线性代数试卷及答案3套

1、线性代数（A卷 共四页）一.填空或选择填空(共30分,每小题3分)1.设,其中均为四维列向量. 已知,则.2.设为矩阵,为阶可逆矩阵,且,则( ).A B C D3.四维列向量组 ,的秩为_,一个极大无关组为_.4.齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是( ).A的列向量组线性无关 B的行向量组线性无关C的列向量组线性相关 D的行向量组线性相关5.设,都是三阶方阵的属于特征值的特征向量,而,则.6.设为可逆矩阵的一个特征值,则有一个特征值为.7 8.下列矩阵中不与对角矩阵相似的是( ).A B C D9.设,则与 ( ).A合同但不相似 B合同且相似 C不合同但相似D不合同且不相似10.设实二

2、次型,当( )时,该二次型为正定二次型.A B C D 二.计算下列行列式(共12分,每小题6分)1.；2.(空白处元素全为).三.计算(共20分,每小题10分)1.设为可逆矩阵,且.1) 求证为可逆矩阵；2) 当时,求矩阵.2.求解如下线性方程组；若有无穷多解,请用其特解与导出组的基础解系联合表出通解.四.(18分)求一个正交替换,将如下实二次型化为标准形.五.(5分)求证秩为的实对称矩阵可以写成个秩为的实对称矩阵之和.线性代数（B卷）一.填空与选择(30分,每小题3分)1.设,则_.2._.3.设均为阶方阵,则有( ).ABCD4.设向量组线性无关,则的秩为_.5.设与相似,则_,_.6.

3、设的全体特征值为,则( )为可逆矩阵.ABCD7.设为线性变换在基下的矩阵,则在基下的矩阵为_.8.设是实对称矩阵的特征向量,且,则( )也是的特征向量.AB非零C不全为零D全不为零9.实二此型有标准形( ).ABCD10.设均为阶正定矩阵,则( )不一定是正定矩阵.ABCD二.(28分,前3小题各6分,第4小题10分)1.计算阶行列式().2.设阶方阵满足,求证可逆,并求.3.求向量组,的一个极大无关组,并用该极大无关组线性表示向量组中其他向量.4.设,其中为的伴随矩阵,试不计算与,而直接求矩阵.三.(12分)设线性方程组有解,求参数；求解线性方程组,若有无穷多解,用其特解与对应齐次线性方程

4、组的基础解系联合表出通解.四.(15分)求正交矩阵与标准形,使得二次型经过正交线性替换化为标准形.五.(5分)设矩阵的每列全体元素之和均为.1)求证是的特征值；2)设为齐次线性方程组的解向量,求证.线性代数（C卷 共4页）一.填空与选择(30分,每小题3分)1.设三阶方阵,其中均为三维列向量. 若,则_.2.四阶方阵各元素的代数余子式之和为_.3.设,则_.4.设,为的伴随矩阵,则_,_.5.设,则的列向量组可由( )的列向量组线性表示. AB C D6.设,则齐次线性方程组与( ). A无共同解B共同解只有零解 C必有共同非零解 D同解7.设是矩阵的分别属于特征值的特征向量,而,则( ).

5、A BC D8.设二维线性空间上的线性变换在基下的矩阵为,则在基下的矩阵为_.9.实对称矩阵与( )正交相似. AB C D10.元实二次型的正惯性指数为_.二.(8分)设.1)求证是的子空间； 2)求的一个基.三.(10分)设,求矩阵,其中.四.(12分)设线性方程组有解,求参数；求解线性方程组,若有无穷多解,用其特解与对应齐次线性方程组的基础解系联合表出通解.五.(10分)设是实数域上的以可微函数组为基的三维线性空间.1)求微分运算在基下的矩阵；2)问是否存在的某个基,使得线性变换在该基下的矩阵为对角矩阵?必须说明理由.六.(10分)设为三阶实对称矩阵,而是的属于特征值的特征向量,是的属于

