甘肃天水一中2015届高三高考信息卷一数学理版含答案

1、天水一中2015届高考模拟信息卷理科数学(一)1,若集合A=xx0,且Ap|B = B ,则集合B可能是()xx Ig x,命题 q : Vx R , ex a 1 ,则()(A)命题p vq是假命题(B)命题p八q是真命题(C)命题p Aq)真命题(D)命题pjq)是假命题.已知10g 1 a clog 1 b ,则下列不等式一定成立的是()22(A) (1)a ；d)b(B) - 1(C) ln(a -b) 0(D) 3a “；143a b.已知mw R, “函数y = 2x+m1有零点”是“函数y = logm x在(0,+0)上为减函数”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

2、(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件.某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图,据此估计这批产品的中位数为()(A) 20(B) 25(C) 22.5(D) 22.75 TOC o 1-5 h z 21_ 3 一6. (x +-2)展开式中的常数项为()x(A) -8(B) -12(C) -20(D)20一，一 .一S 65 I7.已知4是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且巨=一，则数列| Iog2 an |前 &6410项和为()(A) 58(B) 56(Q 50(D) 45lx y -2，2 -0,8,已知不等式组x =2万，表示平面区域

3、G ,过区域 Q中的任意一个点P，作圆y 0,b 0)的两条渐近线分别交于 a b点A, B ,若点P(m,0)满足PA =| PB ,则该双曲线的离心率是()-:-535(A)(B)(C) (D) V5+122212.设函数f (x )的定义域为 D,如果Vx = D,三y w D ,使得f (x ) = f (y )成立，则x 一1称函数f (x )为 Q函数 给出下列四个函数： y=sin x；y=2;y =x - 1f(x)=lnx,则其中“函数”共有()(A) 1 个(B) 2 个(Q 3 个(D) 4 个S.向面积为S的AABC内任投一点P,则APBC的面积大于的概率为32.函数f

4、 (x) = lg(a +)为奇函数，则实数 a =.1 x15.如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1,由下往上的六个点：1, 2, 3, 4, 5,6的横、纵坐标分别对应数列 % ( nWN)的前12项，如下表所示：55口4如%如00110u旃八*1力*4兀按如此规律下去，则a2013 . a2014 a20152216.我们把离心率 二三5的双曲线x2 - y2 =1(a0,b0 )称为黄金双曲线.如图是双曲2a b22线 : 、=1QA0,bA0,c = Ja2 +b2)的图象，给出以下几个说法：a2 b2双曲线x22VA _,-y =1是黄金双曲线;5 1若b2= ac,则该双曲

5、线是黄金双曲线;若F1, F2为左右焦点，A, A2为左右顶点，B (0-b )且/RBA =90,则该双曲线是黄金双曲线;若MN经过右焦点F2且MN_LF1F2, /MON其中正确命题的序号为 17.已知数列an的刖 n项和为 Sn, a1=0, a+a?+a3 +！11+an+n =an+, n= N .(I )求证：数列% +1是等比数歹U;(n )设数列4的前n项和为Tn,b1=1，点(工由工)在直线上卫=上，若不等式n 1 n 2- +-b +|+Lm-9一对于 nwn*恒成立，求实数 a1 1 a2 1an 12 2anm的最大值.某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道

6、备选题中一次性随机抽取 3道题,按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中 2道题的便可通过已知 6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是2,且每题正确完成3与否互不影响(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；(2)请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性大？.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形， P/BCD =120，AB = PC =2, AP = BP =亚(I)求证：AB 1 PC ；(n )求二面角 B -PC -D的余弦值.22X V 20.如图，Fl、F2为椭圆C :-y+J =1的左、右焦点，D、E是

