精章精练第10章联想“模型函数”破解抽象函数题

1、第10讲 联想“模型函数”破解抽象函数题抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数.由于此类试题既能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐.因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开.然而抽象来源于具体，抽象函数一般是由具体的函数抽象而得到的.如抽象函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，可联想到f(x)=kx(k0)，有f(x1)=kx1 ，f(x2)=kx2，f(x1+x2)=k(x1+x2)=kx1+kx2=f(x1)+f(x2)，则y=kx就可以作为抽象函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)的一个“模

2、型函数”.分析抽象函数问题的解题过程及心理变化规律可知，由抽象函数的结构，联想到已学过的具有相同或相似结构的某个“模型函数”，并由“模型函数”的相关结论，预测、猜想抽象函数可能具有的某种性质而使问题获解，是我们解决抽象函数问题的一般方法.有鉴于此，本文试图归纳一些中学阶段学过的常见“模型函数”，通过联想“模型函数”来破解抽象函数题.一、中学阶段学过的常见“模型函数”抽象函数模型函数f(x+y)=f(x)+f(y)y=kx（k为常数）f(x+y)=f(x)+f(y)-ay=kx+a（k,a为常数）f(x+y)=f(x)f(y)y=ax（a0且a1）f(xy)=f(x)+f(y)y= (a0且a1

3、)f(xy)=f(x) f(y)y=xn（n为常数）注：记忆方法：如和的函数等于函数的积对应的模型函数为指数函数，而积的函数等于函数的和对应的模型函数为对数函数等.二、联想“模型函数”破解抽象函数题例析【例1】已知函数f(x)对于任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x0时，f(x) 0，f(-1)=-2，求函数f(x)在区间-2，1上的值域.联想：由f(x+y)=f(x)+f(y)联想“模型函数”y=kx（k为常数）为奇函数，k0时为减函数，k0时为增函数，从而猜测：f(x)为奇函数且f(x)为R上的单调增函数，且f(x)在2,1上有f(x)4,2.解析：设x1x2且x1，

4、x2R， 则x2-x10， f(x2x1)0，f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)0，f(x2)f(x1),f(x)为R上的单调增函数.令x=y=0,则f(0)=0,令y=-x，则f(-x)=-f(x)，f(x)为R上的奇函数.f(-1)=-f(1)=-2 ， f(1)=2，f(-2)=2f(-1)=-4，-4f(x)2(x-2,1)，故f(x)在-2,1上的值域为-4，2注意：由f(x+y)=f(x)+f(y)断定f(x)=kx（k为常数）是错误的，犯了用特殊代替一般的错误（解客观题还是可以）.我们只能借助f(

5、x)=kx（k为常数）来猜测f(x)的性质，为解题指明方向，至于f(x)的性质的得出，我们还是要由相关定义来严格证明，决不能含含糊糊.【例2】函数对任意、R，都有，并且当时，.（1）求证：是R上的增函数；（2）若，解不等式.联想：由联想“模型函数”y=kx+1（k为常数），由条件易知k0，从而猜测：f(x)为R上的单调增函数，解析：（1）证明：设、R，且，则，.即，是R上的增函数.（2），.不等式即为，是R上的增函数，于是，解之得.【例3】已知函数f(x)对于一切实数x、y满足f(0)0，f(x+y)=f(x)f(y)，且当x0时，f(x)1，（1）当x0时，求f(x)的取值范围；（2）判断f

6、(x)在R上的单调性联想：由f(x+y)=f(x)f(y)联想“模型函数”y=ax（a0,a1），当a1时为单调增函数，且x0时，y1，x0时，0y1；0a1时为单调减函数，且x0时，y1，x0时，0y1，从而猜测： f(x)为减函数，且当x0时，0f(x)1.解析：（1）因为对于一切x、yR，f(x+y)=f(x)f(y)且f(0)0，令x=y=0，则f(0)=1，现设x0，则-x0，f(-x) 1，又f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1， f(-x)= 1，0f(x)1（2）设x1、x2R ，且x1x2，则x1-x20，f(x1-x2) 1，则1f(x1)f(x2)， f(x)在

