*(*-3)=0.12解方程：(*-3)2+2*(*-3)=0.13解方程：*2-6*+9=(5-2*)2.14解方程：培优升级奥赛检测01、为方程*2+4*+2=0的两个实根，则3+14+50=_.02*是一元二次方程*2+3*-1=0的实数根，则代数式的值为_.03假设*2-*-2=0，则的值等于 .ABCD或04全国联赛三个关于*的一元二次方程a*2+b*+c=0，b*2+c*+a=0，c*2+a*+b=0，恰有一个公共实数根，则的值为 .A0 B1 C2 D305全国联赛实数*、y满足：，y4+y2=3，则的值为 .A7 BCD506全国联赛m=1+，n=1-，且(7m2-14m+a

19、)(3n2-6n-7)=8，则a的值等于 .A-5 B5 C-9 D907三角形的每条边的长都是方程*2-6*+8=0的根，则三角形的周长是_.08滨州观察以下方程及其解的特征：的解为*1=*2=1；的解为*1=2，*2=；的解为*1=3，*2=；解答以下问题：请猜想：方程的解为_；请猜想：关于*的方程_的解为*1=a，*2=a0；下面以解方程为例，验证中猜想结论的正确性.解：原方程可化为5*2-26*=-5.下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程09如图，P1*1，y1，P2*2，y2，Pn*n，yn在函数*0的图象上，P1OA1，P2A1A2，P3A2A3，PnAn-1An都是等腰直角三

20、角形，斜边OA1、A1A2、A2A3、An-1An都在*轴上.求P1的坐标；求y1+y2+y3+y10的值.第4讲 根的判别式及根与系数的关系考点方法破译1掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；2理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值.经典考题赏板 假设关于*的一元二次方程 QUOTE 有两个不相等的实数根，则k的取值围是 Ak-1 B. QUOTE C.k0，所以方程有两个不相等的实数根.2解：因为方程的两根互为相反数，所以，根据方程的根与系数的关系得，解得，所以原方程可化为，解得，【变式题组】8()一元二次方程 QUOTE .(1)假设方程有两个

21、实数根，求m的值；2假设方程的两个实数根为 QUOTE ，且 QUOTE + QUOTE ,求m的值.【例】 设实数s,t分别满足 QUOTE ,并且st1，求 QUOTE 的值.【解法指导】 此题要观察s,t的共同点，应用方程的思想，把它们看做一个一元二次方程的两根，应用根与系数关系求值.解：s0，第一个等式可以变形为： QUOTE ,又st1， QUOTE t是一元二次方程*2 + 99* + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有 QUOTE ,即st + 1 =99s，t = 19s QUOTE 演练稳固反响提高01(东营)假设nn0是关于*的方程 QUOTE 的根，则m+n的值为 A

22、.1 B.2 C.-1 D.-2 02(株洲)定义：如果一元二次方程满足，则我们称这个方程为凤凰方程. 是凤凰方程，且有两个相等的实数根，则以下结论正确的选项是A B C D 03崇左一元二次方程 QUOTE 的一个根为-1，则另一个根为04(贺州)关于*的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值围是05如果关于的方程为常数有两个相等的实数根，则06关于*的一元二次方程有实数根，则k的取值围是.07关于*的方程1假设这个方程有实数根，求k的取值围；2假设这个方程有一个根为1，求k的值；3假设以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值08关于*的一元

23、二次方程 QUOTE (1)假设方程有两个相等的实数根，求m的值；2假设方程的两个实数根之积等于 QUOTE ,求 QUOTE 的值.09关于的一元二次方程有两个实数根和1数的取值围；2当时，求的值10关于*的方程有两个不相等的实数根.(1)求k的取值围.(2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0假设存在，求出k的值；假设不存在，说明理由11：关于的一元二次方程1求证：方程有两个不相等的实数根；2设方程的两个实数根分别为，其中假设是关于的函数，且，求这个函数的解析式；3在2的条件下，结合函数的图象答复：当自变量的取值围满足什么条件时，12是方程的两个实数根，且(1)求及a的值；(2