7、椭圆的两个顶点，椭圆a b的离心率 e = 3, Sqef =1-二3 222X0 V0若M(x0,y。)在椭圆C上，则点N(，0)称为点M的 a b一个“好点”.直线l与椭圆交于A、B两点,A、B两点的“好点”分别为 P、Q ,已知以坐标原点.(I)求椭圆的标准方程；(n) AAOB的面积是否为定值？若为定值, 值；若不为定值，请说明理由.PQ为直径的圆经过试求出该定 . 、一 - - *.设 n n N ,函数 f (x)=In xxnxe,函数 g(x)=,xx (0,二)(I)当n=1时，写出函数y = f (x)1零点个数，并说明理由;(n)若曲线y = f(x)与曲线y=g(x)分

8、别位于直线l：y = 1的两侧,所有可能取值.如图，四边形 ABCD内接于。O,BD是。O的直径,AE _L CD 于点 E ,DA 平分 /BDE .(I)证明：AE是。O的切线(n)如果AB二4,AE =2,求 CD .在直角坐标系xOy中，以原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线Ci的极坐标方程为;-22-7-,直线I的极坐标方程为 P =1 sin2 u2 sin - cos-(I)写出曲线 C1与直线l的直角坐标方程；(n)设Q为曲线C1上一动点，求 Q点到直线l距离的最小值。24.设不等式2 x1 x+2 lgx是真命题，而命题q：VxwR, ex1,由复合命题的

9、真值表可知命题 p Af-q发真命题.A 由 log i a b 0 ,所以(-)a ()b (1)b.224434.B函数y =2x +m -1有零点时，m -1 0, m 1 ,不满足0cm 1 ,所以“函数y = logmx在(0,+g)上为减函数”不成立；反之，如果“函数 y = logmx在(0,+吟 上为减函数”，则有0m1, m10,故f (x)+f (y )=0不成立，所以y = 2x不是“ 函数”；_111y = 时，若f (x)+ f (y )=0成立，则= 0 ,整理可得y = 2 x,(x01)即 x -1x -1 y -1，,.1,1 一 , 一,当 y =2x,(x

10、01)时，f (x)+f (y )=0 成立，故 y=是 “函数”；x -1 TOC o 1-5 h z 11 f (x 尸ln x 时，右 f (x )+ f (y )=0 成立，则 ln x +ln y = 0 ,解得 y = _ 即 y = 一 时，xxf (x)+f(y)=0成立，故 f (x )=lnx是 “函数”13. 4 事件A = APBC的面积大于由图可知，D, E分别是三角形的边上的三等分932点，事件A构成的区域是图中阴影部分，因为AADE与AABC相似，相似比f ,3.S凝已121= 4 ,由几何概型的概率计算公式得P(A)=坦加E =-.S屐bc a cc2 +b2

11、+b2 +a2 =(a + c2 ,整理得 b2 = ac 由可知对于由于F2 (c,0 ),把x = c代入双曲线方程得2,2abnf2b2由对称关系知AONFz为等腰直角三角形，,c =151一5所以b22,即b = ac,由可知e = a双曲线是黄金双曲线.17 解析：(I )由 a1 +a2 +23 +巾 +an +n =an+ ,得 a +a? +23 +| +an+n 1 = an(n 22),两式相减得an+ =2an +1 ,所以 4由+1=2(4+1) (n2),因为 a1 =0,所以 a1+1 =1, 4=&+1=1, a2+1=2(a1+1)所以an +1是以1为首项，公

12、比为2的等比数列（n ）由（I ）得an =2n-1 ,因为点（Tn4Tn）在直线-x- -y =-,所以n 1 n 2Tn 1Tn1TT1故TL是以匕=1为首项 为公差的等差数列, n12一 T 1则=1+ (n -1),所以 Tn =n 2n(n 1)当 n 2 2 时，bn =Tn -Tn 1n(n 1) n(n -1)因为h =1满足该式，所以bn =n所以不等式a1 1b2a2 Tan 12 2an23即为1 - TH222“23令 Rn =12HH一2 221两式相减得(1 -)Rn=1 _ )222所以Rn =42n J由 Rn m2n恒成立，即4-2n 2n -52n之m恒成立