6、特征值的特征向量,求参数与矩阵.七.(16分)求正交矩阵与标准形,使得二次型经过正交线性替换化为标准形.八.(4分)设均为阶正定矩阵,求证 正定正定.线性代数A卷一.填空题（共6小题,满分18分）1.设=(1,0,-1,2), =(0,1,0,1),令AT,则A4 = .2.设矩阵且BA=B+E,则B-1= .3.设1, 2是2维的列向量,令A=(21+2, 1-2),B=(1, 2),若|A|=6, 则|B|= .4.设A为n阶方阵,且A2=A,则RA+ R(A- E) = .5.设1=(1,1,1), 2=(a,0,b), 3=(1,2,3)线性相关,则a与b应满足的关系式为 .6. 设+

7、2=(2,1,t,-1), 2-=(-1,2,0,1),且与正交,则t= . 二.单项选择题（共6小题,满分18分） 1. 设A为n阶方阵,且AAT= E,|A|0,则A+ E为 .A 非奇异矩阵,B 奇异矩阵,C正交矩阵,D正定矩阵.2.设A是43矩阵,且RA=2,若则R(AB)为 .A 2,B 3,C 4,D 0.3. 设A为n阶可逆矩阵,k0为常数,则(k A)* 为 .A k A*, B kn -1 A*, C kn A*, D kn A.4. 设向量组1, 2, 3线性无关,则下面向量组线性相关的是 .A 12,23,31, B 1+2,2+3,3+1,C 122,223,321,

8、D 1+22,2+23,3+21.5.设矩阵Anm,Bmn,且nm,若ABE,则下面结论正确的是 .A A的行向量组线性相关, B A的列向量组线性无关,C 线性方程组Bx0仅有零解, D 线性方程组Bx0必有非零解.6.设3阶方阵A与B相似,且A的特征值为,则tr(B-1- E)为 .A 2,B 3,C 4,D 6.三.解答题（共6小题,满分42分）1.设A为4阶方阵,A*是A的伴随矩阵,且|A|0,而A*O. 1, 2, 3是线性方程组Axb的三个解向量,其中,求线性方程组Axb的通解.2.设向量组,问a为何值时,向量组1, 2, 3,4线性相关,并求此时的极大无关组.3.求一组非零向量1

9、, 2与已知向量3(1,1,1)T正交,并把它们化成R3的一个标准正交基.4.设矩阵,且A*相似于B,其中A*是A的伴随矩阵,求x,y.5.设二次型,其中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为12,求a,b.6.设V是二阶实对称矩阵全体的集合,对于通常矩阵的加法与数乘运算所构成的实数域R上的线性空间.且是V的一个基,试证也是V的一个基.并求V中的向量在该组基下的坐标. 四.（本题满分11分）已知齐次线性方程组()()同解,求a,b,c的值.五.（本题满分11分）设矩阵3阶实对称矩阵A的各行元素之和为3,且RA1.求A的特征值与特征向量；求正交矩阵P和对角矩阵,使P-1AP=；求A及.线性

10、代数B卷一.填空题1设A为3阶正交矩阵,且AT= -A*,其中A*是A的伴随矩阵,则|A| = 2设线性空间R2的两个基A：1=(1,0)T, 2=(1,1)T；B：1=(1,1)T,2=(-1,1)T,则A组基到B组基的过渡矩阵为 3设3阶矩阵A的特征值为1,3,5,则A的迹tr(A)= 4若二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3 正定,则t满足 二.单项选择题1设1, 2,3是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,则该方程组的基础解系还可为 . A 1-2, 2- 3,3- 1； B与1, 2,3等秩的一个向量组；C 1, 1+ 2,1+ 2+3；

11、D与1, 2,3等价的一个向量组.3设A为n阶非奇异阵(n=2),A*是A的伴随阵,则 A (A*)*= |A|n -2A ；B (A*)*=|A|n+ 2A ；C (A*)*= |A|n -1A ；D (A*)*=|A|n+ 1A . 4设A为mn矩阵,C为n阶可逆矩阵,RA=r,矩阵B=AC的秩为r1,则 A r r1； B rr1；Brr1；Cr与r1关系依赖与矩阵C； Dr=r1 .4设1,2,3是齐次线性方程组Ax=0的基础解系,则该方程组的基础解系还可为 .A 1,1+ 2,1+ 2+3；B 与1,2,3等价的一个向量组；C 1-2,2- 3,3- 1； D 与1,2,3等秩的一个