24、)求的值培优升级奥赛检测01全国联赛设，且，则代数式的值为 A 5. B7. C 9. D.11.02延边预赛m是方程 QUOTE 的一个根，则代数式 QUOTE 的值等于 A2016 B.2017 C.2018 D.201903如果a、b都是质数，且 QUOTE ,则 QUOTE 的值为 A QUOTE B. QUOTE C. QUOTE D QUOTE 或204全国竞赛实数 QUOTE ，且满足 QUOTE 的值为 A23 B.-23 C.-2 D.-1305.(全国竞赛)设 QUOTE 是关于*的方程 QUOTE 的两个实数根，则 QUOTE 的最大值为_06 QUOTE 是方程 QUO

25、TE 的两个实数根，则 QUOTE 07全国联赛对于一切不小于2的自然数n，关于*的一元二次方程 QUOTE 的两个根记作 QUOTE ,则 QUOTE _08关于*的方程： QUOTE .(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；2假设这个方程的两个实根为 QUOTE ，满足 QUOTE ,求m的值及相应的 QUOTE .09全国竞赛设m是不小于-1的实数，使得关于*的方程 QUOTE 有两个不相等的实数根 QUOTE ,(1)假设 QUOTE ,求m的值；2求 QUOTE 的最大值.第5讲 一元二次方程的应用考点方法破译 1能灵活应用一元二次方程的四种解法解方程； 2会建立

26、一元二次方程模型解实际应用题经典考题赏析 【例l】 ()有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为( ) A8人 B9人 C10人 D11人 【解法指导】 构建一元二次方程模型求解设每轮传染中平均一个人传染的人数为*,第一轮被传染人数为*，患流感人数为*+l；第二轮被传染人数为*(*+1)，所以l+*+*(*+1)=100，解得*=9应选B 【变式题组】1()近年来，全国房价不断上涨，*县2010年4月份的房价平均每平方米为3600元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率为*，则关于*的方程为 2(襄樊)

27、为了改善居民住房条件，我市方案用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2。提高到121 m2。，假设每年的年增长率一样，则年增长率为( ) A9 B10 C1l D123()*种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元设平均每月降价的百分率为*，根据题意列出的方程是 【例2】 ()三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程*2一12*+35=0的根，则该三角形的周长为( ) A14 B12 C12或14 D。以上都不对【解法指导】 方程*2一12*+35=0可化为(*一7)(*一5)=0，解得*=7或*=5，当*=7时，三边不能构成三角形，所

28、以第三边的长只能取5，该三角形的周长为12应选B【变式题组】4()方程*2一9*+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为( ) A12 B12或15 C15 D不能确定5(襄樊)如图，在平行四边形ABCD中，AE上BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程*2+2*一3=0的根，则平行四边形ABCD的周长是( ) A、 B、C、 D、或 【例3】 ()O1和O2的半径分别是一元二次方程*1)(*一2)=0的两根，且O1O2=2，则O1和O2的位置关系是 【解法指导】 依题意，O1和O2的半径分别为1和2，lO1O23，O1和O2相交【变式题组】 6()两圆的圆心距为

29、l，两圆的半径分别是方程*2一5*+6=0的两个根，则两圆的位置关系是( ) A外离 B切 C相交 D外切7()*县2008年农民人均年收入为7800元，方案到2010年，农民人均年收入到达9100元设人均年收入的平均增长率为*，则可列方程8(庆阳)如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部 分作为耕地假设耕地面积需要55 l米。，则修建的路宽应为( ) A、1米 B、15米 C、2米 D、25米 【例4】 ()在实数围定义运算，其法则为：ab=a2 - b2，求方程(43)*=24的解 【解法指导】 解此类题要严格按照定义进展变换 解：ab=a2 - b2(43)

