矩阵的等价,相似 合同的关系及应用参考

1、矩阵的等价,相似 合同的关系及应用矩阵的等价,相似 合同的关系及应用13/13矩阵的等价,相似 合同的关系及应用目 录 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc296543211 摘 要 PAGEREF _Toc296543211 h I1 HYPERLINK l _Toc296543212 引言 PAGEREF _Toc296543212 h 1 HYPERLINK l _Toc296543213 2矩阵间的三种关系 PAGEREF _Toc296543213 h 1 HYPERLINK l _Toc296543214 2.1 矩阵的等价关系 PAGEREF _Toc

2、296543214 h 1 HYPERLINK l _Toc296543215 2.2 矩阵的合同关系 PAGEREF _Toc296543215 h 2 HYPERLINK l _Toc296543216 2.3. 矩阵的相似关系 PAGEREF _Toc296543216 h 2 HYPERLINK l _Toc296543217 3 矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别 PAGEREF _Toc296543217 h 33.1矩阵的相似与等价之间的关系与区别43.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别53.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别54矩阵的等价、合同和相似的应用64.1矩阵等

3、价的应用74.2矩阵相似的应用94.3矩阵合同的应用94.4三种关系在概率统计中的应用105结论12结束语12参考文献13摘 要:本文主要了解矩阵的三种的关系的性质、联系、区别及应用，总结它们之间的结论和定理并应用到各个相应的领域。并且详细说明了三者的相同点和不同点。关键字：矩阵的等价关系及应用，矩阵的相似关系及应用，矩阵的合同关系及应用1.引言高等代数中我们讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系那么为了更好的掌握它们，我们不仅要了解它们的定义、性质还要了解它们间的异同点，总结它们的规律，并且要了解它们在各个领域的应用，我们需要更好的知道在什么条件下等价、

4、合同、相似是可以相互转化的，加什么条件才可以相互转化，如果不能相互转化，那么你能找到相应的特例吗？另外，三种矩阵的应用你知道它具体应用到什么领域吗?是如何应用的？2.矩阵的三种关系2.1矩阵的等价关系定义2.1.1 : 两个矩阵等价的充要条件为：存在可逆的阶矩阵与可逆的 阶矩阵，使得矩阵与等价必须具备的两个条件：（1）矩阵与必为同型矩阵（不要求是方阵）.（2）存在 阶可逆矩阵和阶可逆矩阵, 使.2.1.2矩阵等价的性质：（1）反身性：即.（2）对称性：若，则.（3）传递性：若，则.(4)A等价于B的充要条件是秩（A）=秩（B）(5)设A为mn矩阵，秩（A）=r，则A等价于，即存在m级可逆矩阵P

5、，n级可逆矩阵Q，使.(6)(Schur定理) 任何n级复方阵A必相似于上三角形矩阵，即A相似于其中为矩阵A的特征值.定理2.2.1： 若为矩阵，并且，则一定存在可逆矩阵（阶）和（ 阶），使，其中为阶单位矩阵.推论2.2.1：设是两矩阵，则当且仅当.2.2 矩阵的合同关系定义2.2.1 ：设均为数域上的阶方阵，若存在数域上的阶可逆矩阵，使得,则称矩阵为合同矩阵（若数域上阶可逆矩阵为正交矩阵），由矩阵的合同关系，得出矩阵与合同必须同时具备的两个条件：(1) 矩阵与不仅为同型矩阵而且是方阵.(2) 存在数域上的阶矩阵,2.2.2矩阵合同的性质：（1）反身性：任意矩阵都与自身合同.（2）对称性：如果

6、与合同，那么也与合同.（3）传递性：如果与合同，又与合同，那么与合同.(4) 合同的两矩阵有相同的二次型标准型.(5) 在数域上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵.(6) 矩阵合同与数域有关.因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.定理2.2.1 ：数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.定理2.2.1 ：复数域上秩为的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：2.3. 矩阵的相似关系定义2.3.1 设均为数域上阶方阵，若存在数域上阶可逆矩阵使,则称矩阵与为相似矩阵（若级可逆矩阵为正交阵，则称与为正交相似矩阵）.由矩阵的相似关系，不难得到矩阵与相似

7、，必须同时具备两个条件(1) 矩阵与不仅为同型矩阵，而且是方阵(2) 在数域上阶可逆矩阵，使得2.3.2相似矩阵的性质(1)反身性 : ;(2)对称性 :由即得;（3）传递性: 和即得 (4) （其中是任意常数）；(5）；(6）若与相似，则与相似（为正整数）；(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果为满秩矩阵，那么.即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.(8）相似的矩阵有相同的行列式；即：如果，则有：(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；设，若可逆，则从而可逆.且与相似.若不可逆，则不可逆，即也不可逆.下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以