12、向组.5向量组1,2,s线性无关的充要条件是 .A 1,2,s都不是零向量； B 1,2,s中任意两个向量都线性无关；C 1,2,s中任一向量都不能用其余向量线性表出；D 1,2,s中任意s-1个向量都线性无关.6. 如果 ,则A与B相似.A |A|=|B|； B RA=RB； C A与B有相同的特征多项式；D n阶矩阵A与B有相同的特征值且n个特征值各不相同.三.解答题（共5小题,每小题9分,满分45分）1. 设向量组1=(1,0,2,1)T,2=(1,2,0,1)T,3=(2,1,3,0)T,4=(2,5,-1,4)T.(1) 判断向量组的线性相关性；(2) 求它的秩和一个极大无关组；(3

13、) 把不在极大无关组中的向量用极大无关组线性表示.五.（本题满分10分）设实二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的秩为2,且1= (1,0,0)T是(A-2E)x=0的解,2=(0,-1,1)T是(A-6E)x=0的解.(1)求矩阵A的特征值与特征向量；(2)用正交变换将该二次型化成标准形,并写出所用的正交变换和所化的标准形；(3)写出该二次型.第一部分 选择题 (共28分)单项选择题（本大题共14小题,每小题2分,共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式=m,=n,则行列式等于（ ） A. m+nB. -(m+n

14、) C. n-mD. m-n2.设矩阵A=,则A-1等于（ ） A. B. C. D. 3.设矩阵A=,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于（1,2）的元素是（ ） A. 6B. 6 C. 2D. 24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有（ ） A. A =0B. BC时A=0 C. A0时B=CD. |A|0时B=C5.已知34矩阵A的行向量组线性无关,则秩（AT）等于（ ） A. 1B. 2 C. 3D. 46.设两个向量组1,2,s和1,2,s均线性相关,则（ ） A.有不全为0的数1,2,s使11+22+ss=0和11+22+ss=0 B.有不全为0的数1,2,s使1（1+1）

15、+2（2+2）+s（s+s）=0 C.有不全为0的数1,2,s使1（1-1）+2（2-2）+s（s-s）=0 D.有不全为0的数1,2,s和不全为0的数1,2,s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.设矩阵A的秩为r,则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,1,2是其任意2个解,则下列结论错误的是（ ） A.1+2是Ax=0的一个解B.1+2是Ax=b的一个解 C.1-2是Ax=0的一个解D.21-2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有（ ） A.秩(A

16、)nB.秩(A)=n-1 C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(3)阶方阵,下列陈述中正确的是（ ） A.如存在数和向量使A=,则是A的属于特征值的特征向量 B.如存在数和非零向量,使(E-A)=0,则是A的特征值 C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量 D.如1,2,3是A的3个互不相同的特征值,1,2,3依次是A的属于1,2,3的特征向量,则1,2,3有可能线性相关11.设0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有（ ） A. k3B. k312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是（ ） A.|A|2必为1B.|A|必为1 C.

17、A-1=ATD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=CTAC.则（ ） A.A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ） A.B. C.D.第二部分 非选择题（共72分）二.填空题（本大题共10小题,每小题2分,共20分）不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15. .16.设A=,B=.则A+2B= .17.设A=(aij)33,|A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a

18、21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.设向量（2,-3,5）与向量（-4,6,a）线性相关,则a= .19.设A是34矩阵,其秩为3,若1,2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为 .20.设A是mn矩阵,A的秩为r(n),则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量.的长度依次为2和3,则向量+与-的内积（+,-）= .22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为 .23.设矩阵A=,已知=是它的一个特征向量,则所对应的特征值为 .24.设实二次型f(

19、x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 .三.计算题（本大题共7小题,每小题6分,共42分）25.设A=,B=.求（1）ABT；（2）|4A|.26.试计算行列式.27.设矩阵A=,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组1=,2=,3=,4=.试判断4是否为1,2,3的线性组合；若是,则求出组合系数。29.设矩阵A=.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵A=的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=,并写出所用的满秩线性

