高中数学：解三角形教案苏教版必修

1、数学5第一章 解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。（二）编写意图与特色1数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具

2、体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度

3、来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。2注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、

4、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。课程标准和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分内容，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，这使这部分

5、内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对于三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”，并进而指出，“从余弦定理以及余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的

6、平方，那么第三边所对的角是锐角.从上可知，余弦定理是勾股定理的推广.”3重视加强意识和数学实践能力学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。（三）教学内容及课时安排建议1.1

7、正弦定理和余弦定理（约4课时）1.2应用举例（约4课时）1.3实习作业（约1课时）（四）评价建议1要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程

8、序，得到在实际中可以直接应用的算法。2适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题。第一课时111正弦定理教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生

9、通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程.课题导入如图（1）固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 图（1） 图（2）思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把

10、这种关系精确地表示出来？ .讲授新课探索研究 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图（2）在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又, 则 从而在直角三角形ABC中，有 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：证法一： 证法二： 证法三：从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 a= ,b=

11、,c= ;(2) ;（3）等价于，从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。练习：已知ABC中，则= 例题分析例1在中，已知，解三角形。例2在中，已知，解三角形练习：1. 在中，已知，求a、b2. 在中，已知，求B、C3. 在中，已知,解三角形评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。例3.仿照正弦定理的证法1，证明，并运用这一结论解决下面的问题：（1）在中，已知,求；（2）在中，已知,求b和；（3）证明正弦定理

12、探究：由例2思考：已知两边a、b和一边的对角A,求角B时，若A为锐角，有几种情形？画出草图 若A为钝角呢？不解三角形判断下列三角形解得个数（1）（2）（3）（4）.课堂练习第8页练习第1题。.课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式： ；变式： ；面积公式： （2）正弦定理的应用范围： ； 。.课后作业第10页习题1.1第1（1）、2（3）题。同步导学第二课时112正弦定理教学目标知识与技能：掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理研究斜三角形中的一些问题和解决一些简单的测量问题。教学重点正弦定理的运用。教学难点正确运用正弦定理研究相关的数学问题。一。回顾旧知1.

13、正弦定理： 2.正弦定理的变形：（1） ；（2） ；（3） 3.面积公式： 。4.三角形解的情况：阅读课本第9、10页的例3、4、5二。典例分析：题型一：判断三角形的形状在中，若已知,判断三角形的形状。（对应例4）练习：在中，已知,试判断的形状。题型二：正弦定理与三角变换的综合应用例2.在中，已知AC=2,BC=3,cosA=,(1)求sinB的值；(2)求的值。例3。在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c=10,求a、b及 的内切圆半径r,外接圆的半径R.三、易错点例4.在 中，若B=,AB=,AC=2,求的面积课后思考1：已知的三边各不相等，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

14、且， 求的范围思考2：已知锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，设B=2A， 求的取值范围作业：1、在 中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若,求的面积2、在 中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，求A、B及b、c第三课时1.2余弦定理教学目标知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解

15、事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。教学过程.课题导入如图所示，两游艇自O处同时出发，一艘以10km/h的速度向正东方向行驶，另一艘以6km/h的速度向北偏西方向行驶，30min后两游艇之间的距离为多少？问题探究：上述情境中蕴含了什么数学知识？如何用语言描述？又如何用数学语言表示？ .讲授新课探索研究联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？问：在上节中，我们用什么向量知识得到了正弦定理？证明：余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即

16、； ； 。 探究：已知中，则A= ;B= .思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）余弦定理又可以下写成如下形式： ； ； ；理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC中，C=，则，这时由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例题分析例1在ABC中，已知，求b及A分析：求b

17、只能用正弦定理，求出b后求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：练习：完成引入和探究例2在ABC中，已知，判断ABC的类型。结论：已知三边a、b、c判断三角形形状的方法A为直角A为锐角A为钝角随堂练习（1）在ABC中，已知，判断ABC的类型，（2）设x、x+1、x+2是锐角三角形的三边长，求实数x的取值范围，(3)设2a+1,a,2a-1是钝角三角形的三边长，求a的取值范围。.课堂练习第15页练习1（1）、2、3.课时小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。.课后作业课后作业：同步

18、导学课时作业：第17页习题1.2第3，6题。第四课时12.2解三角形的进一步讨论(2课时)教学目标知识与技能：灵活运用正、余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。教学重点在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。教学难点

19、正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。教学过程.旧知回顾三角形中的边、角之间的关系边a、b、c所对的角分别为A、B、C，在中有如下常用结论：（1）a+bc,b+ca,a+cb;(2)A+B+C=;(3)abAB;(4)a=bA=B;(5) A为直角 ;A为锐角 ;A为钝角 (7) ; ; ; .讲授新课考查点一：判断三角形形状例1在中，已知（a+b+c）(b+c-a)=3bc，,试判断的形状。考查点二：利用定理证明恒等式例2：在中，a、b、c分别为A、B、C的对边，求证： （1） （2）见第16页例6.考查点三：利用定理研究函数问题例3.已知中，a、b、c分别为A、B、C的对边，且(1)求

20、面积的最大值；（2）求a的最小值。练习1：如图，某农场有一块边长为2a的等边三角形ABC试验田，D、E两点分别在边AB、AC上，DE把这块试验田分成面积相等的两部分作对比试验地，设AD=x,DE=y,求用x表示y的函数关系式。考查点四：定理与三角变换例4.在中a、b、c分别为A、B、C的对边，且， 求A和tanB的值练习2. 在中a、b、c分别为A、B、C的对边，且。求 （1）的值，（2）的值。考查点五：解决几何问题例5.如图是等边三角形，是等腰直角三角形，,BD交AC于E，AB=2.（1）求，（2）求AE.开拓思维：1.如图，半圆O的直径为6，A为直径延长线上的一点，OA=6，B为半圆上任意

21、一点，以AB为一边作等边三角形，那么B在 什么位置时四边形AOBC的面积最大？2.如图，在平面上有A、B、P、Q四个点，A、B为定点，,P、Q为动点，且AP=PQ=QB=1,记的面积分别为S,T.(1)求的取值范围；（2）当取最大值时，判断的形状。.课时小结（由学生小结）.课后作业同步导学第五课时: 1.3.正弦、余弦定理的应用（1）教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好

22、铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图教学过程.课题导入1、复习旧知

23、复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境 “遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用。.讲授新课

24、（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解例题讲解例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到0.1m)变式练习1：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？引申：（见课本第18页例1）如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。 变式训练：

25、若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60例2、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。变式练习2、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=，在塔底C处测得A处的俯角=。已知铁塔BC部分的高为20m,求出山高CD(精确到1 m)评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。学生阅读课本21页，了解测量中的一些基本问题，并找到生活中的相应例子。.课堂练习课本第

26、20页练习第1、4题.课时小结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.课后作业课本第21页习题第1、2、3题2、补： 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？第六课时: 1.3.正弦、余弦定理的应用（2）教学目标知识与技能：能够运用正

27、弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。教学重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系教学

28、难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题教学过程.课题导入创设情境提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。.讲授新课范例讲解例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行80 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东的方向航行0n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mil

29、e) 例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。例3、（见对应题第18页例2）某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.课堂练习课本第20页练习.课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之