等差数列、等比数列二轮复习

1、第1讲等差数列、等比数列1 an与Sn的关系Sna1a2an，aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1， n2.)2 等差数列和等比数列等差数列等比数列定义anan1常数(n2)eq f(an,an1)常数(n2)通项公式ana1(n1)dana1qn1(q0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2an1anan2(n1)an为等差数列(3)通项公式法：anpnq(p、q为常数)an为等差数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A、B为常数)an为等差数列(5)an为等比数列，an0logaan为等差数列(1)定义法(2)中项公式法：aeq oal(2,n1)a

2、nan2(n1)(an0)an为等比数列(3)通项公式法：ancqn(c、q均是不为0的常数，nN*)an为等比数列(4)an为等差数列aan为等比数列(a0且a1)性质(1)若m、n、p、qN*，且mnpq，则amanapaq(2)anam(nm)d(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列(1)若m、n、p、qN*，且mnpq，则amanapaq(2)anamqnm(3)等比数列依次每n项和(Sn0)仍成等比数列前n项和Sneq f(na1an,2)na1eq f(nn1,2)d(1)q1，Sneq f(a11qn,1q)eq f(a1anq,1q)(2)q1，Snna1考点一与等

3、差数列有关的问题例1在等差数列an中，满足3a55a8，Sn是数列an的前n项和(1)若a10，当Sn取得最大值时，求n的值；(2)若a146，记bneq f(Snan,n)，求bn的最小值解(1)设an的公差为d，则由3a55a8，得3(a14d)5(a17d)，deq f(2,23)a1.Snna1eq f(nn1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,23)a1)eq f(1,23)a1n2eq f(24,23)a1neq f(1,23)a1(n12)2eq f(144,23)a1.a10，当n12时，Sn取得最大值(2)由(1)及a146，得deq f(2,23)(46

4、)4，an46(n1)44n50，Sn46neq f(nn1,2)42n248n.bneq f(Snan,n)eq f(2n252n50,n)2neq f(50,n)522eq r(2nf(50,n)5232，当且仅当2neq f(50,n)，即n5时，等号成立故bn的最小值为32. (1)在等差数列问题中其最基本的量是首项和公差，只要根据已知条件求出这两个量，其他问题就可随之而解，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用(2)等差数列的性质若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq；Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列；aman(mn)ddeq f(ama

5、n,mn)(m，nN*)；eq f(an,bn)eq f(A2n1,B2n1)(A2n1，B2n1分别为an，bn的前2n1项的和)(3)数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Snf(n)是n的二次函数或一次函数且不含常数项，即SnAn2Bn(A2B20) (1)(2012浙江)设Sn是公差为d(d0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是()A若d0，则数列Sn有最大项B若数列Sn有最大项，则d0D若对任意nN*，均有Sn0，则数列Sn是递增数列(2)(2013课标全国)设等差数列an的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m等于()A3 B4 C5 D6答案(1)C

6、(2)C解析(1)利用函数思想，通过讨论Sneq f(d,2)n2eq blc(rc)(avs4alco1(a1f(d,2)n的单调性判断设an的首项为a1，则Snna1eq f(1,2)n(n1)deq f(d,2)n2eq blc(rc)(avs4alco1(a1f(d,2)n.由二次函数性质知Sn有最大值时，则d0，不妨设a11，d2，显然Sn是递增数列，但S110，d0，Sn必是递增数列，D正确(2)am2，am13，故d1，因为Sm0，故ma1eq f(mm1,2)d0，故a1eq f(m1,2)，因为amam15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.考点二与等比

7、数列有关的问题例2(1)(2012课标全国)已知an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10等于()A7 B5 C5 D7(2)(2012浙江)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则q_.答案(1)D(2)eq f(3,2)解析(1)利用等比数列的性质求解由eq blcrc (avs4alco1(a4a72，,a5a6a4a78)解得eq blcrc (avs4alco1(a42，,a74)或eq blcrc (avs4alco1(a44，,a72.)eq blcrc (avs4alco1(q32，,a11)或eq blcrc (avs4al