30、*=7*=72-*2 72-*2 =25*=5【变式题组】9(全国竞赛)对于实数u、v，定义一种运算为：u v=uv+v,假设关于*的方程* (a *)= 一有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值围是 【例5】 ()如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地怎样围才能使矩形场地的面积为750m2 ，(2)能否使所围矩形场地的面积为8l0 m2 ，为什么【解法指导】 解：(1)设所围矩形ABCD的长AB为*米，则宽AD为 (80一*)米依题意，得* (80一*)=750，即*2一80*+1500=0解此方程，得*1=30，*2=50 墙的长度不超过45m, *

31、2=50不合题意，应舍去当*=30时，(80一*)=(8030)=25所以，当所围矩形长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2 (2)不能因为由* (80一*)=810，得*2一80*+1620=0又b2-4ac=(一80)2一411620= - 800上述方程没有实数根因此，不能使所围矩形场地的面积为8l0 m2【变式题组】10()*种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有8l台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑假设病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台稳固练习 反响提高 ，1()*省为解决农村饮用水

32、问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的改水工程予以一定比例的补助2008年，A市在省财政补助的根底上再投入600万元用于改水工程，方案以后每年以一样的增长率投资，20l0年该市方案投资改水工程1176万元 (1)求A市投资改水工程的年平均增长率；(2)从2008年到2010年，A市三年共投资改水工程多少万2()当m为何值时，关于z的一元二次方程*24*+m一=0有两个相等的实数根 此时这两个实数根是多少3()汽车产业的开展，有效促进我国现代化建立*汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率一样。(1)该公司2

33、006年盈利多少万元(2)假设该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元4(庆阳)*企业2006年盈利1500万元，2008年抑制全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率一样，求： (1)该企业2007年盈利多少万元 (2)假设该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元培优升级 奥赛检测1()*1、*2是关于*的一元二次方程*26*+k=0的两个实数根，且*12*22*1*2=115(1)求k的值；(2)求*12+*22 +8的值2()为落实素质教育要求，促进学生全面开展，我市*中学2009年投资1

34、1万元新增一批电脑，方案以后每年以一样的增长率进展投资，2011年投资1859万元 (1)求该学校为新增电脑投资的每年平均增长率； (2)从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元3()如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等设甬道的宽为*米(1)用含*的式子表示横向甬道的面积为平方米；(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽4()*商店购进一种商品，单价30元试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价*(元)满足关系：P=

35、1002*假设商店每天销售这种商品要获得200元的利润，则每件商品的售价应定为多少元 每天要售出这种商品多少件5(庆阳)如图大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的局部刚好能围成一个容积为15米2的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现购置这种铁皮每平方米需20元钱，问大叔购回这矩形铁皮共花了多少元钱6()如图，ABC中，BAC=45，ADBC于D，BD=2，DC=3，求AD的长小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进展翻折变换，巧妙地解答了此题请按照小萍的思路。探究并解答以下问题： (1)分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD

36、的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；(2)设AD=*，利用勾股定理，建立关于*的方程模型，求出*的值7(全国竞赛)*校举行春季运动会时，由假设干个同学组成一个8列的长方形队列如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列问原长方形队列有同学多少人第6讲 一元二次方程的整数根考点方法破译1方程的整数根问题是各级各类竞赛的热点容，重点考察含参方程，一般要求参数的值；2根本方法有：分解求根法、消参法、判别式法、反客为主法、综合法，经典考题赏析 【例l】 全国联赛方程a2*2(3a28a)* +2