7、R上为单调减函数【例4】设函数定义在R上，对任意实数，恒有，且当时，.（1）求证：，且当时，；（2）求证：在R上递减；（3）设集合，若，求的取值范围.（1）证明：在中，令，得，.设，则，令，代入条件式有，而，.（2）证明：设，则，.令，则代入条件式，得，即，在R上单调递减.（3）解：由，又由（2）知为R上的递减，点集表示圆的内部.由得点集表示直线.，直线与圆相离或相切.于是.【例5】已知函数f(x)定义域为(0,+)且单调递增，满足f(4)=1，f(xy)=f(x)+f(y),（1）证明f(1)=0；（2）求f(16)；（3）若f(x)+f(x-3)1，求x的范围；（4）试证f(xn)=nf(

8、x)（nN）.联想：由f(xy)=f(x)+f(y)联想“模型函数”y=（a0，a0）, 从而猜测：f(x)有f(1)=0，f(16)=2，解析：（1）令x=1，y=4，则f(4)=f(14)=f(1)+f(4)，f(1)=0；（2）f(16)=f(44)=f(4)+f(4)=2，（3）f(x)+f(x-3)=fx(x-3)1=f(4)，f(x)在（0，+）上单调递增 x(x-3)4 -1x4 x-30 x3 ，即3x4， x（3，4 x0（4）f(xy)=f(x)+f(y)，f(xn)=f(xxx)=nf(x)（nN） n个x【例6】已知函数f(x)对于一切正实数x、y都有f(xy)=f(x

9、)f(y)且x1时，f(x)1，f(2)=.（1）求证：f(x)0；（2）求证：f(x-1)=f(x)-1；（3）求证：f(x)在（0，+）上为单调减函数；（4）若f(m)=9，试求m的值.联想：由f(xy)=f(x)f(y)联想“模型函数”y=xa，从而猜测：f(x)0，在（0，+）上为单调减函数，解析：（1）对任意x0，f(x)=f()=f()20，假设存在y0，使f(y)=0，则对任意x0，有f(x)=f(y)=f()f(y)=0，这与已知矛盾，故对任意x0，均有f(x)0；（2）f(x)=f(x1)=f(x)f(1)，f(x)0, f(1)=1，f(x)f()=f(x)=f(1)=1，

10、 f(x-1)=f(x)-1；（3）设x1、x2(0,+)，且x1x2，则1，f()1，f(x2)=f(x1)=f()f(x1)f(x1)， 即f(x2)f(x1)，f(x)在（0，+）上为单调减函数.（4）f(2)=，f(m)=9 f(2)f(m)=1，f(2m)=1=f(1)，而f(x)在(0，+)是单调减函数，2m=1，即m=.【练习】1函数的定义域为，则函数的定义域是_.分析：因为相当于中的x，所以，解得或.2已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数. 分析：在中，令，得 令，得 于是,故是偶函数.3 如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是( ) A.

11、 增函数且最小值为B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为D. 减函数且最大值为4已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则_.分析：在条件中，令，得 ， 又令，得，5已知是定义在R上的函数，且满足：，求的值.分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现是周期函数，显然，于是， 所以,故是以8为周期的周期函数，从而 6已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，且，则的大小关系是_.分析：且， 又时，是增函数，是偶函数，,故7已知函数对一切实数x都满足，并且有三个实根，则这三个实根之和是_.分析：由知直线是函数图象的对称轴. 又有三个实根，由对称性知必是方程的一个根，其余两根关于直线

12、对称，所以，故.8已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意xR都有f(x+5)f(x)+5,f(x+1)f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2008)=_.解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1.所以g(x+5)+(x+5)-1g(x)+(x-1)+5,g(x+1)+(x+1)-1g(x)+(x-1)+1即 g(x+5)g(x), g(x+1)g(x).所以g(x)g(x+5)g(x+4)g(x+3)g(x+2)g(x+1),故g(x)=g(x+1)又g(1)=1,故g(2008)=1.9.若函数是偶函数，则的图象关于直线_对称.分析：的图象

13、的图象，而是偶函数，对称轴是，故的对称轴是.10已知函数定义在实数集上，且对任意均有，又对任意的x0,都有f(x)0,f(3)=-3.（1）判断函数的奇偶性。（2）证明函数在R上为单调减函数。（3）试求函数在m,n(m,nZ，且mn0,都有f(x)0,都有f(x)0时，f(x)0，且f(2)=-1. (1)求证：f(x)为奇函数； (2)试问函数f(x)在区间-2008,2008上是否存在最大值和最小值？若存在，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由. 解：(1)令x=y=0，则f(0+0)=f(0)+f(0)f(0)=0，再令y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数(2)f(x+y)=f(x)+f(y) ，f(x)为奇函数，