8、下定理定理2.3.1 相似矩阵的特征值相同.推论2.3.1 相似矩阵有相同的迹3.矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别3.1 矩阵的相似与等价之间的关系与区别定理3.1.1相似矩阵必为等价矩阵，但等价矩阵未必为相似矩阵证明： 设阶方阵相似，由定义3知存在阶可逆矩阵，使得，此时若记, ,则有,因此由定义1得到阶方阵等价但对于矩阵,等价，与并不相似，即等价矩阵未必相似但是当等价的矩阵满足一定条件时，可以是相似的，如下面定理定理 3.1.2：对于阶方阵，若存在阶可逆矩阵 使,(与等价)，且 (为阶单位矩阵)，则与相似证明： 设对于阶方阵与,若存在阶可逆矩阵,使,即与等价又知,若记 ,那么,也即,则

9、矩阵也相似3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别定理3.2.1：合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵证明： 设阶方阵合同，由定义2得，存在阶可逆矩阵，使得， 若记,则有因此由定义1得到阶方阵等价但对于矩阵,等价，与并不合同，即等价矩阵未必合同什么时候等价矩阵是合同的？只有当等价矩阵的正惯性指数相同时等价矩阵是合同矩阵3.3 矩阵的合同与相似之间的关系与区别合同矩阵未必是相似矩阵 例 单位矩阵 E 与 2E.两个矩阵的正负惯性指数相同故合同但作为实对称矩阵的特征值不同, 故不相似相似矩阵未必合同例如A与B相似，则存在可逆矩阵P使B=PBP,如果P的逆矩阵与P的转置矩阵不相等，则相似矩阵

10、不是合同矩阵定理3.3.1： 正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵证明：若存在一个正交矩阵,即使得即，同时有，所以与合同.同理可知，若存在一个正交矩阵，使得即与合同，则有定理3.3.2：如果与都是阶实对称矩阵，且有相同的特征根则与既相似又合同证明：设与的特征根均为，由于与阶实对称矩阵，一定存在一个阶正交矩阵 Q使得同时，一定能找到一个正交矩阵使得，从而有将上式两边左乘和右乘,得由于，有，所以，是正交矩阵，由定理知与相似定理3.3.3：若阶矩阵与中只要有一个正交矩阵，则与相似且合同证明：不妨设是正交矩阵，则可逆，取U=A，有，则与相似，又知是正交阵，由合同矩阵的定义知与既相似又合同

11、定理3.3.4：若与相似且又合同，与相似也合同，则有与 既相似又合同证明: 因为与,与相似，则存在可逆矩阵,，使，令，则且，故与相似又因为与合同，与合同，故存在可逆矩阵，令而故与合同矩阵的等价、合同和相似在实际问题中的应用4.1矩阵等价的应用例4.4.1试从等价标准形的角度给出齐次线性方程组的一种解法解 设A的秩等于r，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使，于是线性方程组可化为，记，则原方程组等价于，即令，容易验证都是的解，从而它们构成的一基础解系 下面是具体的操作过程首先构造矩阵，然后对矩阵B作如下的初等变换：对A（即B的前m行）作初等的行变换，对B作初等的列变换，则经过有限次上述的初等变换后

12、，B可变为，此时Q的后个列向量构成的一基础解系试从等价标准形的角度给出非齐次线性方程组的一种解法解 下面仅给出具体的操作过程，至于其原理可按例19的方式得到首先构造矩阵，然后对矩阵B作如下形式的初等变换：对B的前m行作行的初等变换，对B的前n列作列的初等变换，则经过有限次上述变换后，B可变为，记，此时可得如下的结论：有解当且仅当；当时，是的一个特解，是所对应的齐次线性方程组的一基础解系试从等价标准形的角度给出可逆矩阵的逆矩阵的一种求法解 设A是个n阶可逆阵，A的秩等于n，存在可逆阵P和Q，使，进而这给出了求逆矩阵的一种方法首先构造矩阵，然后对B进行如下形式的初等变换：对B的前n行进行初等的行变