37、a213a +15 =0其中a是非负整数，至少有一个整数根，则a=_ 【解法指导】 此题需要分类讨论，分一次和二次两种情况对于二次，可用分解求根法 解：a=0时，则需2a213a +15 =0，矛盾所以此时无整数解；a0，分解得a* +3 2aa* +5 a=0a0，解得 ，则a是3或5的约数，故a可取l，3或5 【变式题组】1全国竞赛关于*的方程(al)*2 +2*a1 =0的根都是整数，则符合条件的整数a有_个2全国竞赛设关于*的二次方程k26k +8*22k26k4*k2 =4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值【例2】 全国竞赛试确定一切有理数r，使得关于石的方程r*2+(r+2

38、)*+r1 =0有且只有整数根 【解法指导】 此题需要分类讨论，分一次和二次两种情况对于二次，可用消参法， 解：(1)假设r=0，*=，原方程无整数根； (2)当r0时，消去r得：，得2*112*21=7，令*l0，它一定有两个不同的实数根而原方程的根都是整数，所以方都是整数，因此它的判别式= (a+18)2224应该是一个完全平方数，设(a+18)2224 =k2其整数，则(a +18)2 - k2= 224，即a+18 +ka+18 -k=224.显然a+18 +k与a+18 -k的奇偶性一样，且a+18 +k18而224 =1122 =564 =28 8，所以或或解得或或 而a是正整数，

39、所以只可能或 当a=39时，方程(l)即*2 +57* +56 =0，它的两根分别为1和 56.此时原方程的三个根为1，1，56 当a= 12时，方程(1)即*2 +30* +56 =0，它的两根分别为-2和- 28.此时原方程的三个根为1，2，28 【变式题组】5全国联赛设a是正整数，二次函数y=*2+(a+17)*+38 -a，反比例函数y=，如果两个函数图象的交点都是整点横坐标和纵坐标都是整数的点，求a的值， 【例5】 全国竞赛关于*，y的方程*2 +*y+2y2= 29的整数解*，y的组数为( )A2组 B3组 C4组 D无穷多组【解法指导】 此题可用判别式法解：可将原方程视为关于算的

40、二次方程，将其变形为*2+*y+(2y229)=0由于该方程有整数根，则判别式0，且是完全平方数由A =y242y229=7y2 +1160，解得y216. 57于是01491611610988534显然，只有=16时，=4是完全平方数，符合要求当y=4时，原方程为*2+4* +3 =0此时*1=l，*2=3；当y=4时，原方程为*24* +3 =0，此时*3 =1，*4=3所以，原方程的整数解为 【变式题组】6整数a使得关于*、y的方程组 对于每一个实数b总有实数解，求整数a的值演练稳固反响提高1全国竞赛关于*、y，的方程*2+y2= 208*y的所有正整数解为_2假设直角三角形的两条直角边

41、都是整数，且是方程*2(m+2)*+4m =0的根，求m及三角形三边长3方程a*2(a-3)*+a2=0中的a取整数，试求出能使此方程的解至少有一个是整数时a的值4全国联赛设a是正整数，如果二次函数y =2*2+ (2a +23)*+10 7a和反比函数 的图象有公共整点横坐标和纵坐标都是整数的点，求a的值和对应的公共点5全国竞赛p、q都是质数，且使得关于*的二次方程*2(8p l0q)* +5pq =0至少有一个正整数根，求所有的质数对(p，q) 培优升级奥赛检测1全国竞赛a、b都是正整数，试问关于*的方程*2ab*+(a +b)=0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出

42、证明2全国竞赛(1)是否存在正整数m、n，使得m(m+2)=n(n+1)(2)设kk3是给定的正整数，是否存在正整数m，n,，使得mm+k=n(n+1)3.全国竞赛如下列图，O的直径的长是关于*的二次方程*2+2k-2*十k=0k是整数的最大整数根P是O外一点，过点P作O的切线PA和割线PBC，其中A为切点，点B，C是直线PBC与O的交点假设PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA2+ PB2+ PC2的值4全国联赛设整数a、b、cabc为三角形的三边长，满足a2+b2+c2abacbc=13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数5全国联赛二次函数y=*2+b*c的图象经