8、co1(q3f(1,2)，,a18，)a1a10a1(1q9)7.(2)利用等比数列的通项公式及前n项和公式求解S4S2a3a43a22a3a43a42，将a3a2q，a4a2q2代入得，3a22a2qa2q23a2q22，化简得2q2q30，解得qeq f(3,2)(q1不合题意，舍去) (1)证明数列是等比数列的两个方法：利用定义：eq f(an1,an)(nN*)是常数，利用等比中项aeq oal(2,n)an1an1(n2，nN*)(2)等比数列中的五个量：a1，an，q，n，Sn可以“知三求二”(3)an为等比数列，其性质如下：若m、n、r、sN*，且mnrs，则amanaras；a

9、namqnm；Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列(q1)(4)等比数列前n项和公式Sneq blcrc (avs4alco1(na1q1，,f(a11qn,1q)f(a1anq,1q)q1.)能“知三求二”；注意讨论公比q是否为1；a10. (1)(2013课标全国)若数列an的前n项和Sneq f(2,3)aneq f(1,3)，则an的通项公式是an_.答案(2)n1解析当n1时，a11；当n2时，anSnSn1eq f(2,3)aneq f(2,3)an1，故eq f(an,an1)2，故an(2)n1.(2)(2013湖北)已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，S3成等差

10、数列，且a2a3a418.求数列an的通项公式；是否存在正整数n，使得Sn2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由解设等比数列an的公比为q，则a10，q0.由题意得eq blcrc (avs4alco1(S2S4S3S2，,a2a3a418.)即eq blcrc (avs4alco1(a1q2a1q3a1q2，,a1q1qq218，)解得eq blcrc (avs4alco1(a13，,q2.)故数列an的通项公式为an3(2)n1.由有Sneq f(312n,12)1(2)n.假设存在n，使得Sn2 013，则1(2)n2 013，即(2)n2 012.当n为偶数

11、时，(2)n0.上式不成立；当n为奇数时，(2)n2n2 012，即2n2 012，则n11.综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n|n2k1，kN，k5考点三等差数列、等比数列的综合应用例3已知等差数列an的公差为1，且a2a7a126.(1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn；(2)将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，记bn的前n项和为Tn，若存在mN*，使对任意nN*，总有SnTm恒成立，求实数的取值范围解(1)由a2a7a126得a72，a14，an5n，从而Sneq f(n9n,2).(2)由题意知b14，b22，b31，

12、设等比数列bn的公比为q，则qeq f(b2,b1)eq f(1,2)，Tmeq f(41f(1,2)m,1f(1,2)81(eq f(1,2)m，(eq f(1,2)m随m增加而递减，Tm为递增数列，得4Tm8.又Sneq f(n9n,2)eq f(1,2)(n29n)eq f(1,2)(neq f(9,2)2eq f(81,4)，故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使对任意nN*总有SnTm，则106. 等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便(2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的

13、交汇问题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可 已知数列an满足a13，an13an3n(nN*)，数列bn满足bn3nan.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)设Sneq f(a1,3)eq f(a2,4)eq f(a3,5)eq f(an,n2)，求满足不等式eq f(1,128)eq f(Sn,S2n)eq f(1,4)的所有正整数n的值(1)证明由bn3nan得an3nbn，则an13n1bn1.代入an13an3n中，得3n1bn13n1bn3n，即得bn1bneq f(1,3).所以数列bn是等差数列(2)解因为数列bn是首项为b1

