复变函数与积分变换第8章Laplace变换课件

1、第8章 Laplace变换Laplace变换是另一种积分变换，它在理论上及各种数学物理问题中都有重要应用. 8.1Laplace变换的概念我们对某些函数(t)进行适当的改造使其进行Fourier变换时克服上述两个缺点.首先，根据Heaviside函数H(t)的特点，乘积(t)H(t)可使积分区间由(,+)换成(0,+)；其次是指数衰减函数 所具有的特点，一般地，乘积 可使其变得绝对可积. 从而，对于乘积 ，只要选得适当，一般说来，这个函数的Fourier变换存在，得其中，f(t)=(t)H(t),s=+i，这就导出了一种新的积分变换Laplace变换. 定义8.1如果在实变数t0上有定义的函数

2、f(t)使积分在s的某一区域内收敛，则此积分所确定的函数为函数f(t)的Laplace变换（或称为像函数），记为F(s)=Lf(t)=f(s).若F(s)是f(t)的Laplace变换，则称f(t)为F(s)的Laplace逆变换（或称为像原函数），记为f(t)=L1F(s).例8.1求单位阶跃函数 的Laplace变换.解例8.2求函数f(t)=t的Laplace变换.解例8.3求指数函数 (k为实数或复数)的Laplace变换.解由Laplace变换的定义知这个积分在Re sRe k时收敛，而且有从上面例子可以看出，Laplace变换存在的条件要比Fourier变换存在的条件弱得多,下面讨

3、论Laplace变换的存在问题.定义8.2设函数f(t)在实变数t0上有定义，若存在两个常数M0及0,对于一切t都有成立，即f(t)的增长速度不超过指数函数，则称f(t)为指数级函数，为其增长指数. 定理8.1（Laplace变换存在定理）若函数f(t)满足下列条件： t0的任一有限区间上分段连续； f(t)是指数级函数.则f(t)的Laplace变换在半平面Re s1上一定存在，在此区域上积分绝对收敛而且一致收敛，同时F(s)为解析函数.在证明过程中，要用到含参积分一致收敛的一个充分条件，先叙述如下：若存在函数(t)使|g(t,s)|内是可微的，所以F(s)在Re s内是解析的.满足Lapl

4、ace变换存在定理条件的函数f(t)在t=0处为有界时，积分中的下限取0+或0不会影响其结果.但当f(t)在t=0处包含了函数时就需要区分积分区间是否包含了t=0这一点，若包含了t=0这一点，常将积分下限记为0，否则记为0+，相应的Laplace变换分别记为例8.4求函数(t)的Laplace变换.解例8.5解下面再看一些例子.例8.6求正弦函数f(t)=sin kt(k为实数)的Laplace变换.解利用Laplace变换定义，得例8.7求周期性三角波从上面例子可以得到求周期函数的Laplace变换的公式：其中，f(t)是以T为周期的且在一个周期上是分段连续的周期函数.例8.8求如图8.1所

5、示的半波正弦函数fT(t)拉氏变换.解由已知，函数在一个周期内的表达式为 图8.1 8.2Laplace变换的性质利用Laplace变换的定义及查Laplace变换表可以求一些常见函数的Laplace变换。(1) 线性性质这个性质表明函数线性组合的Laplace变换（或逆变换）等于各函数Laplace变换（或逆变换）的线性组合，它的证明只须根据定义及积分的性质即可推出.(2) 原函数的微分性质这个性质使f(t)的微分方程转为F(s)的代数方程，因此它对分析线性系统有着重要作用.现在利用它推算一些函数的Laplace变换.例8.9利用Laplace变换的性质求f(t)=cos kt的Laplac

6、e变换。例8.10求f(t)=tm的Laplace变换：(1)m为正整数；(2)实数m1.(3)像函数的微分性质例8.11求函数f(t)=tekt的Laplace变换.(4)原函数的积分性质(5)像函数的积分性质例8.12求函数 的Laplace变换.像函数的积分性质常常用于求广义积分，因为例8.13计算积分 解利用像函数的积分性质，并注意解析函数的积分与路径无关，得例8.14计算积分 解由像函数的积分性质，并注意解析函数的积分与路径无关，得(6)位移性质这个性质表明了一个原函数乘以指数函数 的Laplace变换等于其像函数作位移a.例8.15这个性质表明时间函数f(t)推迟个单位的Lapla

7、ce变换等于它的像函数乘以指数因子es，这个性质在工程技术中也称为时移性.（7）延迟性质例8.16求如图8.2所示的阶梯函数f(t)拉氏变换. 图8.2(8)相似性质因为函数f(at)的图形可由f(t)的图形沿t轴正向经相似变换而得，所以这个性质称为相似性质. 例8.17设Lf(t)=F(s)，求Lf(atb),其中a0,b0.例8.18(9)卷积性质在Fourier变换的卷积性质中，已给出了两个函数卷积的定义：但在Laplace变换中，只要求f(t)在0,+)有定义即可.因此，在把卷积应用于Laplace变换时，我们总假定当t0时f1(t)=f2(t)=0，这时，卷积的定义可改变成为下面的形

8、式： 8.3Laplace变换的逆变换定理8.3若函数f(t)满足Laplace变换存在定理的条件，Lf(t)=F(s)，则L1F(s)由下式给出这就得到了从像函数F(s)求它的像原函数f(t)的一般公式：该公式也称为Laplace反演公式，右端的积分称为Laplace反演积分,这里的积分路径是平行虚轴的任一直线Re s=c. 定理8.4例8.19求 的Laplace逆变换.例8.20此题也可用留数理论来做.例8.21 8.4Laplace变换的应用Laplace变换的重要应用之一是解微分方程和积分方程，其解题步骤为对所给方程施行Laplace变换得到一像函数的代数方程；求解该代数方程得像函数