43、过两点P(l，a)，Q(2，l0a) (1)如果a、b、c都是整数，且cb8a，求a、b、c的值； (2)设二次函数y=*2+b*-c的图象与*轴的交点为A、B，与y轴的交点为C如果关于石的方程*2+ b*c=0的两个根都是整数，求ABC的面积第7讲 旋转和旋转变换二考点方法破译1掌握旋转的三个性质：对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后对应边，对应角相等；每对对应点与旋转中心所连线段所成的角都等于旋转角；2会判断图形的旋转过程，会利用旋转性质解实际问题；3能利用旋转性质进展开放探究。45经典考题赏板【例】如图，在RtABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且DAE=450，将ADC绕点A

44、顺时针旋转900后，得到AFB，连接EF，以下结论：AEDAEF；ABEACD；BE+DC=DE；BE2+DC2=DE2，其中正确的选项是 ABCD. 【解法指导】此题解题可利用旋转的性质切入解：由旋转性质知，FAD=FBC=900，且AF=AD，DAE=450，FAE=450，由AF=AD，FAE=DAE，AE=AD，得AEDAEF，正确；由勾股定理得BF2+BE2=FE2，将BF=DC，FE=DE代入得，BE2+DC2=DE2，正确；且知不正确；假设AFBADC，则不正确，故此题选B【变式题组】1如图，在等腰RtABC的斜边AB上取两点M、N，使M=450，记AM=m,MN=*,BN=n,

45、则以线段*、m、n为边长的三角形的形状是 A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D随*、m、n的变化而改变【例】 如图，将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕O点顺时针旋转900，得A1OB1。AOB=900，B=900，AB=1，则B1点的坐标为 ABCD【解法指导】 根据旋转的性质得A1OB1=300，OB1=OB=，过B1作B1H垂直Y轴于H。可得B1H=，OH=，则B1点的坐标为，此题选A。【变式题组】1如图，将边长为1的正三角形OAP沿*轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P2008的位置，则点P2008的横坐标为_【例】如图将RtABC(其中B=340，C=

46、900)绕点A按顺时针方向旋转到A1B1C1的位置，使得点C、A1，B1在同一条直线上，则旋转角最小等于 【解法指导】 可以选择BAB1为旋转角，由三角形外角和定理得BAB1=340+900=1240，应选B。【变式题组】3津州如图，OAB绕点O逆时针旋转800得到OCD，假设A=1100，D=400，则的度数是 A300 B400 C500 D6004如图，AOB=900，B=300，A1OB1可以看作是由AOB绕点O顺时针旋转角度得到的，假设点A1在AB上，则旋转角的大小可以是 A300 B450 C600 D 9005株洲如图是大西洋公约组织标志的主体局部平面图，它是由四个完全一样的四边

47、形OABC拼成的，测得AB=BC，OA=OC，OAOC，ABC=360，则OAB的度数是 A1160 B1170 C1180D1190【例】在RtABC中，C=900，BC=4cm，AC=3，把ABC绕点A顺时针旋转900后，得到AB1C1，如下列图，则点B所走过的路径长为 A BCD5【解法指导】 点B所走过的路径是以AB为半径、圆心角为900的圆弧，又AB=5cm，所以路径长为，应选C【变式题组】6把一副三角板按如图1位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合，AB=AC=8cm，将MED绕点AM逆时针旋转600后如图2，两个三角形重叠阴影局部的面积约是_cm2(结果准确到0.1,).