14、31a11，公差为eq f(1,3)的等差数列，则bn1eq f(1,3)(n1)eq f(n2,3)，则an3nbn(n2)3n1，从而有eq f(an,n2)3n1，故Sneq f(a1,3)eq f(a2,4)eq f(a3,5)eq f(an,n2)13323n1eq f(13n,13)eq f(3n1,2)，则eq f(Sn,S2n)eq f(3n1,32n1)eq f(1,3n1)，由eq f(1,128)eq f(Sn,S2n)eq f(1,4)，得eq f(1,128)eq f(1,3n1)eq f(1,4)，即33n127，得1n4.故满足不等式eq f(1,128)eq f

15、(Sn,S2n)0an为递增数列，Sn有最小值d0，,q1)或eq blcrc (avs4alco1(a10，,0q0，,0q1)或eq blcrc (avs4alco1(a11)时，an为递减数列4 常用结论(1)若an，bn均是等差数列，Sn是an的前n项和，则mankbn，eq f(Sn,n)仍为等差数列，其中m，k为常数(2)若an，bn均是等比数列，则can(c0)，|an|，anbn，manbn(m为常数)，aeq oal(2,n)，eq f(1,an)等也是等比数列(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2a1，a3a2，a4a3，成等比数列，

16、且公比为eq f(a3a2,a2a1)eq f(a2a1q,a2a1)q.(4)等比数列(q1)中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，其公差为qk.等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2kSk，S3kS2k，成等差数列，公差为k2d.5 易错提醒(1)应用关系式aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2)时，一定要注意分n1，n2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起(2)三个数a，b，c成等差数列的充要条件是beq f(ac,2)，但三个数a，b，c成等比数列的必要条件是b2ac.1 已知等比数列an中，

17、各项都是正数，且a1，eq f(1,2)a3，2a2成等差数列，则eq f(a8a9,a6a7)等于()A1eq r(2) B1eq r(2)C32eq r(2) D32eq r(2)答案C解析记等比数列an的公比为q，其中q0，由题意知a3a12a2，即a1q2a12a1q.因为a10，所以有q22q10，由此解得q1eq r(2)，又q0，所以q1eq r(2).所以eq f(a8a9,a6a7)eq f(q2a6a7,a6a7)q2(1eq r(2)232eq r(2).2 已知正项等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an使得eq r(aman)4a1，则eq f(1,m)e

18、q f(4,n)的最小值为()A.eq f(3,2) B.eq f(5,3) C.eq f(9,4) D不存在答案A解析因为a7a62a5，所以q2q20，解得q2或q1(舍去)又eq r(aman)eq r(aoal(2,1)qmn2)4a1，所以mn6.则eq f(1,m)eq f(4,n)eq f(1,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(4,n)(mn)eq f(1,6)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(n,m)f(4m,n)4)eq f(3,2).当且仅当eq f(n,m)eq f(4m,n)，即n2m时，等号成立此时m2，n4.3 已知等差数列

19、an的前n项的和为Sn，等比数列bn的各项均为正数，公比是q，且满足：a13，b11，b2S212，S2b2q.(1)求an与bn；(2)设cn3bn2eq f(an,3)，若数列cn是递增数列，求的取值范围解(1)由已知可得eq blcrc (avs4alco1(q3a212，,3a2q2，)所以q2q120，解得q3或q4(舍)，从而a26，所以an3n，bn3n1.(2)由(1)知，cn3bn2eq f(an,3)3n2n.由题意，得cn1cn对任意的nN*恒成立，即3n12n13n2n恒成立，亦即2n23n恒成立，即2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n恒成立由于函

20、数yeq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n是增函数，所以eq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n)min2eq f(3,2)3，故3，即的取值范围为(，3)(推荐时间：60分钟)一、选择题1 (2013江西)等比数列x,3x3,6x6，的第四项等于()A24 B0 C12 D24答案A解析由x,3x3,6x6成等比数列得，(3x3)2x(6x6)解得x3或x1(不合题意，舍去)故数列的第四项为24.2 (2013课标全国)等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1等于()A.eq f(1,3) Beq