13、换，对B的前n列进行初等的列变换，则经过有限次上述变换后，B可变为，由此求得4.2矩阵相似的应用例4.2.1判断矩阵 ， 是否相似？解： 对，的特征矩阵，分别作初等变换可得：=所以，有相同的初等因子，所以，相似.4.3矩阵合同的应用例4.3.1设，。不难验证：即矩阵A，B合同，但A的特征值为和；B的特征值为 1和。相似矩阵与合同矩阵还有着一定的内在联系，即相似或合同的两矩阵分别有相同的秩。另外，在一定条件下，两者是等价的。若矩阵A，B正交相似时，则它们既是相似的又是合同的。本题说明矩阵相似与合同在一定条件下是相通的。例4.3.2 已知，。试判断A，B，C中哪些矩 阵相似，哪些矩阵合同？解：矩阵

14、A的秩和矩阵B,C的秩不等，故A不可能与B，C相似或合同，只有讨论B， C了；A的秩为3，而B，C的秩为2，故A和B，C既不相似又不合同，又B的迹是8，而C的迹是6，不相等，故B和C不相似，最后，C是对称矩阵，而B不是，所以，B和C也不合同。所以，矩阵A，B，C相互之间既不相似又不合同。4.4三种关系在概率统计中的应用例4.4.1 某公司对所生产的产品通过市场营销调查得到的统计资料表明，已经使用本公司的产品客户中有60%表示仍回继续购买该公司产品，在尚未使用该产品的被调查者中，25%的客户表示将购买该产品，目前该产品在市场的占有率60%，能否预测n年后该产品市场占有状况？解：设第i年购买该公司

15、产品的客户为，不购买该公司产品的客户为，则有，写成矩阵的形式：，其中，令，则有，由得P的特征值=1，=0.35，分别解0，i=1,2，得到相应的特征向量为，令，则，于是，则，当n=5时，计算。这说明该产品市场占有率将由0.6下降到0.385，因此该公司应根据这份预测报告分析原因，采取措施，才能保持并提高是市产场占有率。例4.4.2某公司对职工进行分批脱产培训，现有在岗职工8000人，脱产培训2000人，计划每年从在岗职工中抽调30%的人参加脱产培训，而在培训人员中让60%的人结业回到工作岗位上，设年后在岗职工于脱产培训人数分别为，记为向量，若职工总人数不变.求与的关系式，并写成矩阵形式=；求，

16、且当充分大时，求在岗职工人数与脱产培训人数之比.解 ： （1）得=. （:1）（2）由（1）式可得=，其中，为计算，先求.由，对于=0.1，解（0.1-）x=0，得基础解系.对于解，得基础解系，令P=，则，.则 所以当充分大时，.例4.4.3某公司对所生产的产品通过市场营销调查得到的统计资料表明，已经使用本公司的产品客户中有60%表示仍回继续购买该公司产品，在尚未使用该产品的被调查者中，25%的客户表示将购买该产品，目前该产品在市场的占有率为 60%，能否预测年后该产品市场占有状况？解： 设第年购买该公司产品的客户为，不购买该公司产品的客户为，则有，写成矩阵的形式其中，令，则有由，得的特征值分

17、别解得到相应的特征向量为，则，于是，则，当时，计算.这说明该产品市场占有率将由0.6下降到0.385，因此该公司应根据这份预测报告分析原因，采取措施，才能保持并提高是市产场占有率.结 论关于矩阵的等价、合同、相似的关系和应用，我们得知了：合同矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵不一定是合同矩阵相似矩阵一定是等价矩阵，等价矩阵不一定是相似矩阵对于阶方阵，若存在阶可逆矩阵 使,(与等价)，且 (为阶单位矩阵)，则与相似等价矩阵的正惯性指数相同时等价矩阵是合同矩阵如果与都是阶实对称矩阵，且有相同的特征根则与既相似又合同若阶矩阵与中只要有一个正交矩阵，则与相似且合同相似矩阵的特征值相同.相似矩阵有相同的迹.9

18、.若与相似且又合同，与相似也合同，则有与 既相似又合同参考文献1 智婕.矩阵的等价、相似、合同的联系J.甘肃：牡丹江师范学院学报（自然科学版），2011:2-32 王晓玲.侯建文，矩阵的三种关系J.山西：山西太谷师范学学报，2003:1-23 张禾瑞.高等代数M.北京：高等教育出版社，1983.4 HYPERLINK /KCMS/detail/search.aspx?dbcode=CJFD&sfield=au&skey=%C1%CE%D3%F1%BB%B3&code=23394168;廖玉怀.矩阵的等价关系探究J.云南，HYPERLINK /KCMS/detail/search.aspx?dbcode=CJFD&sfield=inst&skey=%D4%C6%C4%CF%CE%C4%C9%BD%D1%A7%D4%BA%CA%FD%C0%ED%CF%B5&code=1581150;云南文山学院数理系，2009，卷期页码5Zhiwen Han.Michael A. Kruge.John C. Crel