48、【例】()ABC在平面坐标系中的位置如下列图。分别写出图中点A和点C的坐标；画出ABC绕点C按顺时针方向旋转900后的A1B1C1；求点A旋转到点A1所经过的路线长结果保存【解法指导】解：1A0，4、C3，12图略3AC=，弧【变式题组】1如图，ABC的三个顶点分别为A-2，3、B-6，0、C-1。01请直接写出点A关于Y轴对称的点的坐标；2将ABC绕坐标原点O逆时针旋转900，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；3请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标。2如图，在平面坐标系，ABC的顶点坐标为A-2，3、B-3，2、C-1，1。1假设将ABC向右平移3个单位，再向上平

49、移1个单位长度，请画出平移后的A1B1C12画出A1B1C1绕原点旋转1800后得到的A2B2C2；3A1B1C1与ABC是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：_; (4)顺次连结C、C1、C1、C2所得到的图形是轴对称图形吗？【例】全国竞赛如图在平面直角坐标系*oy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A1，1、B2，-1，C-2，-1、D-1，1，Y轴上一点P0，2绕点A旋转1800得到P1，点P1绕点B旋转1800得到P2；点P2绕点C旋转1800得点P3，点P3绕点D旋转1800得到P4，重复操作依次得到P1、P2、，则点P2010的坐标是 A、2010，2 B、2010，-2 C、20

50、12，-2 D.0，2【解法指导】由可以得到，点P1、P2的坐标分别为2，0，2，-2，记P2a2,b2，其中a2=2,b2=-2,根据对称关系，依次可以求得：P3-4-a2,-2-b2,P4(2+a2,4+b2),P5(-a2,-2-b2),P6(4+a2,b2)，令P6(a6,b2),同样可以求得，点P10的坐标4+a6,b2即P10(42+a2,b2),由于2010=4502+2，所以点P2010的坐标为2010，-2，此题应选B。【变式题组】1如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC，求A

51、EB的大小；2如图，OAB固定不动，保持OCD的形状和大小不变，将OCD绕点O旋转OAB和OCD不能重叠，求AEB的大小。2如图，圆心角都是900的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC，BD。1求证：AC=BD；2假设图中阴影局部的面积是OA=2cm，求OC的长。演练稳固反响提高01将左图所示的图案按顺时针方向旋转900后可以得到的图案是 02如图，将ABC沿DE折叠，使点A与BC边上的中点F重合，以下结论中：EFAB且EF=；BAF=CAF；S四边形ADFE=；BDF+FEC=2BAC，正确的个数是 A1B2C3D403如图，ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为ABC一点，将ABP

52、绕点A逆时针旋转后与ABP1重合，如果AP=3，则线段PP1的长等于_.04(达州)如下列图，边长为2的等边三角形木块，沿水平线l滚动，则A点从开场至完毕所走过的路线长为：_结果保存准确值05如图边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转450，则这个两个正方形重叠局部的面积是_.06()如图，在正三角形网格中，每一个小三角形都是边长为1的正三角形，解答以下问题：1网格中每个小三角形的面积为_2将顶点在格点上的四边形ABCD绕点O顺时针旋转120两次所得到的两个图形，并写出点A所经过的路线为_ (结果保存)07如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使

53、这三个点在这个四边形的边包括顶点上，且四边形的顶点在方格的顶点上。1在图甲中作出的四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形；2在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；3在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形。培优升级奥赛检测01希望杯竞赛如图，COD是AOB绕点O顺时针旋转400后得到的图形，点C恰好在AB上，AOD=900，则B的度数是_.02(黄冈竞赛)如图，在RtABC中，A=900，AB=6，AC=8，以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转900至DEF，则旋转前后两个三角形重叠局部的面积是_cm2.03(延边竞赛)如图，矩形ABCD

54、中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，点P在矩形ABCD。假设AB=4cm，BC=6cm,AE=CG=3cm,BF=DH=4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为_cm2.04()如图，在直角坐标系中，点A-3，0，B0，4，对OAB连续作旋转变换，依次得到三角形、，则三角形的直角顶点的坐标为_.05如图，：P是等边ABC的一点，APB、BPC、CPA的大小之比是5：6：7,则以PA、PB、PC的长为三角形的三个角的大小之比 A2：3：4 B3：4：5C4：5：6 D5：6：706有一个四等转盘，在它的上、右、下、左的位置分别挂着众、志、成、城四个字牌，

