阶段性测试题十一计数原理及概率理

1、阶段性测试题十一(计数原理与概率)理阶段性测试题十一(概率)文本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(文)(2012济南模拟)一副扑克牌除去大、小王两张扑克后还剩52张，从中任意摸一张，摸到红心的概率为()A.eq f(1,2)B.eq f(1,4)C.eq f(1,12) D.eq f(1,52)答案B解析所有基本事件总数为52，事件“摸到一张红心”包含的基本事件数为13，则摸到红心的概率为eq f(13,52).(理)(20

2、12平顶山一模)将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为()A6 B10C20 D30答案B解析从编号为1,2,3,4,5的五个球中选出三个与盒子编号相同的球的投放方法有Ceq oal(3,5)10种；另两个球的投放方法有1种，所以共有10种不同的投放方法选择B.2(文)(2012武汉一模)甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，甲不输的概率为80%，则甲、乙两人下盘棋，你认为最可能出现的情况是()A甲获胜B乙获胜C甲、乙下成和棋 D无法得出答案C解析两人下成和棋的概率为50%，乙胜的

3、概率为20%，故甲、乙两人下一盘棋，最有可能出现的情况是下成和棋(理)(2012福州模拟)来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判员各两名，执行世锦赛的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地有两名来自不同国家的裁判，则不同的安排方案共有()A48种 B24种C36种 D96种答案A解析一号场地的安排方案有Ceq oal(2,3)Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,2)12种，即表示从3个国家中选择2个，而后再从所选择的2个国家中各选择一名裁判，最后剩余1个国家的两名裁判，和另外2个国家各剩的一名裁判，将其分到两个场地易求得Aeq oal(2,2)Aeq oal(2,2)4种安排方案，综

4、上，共有12448种安排方案3(2012徐州调研)从1,2,3，9这9个数中任取两数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述事件中，是对立事件的是()A BC D答案C解析中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从19中任取两数共有三个事件：“两个奇数”、“一奇一偶”、“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个偶数”是对立事件4(2011新课标理)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A.eq

5、 f(1,3) B.eq f(1,2)C.eq f(2,3) D.eq f(3,4)答案A解析甲乙两位同学参加3个小组的所有可能性共339(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3种，故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为Peq f(3,9)eq f(1,3).5(文)(2012太原模拟)从1,2,3,4这四个数中，不重复地任意取两个数，两个数一奇一偶的概率是()A.eq f(1,6) B.eq f(2,5)C.eq f(1,3) D.eq f(2,3)答案D解析基本事件总数为6，两个数一奇一偶的情况有4种，故所求概率为Peq f(4,6)eq f(2,3).(理)(2012黄石一模)

6、在(1xx2)(1x)10的展开式中，含x4项的系数是()A135 B135C375 D117答案A解析(1xx2)(1x)10(1x3)(1x)9，且(1x)9的展开式的通项是Tr1Ceq oal(r,9)(x)rCeq oal(r,9)(1)rxr，因此(1xx2)(1x)10的展开式中，含x4项的系数等于1Ceq oal(4,9)(1)4Ceq oal(1,9)(1)1135.6(2012新乡一模)如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为eq f(a,2)的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板 ，且击中木板上每个点的可能性都一样，

7、则击中阴影部分的概率是()A1eq f(,4) B.eq f(,4)C1eq f(,8) D与a的取值有关答案A解析由题意，阴影部分的面积为a24eq f(1,4)(eq f(a,2)2(1eq f(,4)a2，故所求概率为1eq f(,4).7(文)取一根长度为4m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1m的概率是()A.eq f(1,4) B.eq f(1,3)C.eq f(1,2) D.eq f(2,3)答案C解析把绳子4等份，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1m，故所求概率为Peq f(2,4)eq f(1,2).(理)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局

8、2胜”，即以先赢两局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率为()A0.216 B0.36C0.432 D0.648答案D解析据题意甲取胜有两种情形(1)甲先胜两局概率为P10.620.36.(2)甲前两局中胜一局，第三局胜的概率为P220.6(10.6)0.60.288，甲获胜的概率为PP1P20.648.8(文)(2012扬州一模)连掷两次骰子得到的点数分别为m，n，记向量a(m，n)与向量b(1，1)的夹角为，则eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2)的概率是()A.eq f(5,12) B.eq f(1,2)C.eq f(7,12) D.e