20、变换。四.证明题（本大题共2小题,每小题5分,共10分）32.设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆,且（E-A）-1=E+A+A2.33.设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,1,2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）1=0+1,2=0+2均是Ax=b的解； （2）0,1,2线性无关。线性代数（试卷一）填空题（本题总计20分,每小题2分）1. 排列7623451的逆序数是。2. 若,则 3. 已知阶矩阵.和满足,其中为阶单位矩阵,则。4. 若为矩阵,则非齐次线性方程组有唯一解的充分要条件是_设为的矩阵,已知它的秩为4,则以为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_2_。6. 设

21、A为三阶可逆阵,则 7.若A为矩阵,则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 8.已知五阶行列式,则 9. 向量的模（范数）。10.若与正交,则 二.选择题（本题总计10分,每小题2分）1. 向量组线性相关且秩为s,则(D) 2. 若A为三阶方阵,且,则(A)3设向量组A能由向量组B线性表示,则( d ) 4. 设阶矩阵的行列式等于,则等于。c 5. 设阶矩阵,和,则下列说法正确的是。 则 ,则或 三.计算题（本题总计60分。1-3每小题8分,4-7每小题9分）1. 计算阶行列式 。2设A为三阶矩阵,为A的伴随矩阵,且,求.3求矩阵的逆4. 讨论为何值时,非齐次线性方程组 有唯一解； 有无穷多

22、解； 无解。5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。 6.已知向量组.,求此向量组的一个最大无关组,并把其余向量用该最大无关组线性表示7. 求矩阵的特征值和特征向量四.证明题（本题总计10分）设为的一个解,为对应齐次线性方程组的基础解系,证明线性无关。 (试卷二)一.填空题（本题总计 20 分,每小题 2 分）1. 排列6573412的逆序数是 2.函数 中的系数是 3设三阶方阵A的行列式,则= A/3 4n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是 5设向量,=正交,则 6三阶方阵A的特征值为1,2,则 7. 设,则.8. 设为的矩阵,已知它的秩为4,则

23、以为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_9设A为n阶方阵,且2 则 10已知相似于,则 , 二.选择题（本题总计 10 分,每小题 2 分）1. 设n阶矩阵A的行列式等于,则等于 (A) (B)-5 (C) 5 (D)2. 阶方阵与对角矩阵相似的充分必要条件是 . (A) 矩阵有个线性无关的特征向量 (B) 矩阵有个特征值 (C) 矩阵的行列式 (D) 矩阵的特征方程没有重根3A为矩阵,则非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是 A B C (D) 4.设向量组A能由向量组B线性表示,则( )A(B)(C) (D)5. 向量组线性相关且秩为r,则 (A) (B) (C) (D) 三.计算题（本

24、题总计 60 分,每小题 10 分）1. 计算n阶行列式: .2已知矩阵方程,求矩阵,其中.3. 设阶方阵满足,证明可逆,并求.4求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:5求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示6已知二次型：, 用正交变换化为标准形,并求出其正交变换矩阵Q四.证明题（本题总计 10 分,每小题 10 分）设, , , , 且向量组线性无关,证明向量组线性无关.（试卷三）一.填空题（本题总计20分,每小题2分）按自然数从小到大为标准次序,则排列的逆序数为 设4阶行列式,则 已知,则 已知n阶矩阵A.B满足,则 若A为矩阵,则齐次

25、线性方程组只有零解的充分必要条件是 若A为矩阵,且,则齐次线性方程组的基础解系中包含解向量的个数为 若向量与向量正交,则 若三阶方阵A的特征多项式为,则 9.设三阶方阵.,已知,则 10.设向量组线性无关,则当常数满足 时,向量组线性无关.二.选择题（本题总计10分,每小题2分）以下等式正确的是( ) 4阶行列式中的项和的符号分别为（ ）正.正正.负 负.负负.正设A是矩阵,C是n阶可逆阵,满足BAC. 若A和B的秩分别为和 ,则有( ) 以上都不正确 设A是矩阵,且,则非齐次线性方程组( )有无穷多解有唯一解无解无法判断解的情况5.已知向量组线性无关,则以下线性无关的向量组是（ ）三.计算题（