13、,又（42n -32n 1）一（42n -52n -7故当n W3时，42n2n -52n书 ，当n24时，42n2n -5单调递减；当n=3时，42 3-5312n -52n18 解:(1)P( =1)=2n单调递增；当n=4时，4的最小值为61,所以实数m的最大值是16232 4-58，61246116设甲正确完成面试的题数为，则之的取值分别为C；C；C；P(i*5C1,2,3考生甲正确完成题数亡的分布列为1术附1-p qT!J 一 r41-p q设乙正确完成面试的题数为n ,则“取值分别为0,1,2,30 1 311 2 1 1 26P(n=0)=C3(-) = ；P(n=1)=C3(-

14、)(-)=,32 73 32 7二,2、2,1、12八、八3,2、38P( =2) =C3( -) () =ZZ,P( = 3) = C3 ()3327327考生乙正确完成题数。的分布列为：1424J1一276 一.27 t12 一.27g2716128En =0父+1 m +2m +3k =227272727一uo 1o 3o 12(2)因为 D =(1-2)2父一+(2-2)2父一+(32)2m_=, 555 52126212282Dn=(02) x +(1-2)父+(2-2) x +(3-2) x = 272727273-2(或 D = npq =)3所以D巴D。(10分)3 112 8

15、（或：因为 P仁22） =+=0.8, P（至 2） =一 十一 定 0.74, 5 527 27两人水平相当；=BP, . . PO.L ABCO _ ABAB _ PC所以P代2） PP之2）综上所述，从做对题数的数学期望考查 ，19解析：（I）证明：取 AB的中点O,连接PO,CO, AC . . AP又四边形 ABCD是菱形，且/BCD =120, VACB是等边三角形,又 COI PO=O, . AB_L 平面 PCO, 又 PC 匚平面 PCO,(n)由 AB=PC =2, AP = BP = &,易求得 PO=1, OC=、OP2 OC2 = PC2, OP - OC以O为坐标原

16、点，以OC , OB, OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直坐标系 O-xyz,则 B(0,1,0), C(照0,0) , P(0,0,1), DG/3,-2,0),BC =(褥1,0) , PC =(阴,0, -1), DC =(0,2,0)设平面DCP的一个法向量为：=(1,y,z),则PC, 7jl DC ,T 一z = B y = 0, . . n1 =(1,0, V3)n1PC =、3 -z =0n DC -2y =0设平面BCP的一个法向量为n2 =(1,b,c)，则n2 _L PC , n2 .L BC ,n2 PC = .3 -c -0 T - -l ,c=j3, b = j3

17、,n2=(1,J3,J3)n2 BC = 3 - b = 042.7T Tcos ： n1, n2 =二面角B -PC D为钝角，二面角B - PC - D的余弦值为2 ；720解析：(i)由题意得e = c = Y3故c二百a, ba.22S.DEF2= l(a-c) b(a-3a) a =1(1 -3)a2 = 1 -3,2.1,一故a =4,即a=2,所以b = - a=1, c = v3 故椭圆的标准方程为:22x 2.一 y = 1.4(n)设 A(x1,y。、B(x2,y2),则 P(，y1)、Q(21,y1).当直线AB的斜率不存在时，即 x1 = x2, y1 = -y2,由以

18、PQ为直径的圆经过坐标原点可得OP _L OQ ,2 Xiy1y2=7y； = 0 ,解得 K2 =4y；,又点A(Xi , Yi )在椭圆上，所以4 y1 + y； = 1,解得|%| =自,|%|=五,421 . ., ,所以 S盘OB = | Xi | 黑| Yi Y2 |=1 .当直线AB的斜率存在时，设其方程为y = kx十m .y由x2=kx m十42 ，消 y 得，(4k2 + 1)x2+8kmx+4m2 4 = 0 y =1由根与系数的关系可得-8km24m -4x1 + & =2, x1x2 = 512 4k2 12 4k2 1由以PQ为直径的圆经过坐标原点可得OP _L O