21、f(1,3) C.eq f(1,9) Deq f(1,9)答案C解析设等比数列an的公比为q，由S3a210a1得a1a2a3a210a1，即a39a1，q29，又a5a1q49，所以a1eq f(1,9).3 (2013课标全国)设首项为1，公比为eq f(2,3)的等比数列an的前n项和为Sn，则()ASn2an1 BSn3an2CSn43an DSn32an答案D解析Sneq f(a11qn,1q)eq f(a1qan,1q)eq f(1f(2,3)an,f(1,3)32an.故选D.4 在等差数列an中，a50且a6|a5|，Sn是数列的前n项的和，则下列说法正确的是()AS1，S2，

22、S3均小于0，S4，S5，S6均大于0BS1，S2，S5均小于0，S6，S7，均大于0CS1，S2，S9均小于0，S10，S11均大于0DS1，S2，S11均小于0，S12，S13均大于0答案C解析由题意可知a6a50，故S10eq f(a1a1010,2)eq f(a5a610,2)0，而S9eq f(a1a99,2)eq f(2a59,2)9a50，且a1a2a1030，则a5a6的最大值等于_答案9解析由a1a2a1030得a5a6eq f(30,5)6，又an0，a5a6eq blc(rc)(avs4alco1(f(a5a6,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(6,2)

23、29.10已知数列an的首项为a12，且an1eq f(1,2)(a1a2an) (nN*)，记Sn为数列an的前n项和，则Sn_，an_.答案2eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n1eq blcrc (avs4alco1(2n1，,blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n2 n2.)解析由an1eq f(1,2)(a1a2an) (nN*)，可得an1eq f(1,2)Sn，所以Sn1Sneq f(1,2)Sn，即Sn1eq f(3,2)Sn，由此可知数列Sn是一个等比数列，其中首项S1a12，公比为eq f(3,2)，所以Sn2eq blc(rc)(avs4a

24、lco1(f(3,2)n1，由此得aneq blcrc (avs4alco1(2n1，,blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n2 n2.)三、解答题11已知an是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，amk，ank，alk也成等差数列(1)解由已知，得anaqn1，因此S1a，S3a(1qq2)，S4a(1qq2q3)当S1，S3，S4成等差数列时，S4S3S3S1，可得aq3aqaq2，化简得q2q10.解得qeq f(1r(5),2).(2)证明若q1，则an

25、的各项均为a，此时amk，ank，alk显然成等差数列若q1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得SmSl2Sn，即eq f(aqm1,q1)eq f(aql1,q1)eq f(2aqn1,q1)，整理得qmql2qn.因此，amkalkaqk1(qmql)2aqnk12ank.所以amk，ank，alk成等差数列12已知数列an满足a1eq f(1,4)，a2eq f(3,4)，an12anan1(n2，nN*)，数列bn满足b1eq f(1,2)，3bnbn1n(n2，nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：数列bnan为等比数列，并求出数列bn的通项公式(1)解由an12anan1(

26、n2，nN*)，可得an1ananan1(n2，nN*)所以数列an是首项为a1eq f(1,4)，公差为da2a1eq f(1,2)的等差数列所以ana1(n1)deq f(1,2)neq f(1,4)(nN*)，即aneq f(1,2)neq f(1,4)(nN*)(2)证明由3bnbn1n，得bneq f(1,3)bn1eq f(1,3)n(n2，nN*)所以bnaneq f(1,3)bn1eq f(1,3)neq f(1,2)neq f(1,4)eq f(1,3)bn1eq f(1,6)neq f(1,4)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(bn1f(1,2)nf(3,4)eq f(1,3)eq blcrc(avs4alco1(bn1f(1,2)n1f(1,4)eq f(1,3)(bn1an1)，又b1a1eq f(1,4)0，所以bnan0(nN*)，得eq f(bnan,bn1an1)eq f(1,3)(n2，nN*)，即数列bnan是首项为b1a1eq f(1,4)，公比为eq f(1,3)的等比数列于是，bnaneq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)n1，即bneq f(2n1,4)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)n1eq f