55、如图1，假设将位于上下位置的两个字牌对调，同时将位于左右位置的两个字牌对调，再将转盘顺时针旋转900，则完成一次变换。图2，图3分别表示第1次变换和第2次变换，按上述规则完成第9次变换后，众字位于转盘的位置是 A上 B下C左D右07，点P是正方形ABCD的一点，连PA、PB、PC。1将PAB绕点B顺时针旋转900到P1CB的位置如图1。设AB的长为a , PB的长为b(b，或0，抛物线中a0,不正确；D中直线的a0，不正确。故应选C。【变式题组】3.，在同一直角坐标系中，函数y=a*与y=a*2的图像有可能是 4.()在同一直角坐标系中，函数y=m*+m和函数y=-m*2+2*+2(m是常数，

56、且)的图像可能是 5.二次函数y=a*2+b*+c的图像如下列图，则一次函数y=-b*-4ac+b2与反比例函数在同一坐标系的图像大致为 -. z.【例3】-. z.二次函数y=a*2+b*+c的图像与*轴交于点-2,0、*1，0，且1*12,与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方。以下结论：(1)4a-2b+c=0;(2)ab0;(4)2a-b+10.其中正确的个数是个。-. z.【解法指导】答案：4 此题考察二次函数图像的画法、识别理解、方程根与系数的关系等知识和数形结合能力。根据题意画大致图像如下列图，由y=a*2+b*+c与*轴交于点-2,0得，所以1正确；由图像开口向下知a0,由y=

57、a*2+b*+c的图像与*轴的另外一个交点坐标为*1，0且1*12,则该抛物线的对称轴为，由aa,所以结论3正确。由4a-2b+c=0得2a-b=,而0c2,所以-10,所以-12a-b+10,所以结论4正确。-. z.点拨：4a-2b+c=0是否成立，也就是判断当*=-2时，y=a*2+b*+c的 函数值是否为0；判断y=a*2+b*+c中a的符号需要利用抛物线的开口来判断，开口向上a0,开口向下a0;(2)方程a*2+b*+c=0的两根之和大于0；3y随*的增大而增大；4a-b+c0,其中正确的个数 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7.二次函数y=a*2+b*+c的图像如下列图，有

58、以下四个结论：1b0;(3)b2-4ac0;(4)a-b+c0,其中正确的个数有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.二次函数y=a*2+b*+c的图像如下列图，假设点A1，y1、B(2,y2)是它图像上的两点，则y1与y2的大小关系是 A. y1y2D.不能确定【例4】如图，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直。假设小正方形的边长为*,且,阴影局部的面积为y，则能反映y与*之间函数关系的大致图像是 【解法指导】解：.此题应选D.【变式题组】9.如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立

59、即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图像大致为 10.如图，正三角形ABC的边长为1，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，设三角形EFG的面积y，AE的长为*，则y关于*的函数大致是 【例5】全国联赛设A、B是抛物线y=2*2+4*-2上的点，原点位于线段AB的中点处。试求A、B两点的坐标。【解法指导】解：原点是线段AB的中点，得到点A和点B关于原点对称。设点A的坐标为a,b,则点B的坐标为(-a,-b),又A、B是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式，得：，解之得：a=1,b=4

60、或者a=-1,b=-4.所以A1,4，B-1，-4或A-1，-4，B1,4。【变式题组】11.全国联赛设a、b、c是三角形ABC的三边长，二次函数 ，在*=1时，取最小值，则三角形ABC是 A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形12.全国竞赛二次函数y=a*2+b*+c其中a是正整数的图像经过点A-1,4与点B2,1，并且与*轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为。【演练稳固 反响提高】1.在平面直角坐标系中，将二次函数y=2*2的图像 平移2个单位，所得图像的解析式为 A. y=2*2-2 B. y=2*2+2 C. y=*-22D. y=*+222.(威海)二次函数