19、Q ,即 为 至+ y1 y2=0,2 2x1x2-即+ y1y2 = 0 .4故 xx2 (kx1 m)(kx2 m)二41 4k22一型2 km(x x2) m22202d 8kmm = 2m 1 一 一方二 04k2 1 TOC o 1-5 h z ,.221 4k 4 m -4,-8km厂一mk4 4k2 14k2 1整理得(2m2 -1)(4k2 +1)8k2m2 =0,即 2m2 -4k2 -1 = 0,所以 4k2 +1 =2m2.2,e 、 a ,、2 , -8km、2 , 4m -4而 |x 一x2 | =(x1 , x2) -4恪=(2 ) -4 二;4k 1 4k 116

20、2222 (4k1 - m )(4k1)故 |AB|= Jk2 |x1 -x2 |=41 k224k2 1.4k2 1 - m2而点O到直线AB的距离d = Jm| , . 1k211 4x1 k2所以 s.aob =?ab| d =2 4k2 1j4k2+1-m2M ,|m|1 k2KT，2 1 - m222m -m =1 .综合可知MOB的面积为定值21解析：(I )证明：结论：函数y = f (x) -1不存在零点.ln x当n=1时，f(x)=，求导得 x1 - ln xf (x) =2，令 f (x) = 0,解得 x = e.x当X变化时，f (x)与f (x)的变化如下表所示:x

21、(0,e)e(e,收)f (x)+0f(x)所以函数f (x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，1则当x=e时，函数f (x)有最大值f(e)=-.e1所以函数y = f (x) 1的最大值为f (e)-1 = 一1 0 ,所以函数y=f(x)1不存在零点.e,/I1In x.1 -nln x(n)斛：由函数 f (x) =-n-求导，得 f (x) =n,令 f (x) = 0 ,解得 x =en.xx1则当x =en时，函数f(x)有最大值f(eb=； nex1(0,en)1en1(en,ff (x)+0f(x)当x变化时，f (x)与f (x)的变化如下表所示:11所以函

22、数f (x)在(0,en)上单调递增，在(en,+g)上单调递减,ex(x n)g (x); nJ，xxe由函数g(x)=, x = (0,+b)求导，得 xx(0,n)n(n*)g(x)0+g(x)令 g (x) = 0,解得 x = n.当x变化时，g(x)与g(x)的变化如下表所示:所以函数g(x)在(0,n)上单调递减，在(n,+w)上单调递增,e- 则当x=n时，函数g(x)有最小值g(n)=(E)n.n*11因为Vn w N ,函数f(x)有最大值f(en)=1 ,解得n 所以/ABD = 30 ,从而/ DAE = 30 ,所以 DE = AEtan30 =缚.3由切割线定理，得

23、 AE2= ED EC,所以4 = 呼X 曾+ CD),所以CD =4323.解:2 一 2 一(I) Ci : x +2y =2 ,(n)设Q (72cos9,sin 6 ),则点Q到直线l的距离无sin +应cos日-42-.3_ 冗2sin(日 +) -4当且仅当0十一 =2kn +,42Q点到直线l距离的最小值为2.3O33,24.解：(I )记f (x)=x 1 x +2 =J-2x -1,3,-2 x1 ,x 一 11aJb 3 61-11+ b 一父一1.B2.B-8-(-2)-, ,=-2 .又一2，h, b2, A，-8 成等3比数列，所以 达2 =-8乂（2） =16,b2