9、q f(5,6)答案C解析基本事件总数为36，由coseq f(ab,|a|b|)0得ab0，即mn0，包含的基本事件有(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共21个，故所求概率为Peq f(21,36)eq f(7,12).(理)(2012浙江温州五校联考)设随机变量X的分布列为X012Peq f(p,3)eq f(p,3)1eq f(2,3)p则X的均值的最小值是()A.eq f(

10、1,2) B0C2 D随p的变化而变化答案A解析EX0eq f(p,3)1eq f(p,3)2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(2p,3)2p，又eq f(p,3)0,1eq f(2,3)p0，0peq f(3,2)，当peq f(3,2)时，EX的值最小，最小值为2eq f(3,2)eq f(1,2).9(文)(2012西安一模)已知kZ，eq o(AB,sup6()(k,1)，eq o(AC,sup6()(2,4)，若|eq o(AB,sup6()|4，则ABC是直角三角形的概率为()A.eq f(1,7) B.eq f(2,7)C.eq f(3,7) D.eq f(4,7)

11、答案C解析|eq o(AB,sup6()|4，k2116，k215，k3，2，1,0,1,2,3.又eq o(BC,sup6()(2k,3)若eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()k22k30，则k1，k3；若eq o(BC,sup6()eq o(AC,sup6()0，则k8(舍去)；若eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()0，则k2，Peq f(3,7).(理)(2012咸阳一模)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内， 曲线yx2和曲线yeq r(x)围成一个叶形图(阴影部分), 向正方形AOBC内随机投一点(设点落在正方形AOBC内任何一点是等可能

12、的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是()A.eq f(1,2) B.eq f(1,3)C.eq f(1,4) D.eq f(1,6)答案B解析S阴eq iin(0,1,)(eq r(x)x2)dxeq blc rc|(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)x eq sup10(f(3,2) f(1,3)x3)eq oal(1,0)eq f(1,3)，S正1，Peq f(S阴,S正)eq f(1,3)，故选B.10(文)在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于eq f(1,2)的概率为()A.eq f(1,4) B.eq f(1,2)C.eq f(3,4)

13、 D.eq f(7,8)答案C解析两点设为a，b，则0a1,0b1，两点之间的距离小于eq f(1,2)，则|ab|n的概率是_答案eq f(3,5)解析基本事件总数为5525个m2时，n1；m4时，n1,3；m6时，n1,3,5；m8时，n1,3,5,7；m10时，n1,3,5,7,9，共15个故Peq f(15,25)eq f(3,5).(理)(2011大纲全国卷)(1eq r(x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为_答案0解析本小题考查的内容是二项式中系数的求法Tr1Ceq oal(r,20)120r(eq r(x)rCeq oal(r,20)(1)rx eq sup10(f

14、(r,2) 令r2，x的系数为Ceq oal(2,20)，令r18，x9的系数为Ceq oal(18,20)，Ceq oal(2,20)Ceq oal(18,20)0.14(文)(2012徐州一模)将一个各面上均涂有颜色的正方体锯成64个同样大小的正方体，从这些小正方体中任取一个，恰有2面涂有颜色的概率是_答案eq f(3,8)解析先将正方体均匀切割成8个小正方体，再将每个小正方体同样切割成8个更小的正方体，这样共有24个2面涂有颜色的小正方体概率为eq f(24,64)eq f(3,8).(理)(2012长沙调研)两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、

15、0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士获胜希望大的是_答案乙解析战士甲得分的随机变量的分布列为：X123P甲0.40.10.5EX10.420.130.52.1.战士乙得分的随机变量分布列为：Y123P乙0.10.60.3EY10.120.630.32.2.EXEY，则战士乙获胜的希望大15(文)(2012晋中模拟)把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程组eq blcrc (avs4alco1(mxny3,2x3y2)只有一组解的概率是_答案eq f(17,18)解析由题意，当eq f(m,2)eq f(n,3)，即3