9、；对求出的像函数施行Laplace逆变换得像原函数，即为原方程的解.例8.23求方程例8.24求解微分方程y+2y+y=et,y(1)=y(1)=0.例8.25求方程组例8.26例8.27解变系数微分方程：例8.28解差分方程其中常数a,h及函数g(t)为已知，当t0时,g(t)=0.解对方程两边取Laplace变换，得当k足够大时,tkh0)的作用沿x轴接近原点,同时受阻尼力 的作用,求质点的运动位移,假设x(0)=x0，x(0)=v0.解建立质点的运动方程为 习题81.用定义求下列函数的拉氏变换,并用查表的方法来验证结果.2.求下列函数的拉氏变换.3.设f(t)是以2为周期的函数,且在一个

10、周期内的表达式为4.求下列函数的拉氏变换式.5.利用像函数的导数公式计算下列各式.6.利用像函数的积分公式计算下列各式.7.利用拉氏变换的性质求下列函数的拉氏变换.8.求下列函数的拉氏逆变换.9.设f1(t),f2(t)均满足拉氏变换存在定理的条件且Lf1(t)=F1(s),Lf2(t)=F2(s),，则乘积f1(t)f2(t)的拉氏变换一定存在，且其中0,Re s+c0.10.求下列函数的拉氏逆变换（像原函数），并用另一种方法加以验证.11.求下列函数的拉氏逆变换.12.试求下列微分方程或微分方程组初值问题的解.13.求下列各图所示周期函数的拉氏变换.14.计算下列积分.15.求下列卷积.1

11、6.利用卷积定理证明17.利用卷积定理证明18.试求下列积分方程的解.19.设在原处质量为m的一质点在t=0时，在x方向上受到冲击力k(t)的作用，其中k为常数，假定质点的初速度为零，求其运动规律.20.某系统的传递函数 , 求当激励x(t)=A sin t时的系统响应y(t). 习题答案 习题114.（1）不包含实轴的上半平面，是无界的、开的单连通区域；（2）圆(z1)2+y2=16的外部（不包括圆周），是无界的、开的多连通区域；（3）由直线x = 0与x = 1所围成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的、开的单连通区域；（4）以3i为中心，1与2分别为内、外半径的圆环域，不包括圆周，是有

12、界的、开的多连通区域；（5）直线x= -1右边的平面区域，不包括直线在内，是无界的、开的单连通的区域；（6）由射线=1及=1+构成的角形域，不包括两射线在内，即为一半平面，是无界的、开的单连通区域；（9）是以抛物线y2=12x为边界的左方区域（不含边界），是无界的、开的单连通区域；（10）是圆(x+6)2+y2=40及其内部区域，是有界的、闭的单连通区域. 习题21.12.（1）在直线 上可导，在z平面上处处不解析；（2）在点z=0处可导，在z平面处处不解析；（3）在除原点外的z平面上处处可导，处处解析；（4）在z平面上处处不可导，处处不解析；3.（1）f(z)在z平面上处处可导处处解析,且f

13、(z)=2(z1)(2z2z+3)；（2）f(z)在z平面上处处可导处处解析，且f(z)=3z2+2i；6.（1）命题假，如函数f(z)=|z|2在点z=0处可导，却在点z=0处不解析；（2）命题假，如函数f(z)=|z|2=x2+y2在z平面上处处连续，除了点z=0外处处不可导；（3）命题假，如函数f(z)=zRe z=x2+ixy仅在点z=0处满足CR条件，故f(z)在点z=0处不解析；8.m=1,n=l=3 10.(1)，(2)，(3)正确；(4)，(5)，(6)不正确. 习题3 习题41.(1)收敛，极限为1(2)收敛，极限为0(3)发散(4)收敛，极限为02.(1)收敛，但不绝对收敛

14、(2)收敛，但不绝对收敛(3)绝对收敛(4) 发散3.（1）2（2）+（3）e 4.下列结论是否正确？为什么？（1）不对,如 在收敛圆|z|1内收敛，但在收敛圆周|z|=1上并不收敛；（2）不对，如一个幂级数的收敛半径为零,则其和函数并非解析函数；（3）不对，如 在全平面上连续,但它在任何点的邻域内均不能展开成Taylor级数.5.不能，因如 收敛，则由Abel定理其收敛半径R|02|=2，而|32|=12即z=3在其收敛圆|z2|2内，故级数 收敛，矛盾.11.(1) z=0,三级极点；z=i,二级极点；(2)z=0,一级极点；(3)z=1,二级极点；z=1,一级极点；(4)z=k(k=0,

15、1,2,),一级极点； (5)z=(2k+1)i(k=0,1,2,),一级极点；z=i,二级极点；(6)z=1，本性奇点；(7)z=0，本性奇点；(8)z=0，本性奇点；(9)z=1，本性奇点；(11)z=0，可去奇点；(12)z=1，本性奇点；z=2ki(k=0,1,2,),一级极点.12.（1）z=为其可去奇点；（2）z=为其可去奇点；（3）z=为其二级极点；13.（1）当mn时，点z0是f(z)+g(z)的maxm,n级极点，当m=n时，点z0可是f(z)+g(z) 级不高于m的极点，也可是f(z)+g(z)的可去奇点（解析点）；（2）z=z0是f(z)g(z)的m+n级极点；（3）对于f(z)/g(z)，当mn时，z0是mn级极点；当m=n时，z0是可去奇点.14.z=z0是（1）、（2）、（3）的本性奇点. 16.不对，z=2不是f(z)的本性奇点，这是因为函数的洛朗展开式是在|z2|1内得到的，而不是在z=2的圆环域内的洛朗展开式