从Cantor集步入分形

1、从Cantor集步入分形前言物理学家Wheeler曾说过谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人， 将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识，由此可见分形的重要性。本文将 从Cantor集过渡到分形，主要对分形作简要介绍。Cantor集到分形我们先来看一下什么是Cantor集：取一条长度为1的直线段，将它三等分， 去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段， 剩下更短的四段，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分 割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下， 得到一个离散的点集，称为Cantor集。很容易看出来本质就是通过一个简单的

2、 递归来构造Cantor集。Cantor集和Koch雪花有着类似的性质，只是两者在不 同的维度上，那就是：虽然Cantor集的线段数目趋于无穷，但是其极限图形长 度趋于0，也即才目当于一个点集。利用Hausdorff维数方法计算Cantor集的维 度，可知操作n次后：边长r=(1/3),边数N(r)=2，根据公式D=ln N(r) / ln (1/r) , D=ln2/ln3=0.631即得康托尔点集分数维是0.631。通过对Cantor集的简单介绍，我们发现Cantor集的维度是小数维，且其任 意一部分都和整体的相似，Mandelbrot就把具有这种性质的形体叫做分形。现 在我们来具体看一下

3、分形的科学概念：分形，具有以非整数维形式充填空间的形态特征。通常被定义为一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每 一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状，即具有自相似的性质。接下来对 这个概念进行简要的解读。粗糙、零碎的几何形状对于粗糙或零碎的几何形状的理解，我们可以联想：弯弯曲曲的海岸线、起 伏不平的山脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回肠的河流，纵横交错 的血管，令人眼花缭乱的满天繁星等。而这些又是传统欧几里德几何学所不能描 述的一大类复杂无规的几何对象。也就是自然界的一些分形，可以说分形无处不 在，这或许在某种程度上也验证了 Wheeler的那句话。非整数维生活在三维世界

4、的我们接触的都是整数维的形体，对于小数维可能无法理 解，但它确实是存在的。我们利用之前提到的Koch曲线简单介绍一下分维Koch 曲线整体是一条无限长的线折叠而成，显然用小直线段量，其结果是无穷大，而 用平面量，其结果是0（此曲线中不包含平面），那么只有找一个与Koch曲线维 数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于1、小于2，那么只能 是小数（即分数）了，也就是分维。至于维度的计算方法，可以利用上面提到的Hausdorff维数法计算。Koch 曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的形状相同的小曲线组成，那么我 们可计算其维度为 d=log（4）/log（3）=1.261859

5、50714.。那么在某种意义上我们是不是就可以构造任意维数的图形，我们猜测维数是 连续的。而事实确实这样，Mandelbrot就曾提出：我们之所以无法用几何语言去 描述这些怪物，是因为我们是在维数为整数的空间中，用维数同样是整数的尺子对其丈量、描述。而维数不应该仅仅是整数，可以是任何一个正实数。只有 在几何对象对应的维数空间中，才能对该几何体进行合理的整体或局部描述。以 Koch曲线为例，其维数约为1.26，我们应用同样为1.26维的尺子对其进行描述， 比如取该曲线前1/4段作为单位为1的尺子去丈量这个几何体，此几何体长度为 4。也正是因其维数介于1维与2维之间，所以此几何体在1维下长度为无穷

6、大， 2维下面积为零。分形的类别分形主要有以下三种分类：逃逸时间系统：复迭代的收敛限界。例如:Mandelbrot集合、Julia集合、Burning Ship 分形迭代函数系统：这些形状一般可以用简单的几何替换来实现。例如：康托集 合、Koch雪花、谢尔宾斯基三角形、Peano曲线等等。吸引子：点在迭代的作用下得到的结构。一般可以用微分方程确立。例 如:Lorenz吸引子。小结Cantor集是一个一维空间认知的集合，数学家们在后续又发现了 Sierpinski 三角形及Menger海绵。在某种形式上，我们可以理解为Sierpinski三角形是 Cantor集在二维空间的推广，而Menger海绵是Cantor集在三维空间的推广。 Cantor集和它们的维数是非