16、m2n时方程组只有一解基本事件总数为36，满足3m2n的基本事件有(2,3)，(4,6)共两个故满足3m2n的基本事件数为34个故所求概率为Peq f(34,36)eq f(17,18).(理)(2012西宁一模)为振兴旅游业，某省2012年面向国内发行总量为2000万张的优惠卡，向省外人士发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省旅游，其中eq f(3,4)是省外游客，其余是省内游客在省外游客中有eq f(1,3)持金卡，在省内游客中有eq f(2,3)持银卡在该团中随机采访2名游客，则恰有1人持银卡的概率为_答案eq f(2,7)解析由题意得，省外游

17、客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡设事件A为“随机采访该团2名游客，恰有1名游客持银卡”，则P(A)eq f(Coal(1,6)Coal(1,30),Coal(2,36)eq f(2,7).三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16(本小题满分12分)(2012成都一模)先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数(1)求点P(x，y)在直线yx1上的概率；(2)求点P(x，y)满足y24x的概率解析(1)每枚骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6636个记“点P(x，y)在直

18、线yx1上”为事件A，A有5个基本事件：A(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，P(A)eq f(5,36).(2)记“点P(x，y)满足y24x”为事件B，则事件B有17个基本事件：当x1时，y1；当x2，y1,2；当x3时，y1,2,3；当x4时，y1,2,3；当x5时，y1,2,3,4；当x6时，y1,2,3,4.P(B)eq f(17,36).17(本小题满分12分)(文)一盒中装有各色球12个，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率解析可按互斥事件和对立事件求概率

19、的方法，利用公式进行求解(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有549种不同取法，任取1球有12种取法任取1球是红球或黑球的概率为eq f(9,12)eq f(3,4).(2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法从而得红球或黑球或白球的概率为eq f(542,12)eq f(11,12).(理)课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选解析(1)一名女

20、生，四名男生故共有Ceq oal(1,5)Ceq oal(4,8)350(种)(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有Ceq oal(2,2)Ceq oal(3,11)165(种)(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长故共有Ceq oal(1,2)Ceq oal(4,11)Ceq oal(2,2)Ceq oal(3,11)825(种)或采用间接法：Ceq oal(5,13)Ceq oal(5,11)825(种)(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生故选法为Ceq oal(2,5)Ceq oal(3,8)Ceq oal(1,5)Ceq oal(4

21、,8)Ceq oal(5,8)966(种)18(本小题满分12分)(文)设不等式组eq blcrc (avs4alco1(0 x6,0y6)表示的区域为A，不等式组eq blcrc (avs4alco1(0 x6,xy0)表示的区域为B.(1)在区域A中任取一点(x，y)，求点(x，y)B的概率；(2)若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x，y)在区域B中的概率解析(1)设集合A中的点(x，y)B为事件M，区域A的面积为S136，区域B的面积为S218，P(M)eq f(S2,S1)eq f(18,36)eq f(1,2).(2)设点(x，y)在集合B中为事件N，甲、乙两人

22、各掷一次骰子所得的点数(x，y)为36，其中在集合B中的点有21个，故P(N)eq f(21,36)eq f(7,12).(理)一个口袋里有2个红球和4个黄球，从中随机地连取3个球，每次取一个，记事件A为“恰有一个红球”，事件B为“第3个是红球”求：(1)不放回时，事件A、B的概率；(2)每次抽后放回时，A、B的概率解析(1)由不放回抽样可知，第一次从6个球中抽一个，第二次只能从5个球中取一个，第三次从4个球中取一个，基本事件共654120个，又事件A中含有基本事件324372个，(第一个是红球，则第2,3个是黄球，取法有243种，第2个是红球和第3个是红球取法一样多)，P(A)eq f(72

23、,120)eq f(3,5).因为红球数占总球数的eq f(1,3)，在每一次抽到都是随机地等可能事件，P(B)eq f(1,3).(2)由放回抽样知，每次都是从6个球中取一个，有取法63216种，事件A含基本事件324496种P(A)eq f(96,216)eq f(4,9).第三次抽到红球包括B1红，黄，红，B2黄，黄，红，B3黄，红，红，B4红，红，红四种两两互斥的情形，P(B1)eq f(242,216)eq f(2,27)；P(B2)eq f(442,216)eq f(4,27)；P(B3)eq f(422,216)eq f(2,27)；P(B4)eq f(222,216)eq f(

24、1,27)，P(B)P(B1)P(B2)P(B3)P(B4)eq f(2,27)eq f(4,27)eq f(2,27)eq f(1,27)eq f(1,3).19(本小题满分12分)(文)(2011北京文)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示(1)如果X8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率(注：方差s2eq f(1,n)(x1eq o(x,sup6()2(x2eq o(x,sup6()2(xneq o(x,sup6()2，其中eq o(x,s

25、up6()为x1，x2，xn的平均数)解析(1)当X8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10.所以平均数为eq xto(x)eq f(88910,4)eq f(35,4)；方差为s2eq f(1,4)(8eq f(35,4)2(8eq f(35,4)2(9eq f(35,4)2(10eq f(35,4)2eq f(11,16).(2)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(A1，B1)，(A1

26、，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)，故所求概率为P(C)eq f(4,16)eq f(1,4).(理)(2011北京理)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示(1)如果X8，求乙组同学植树棵数的平均数和

27、方差；(2)如果X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望(注：方差s2eq f(1,n)(x1eq o(x,sup6()2(x2eq o(x,sup6()2(xneq o(x,sup6()2，其中eq o(x,sup6()为x1，x2，xn的平均数)解析(1)当X8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，所以平均数为eq o(x,sup6()eq f(88910,4)eq f(35,4)；方差为s2eq f(1,4)(8eq f(35,4)2(8eq f(35,4)2(9eq f(35,4)2(10eq f(35,4)2eq f(

28、11,16).(2)当X9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是：9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4416种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y17)eq f(2,16)eq f(1,8).同理可得P(Y18)eq f(1,4)；P(Y19)eq f(1,4)；P(Y20)eq f(1,4)；P(Y21)eq f(1,8).所以随机变量Y的分布列为：Y1718192021Peq

29、f(1,8)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,8)EY17P(Y17)18P(Y18)19P(Y19)20P(Y20)21P(Y21)17eq f(1,8)18eq f(1,4)19eq f(1,4)20eq f(1,4)21eq f(1,8)19.20(本小题满分13分)(文)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球是概率是eq f(1,2).(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.

30、记事件A表示“ab2”，求事件A的概率解析(1)由题意可知：eq f(n,11n)eq f(1,2)，解得n2.(2)不放回地随机抽取2个小球的所有基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A包含的基本事件为(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个P(A)eq f(4,12)eq f(1,3).(理)(2012合肥一模)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后的利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别

31、为eq f(1,6)、eq f(1,2)、eq f(1,3)；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是p(0p1)，设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记乙项目产品价格在一年内的下降次数为，对乙项目每投资十万元，取0,1,2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元随机变量1、2分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润(1)求1，2的概率分布和数学期望E1、E2；(2)当E1E2时，求p的取值范围解析(1)由题意得1的概率分布列为11.21.181.17Peq f(1,6)eq f(1,2)eq f(1,3)E11.2eq f(1,6)1

32、.18eq f(1,2)1.17eq f(1,3)1.18.由题设得B(2，p)，则的概率分布列为012P(1p)22p(1p)p2故2的概率分布列为21.31.250.2P(1p)22p(1p)p2所以E21.3(1p)21.252p(1p)0.2p2p20.1p1.3.(2)由E1E2得， p20.1p1.31.18(p0.4)(p0.3)00.4p0.3，因为0p1，所以E1E2时，p的取值范围是0p0.3.21(本小题满分14分)(文)(2012宜川质检)已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x1,0,1,2，y1,0,1，求向量ab的概率；(2)若x1,2，y1,1，求向量a，b的夹角是钝角的概率解析(1)设“ab”为事件A，由ab，得x2y.基本事件空间为(1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)，(2,1)，共包含12个基本事件；其中A(0,0)，(2,1)，包含2个基本事件则P(A)eq f(2,12)eq f(1,6)，即向量ab的概率为eq f(1,6).(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得ab0，即2xy0，且x