24、 =4 （舍去），b2 = _4 ,所以曳二比 b2-2 _ 1-4 - 21 o 1(n)由(i)得 a2 -,b2 0,221 1 -4ab (2a-b),即 1 -4ab 2a-b .数学（二）答案Z1 Z2(1-i)(1 i) 1-i22.iii i因为2,a1,a2, Y成等差数列，所以a2阚3.B A 中豆，P可以是任意关系；B正确；C中m, n平行于同一平面，其位置关系可以为任 意.D中平行于同一直线的平面可以相交或者平行.T 7 二 二2二八 一一 ” ,4.C由图可知一 =一一 二T=n则切=2，又S2 父T 0=,结合|中|一可 TOC o 1-5 h z 4123-：32

25、JTJI知=二,即f（ x）= s（i2n次二）,为了得至ij y =s i nx2的图象，只需把 33ny = f (x) =sin(2x ) =sin2x+- 1的图象上所有点向右平移一.6三个单位长度 65.D依题 AF2 = J3aFi ,2c = F1F2 =2AF1 ,所以 2a = A F - A1FA3 -)AFe=2AF-=31.a 、3 -1 AFi6.B 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，平面 AED _L平面BCDE ,四棱锥的高为1, 四边形 BC 奠边长为 1 的 正方形， 则_11 _1 l .,，2 -1- 5Saed = -1 1 二 一，Sabc= S

26、abe= -1 2 =,Sacd= -15 =.222222.A 第一次循环运算：n=3x5+16k= 1第二次：n=1 = 8,k=2 ；第三次：2 八，4，2一、n=4,k=3；第四次：n=2,k=4；第五次：n=-=1,k=5,这时符合条件输出22k =5.D 设方格边长为单位长1 .在直角坐标系内，a = (1,2), b = (2, 1),c = (3,4),由C=&+ y,b( x y 用(3,4) =x(1,2) +y(2, 1),(3,4) = (x+ 2y,2 x y),11x 2y =3所以 y2x - y =4x =5,解得55 ,所以,2y =一5.d 由于g是 mbc

27、的重心，, GA+GB+GC=0,-GC = (GB + GA)，代入得aGA bGB -|c GA GB 7-0 ,.222 b c -a .a = b = c . cos A = TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark11 o Current Document 32bc.C由题意得，每分钟滴下药液的体积为ncm32x当 4WhE13 时，xn=n 4 (13 h),即 h =13 一，此时 0 E x E144 ； 16过点Q作准线的垂线，垂足为 M ,由抛物线的定义知|QM |=|QF |又因为 PF =3QF ,所以，|PQ| = 2|QF |=2|QM

28、|所以,QMPQFNPF-28q QM =父 4 = 33所以，QF= |qm =-12.B1 2 一 ,、设g(x )= f (x )-x因为对任意_一2x R, f (-x )+ f (x )= x ,所以,12g -xg x = f 一瓦 r1 22f x - - x = f v-xf x)-x =0所以,1 2函数 g (x )= f (x x为奇函数;又因为，在 (0,y)上f (x) 0 , g(x )= f(x )x 01 2 .一即函数g (x )= f (x广*在(0,-Hc)上为减函数，1 2因为函数g(x )= f (x )-x为奇函数且在 R上存在导数,1 2 .所以函

29、数g(x )= f (x )-x在R上为减函数,，12，12g 4 - m - g m = f 4 - m - 4 - m - f m - m=f 4 -m - f m i (8-4m - 0所以， g 4 -m - g m = 4-mm= m - 2所以，实数 m的取值范围为2,M).化简得1 1由题知2x x + +2 x x =yz即 x + +一=必于是可将给定代数式2=x2 x x A . yz _2 yz1 = Qy z yz 2 yz 2 yz当且仅当yz = J2时取等号.14.300 在 AABC 中，ZBAC =45,NABC =90 口, BC =200. AC =-20

30、0-=200应，在 AAMC 中，：/MAC = 75,/MCA = 60。， sin 45/ AMC = 45 ,由正弦定理可得 一AM一 = 一一,即 AM = 100啦 sin . ACM sin. AMC sin60 sin 45 解得 AM =200.3,在 RtAAMN 中 MN = AM sin/MAN = 20073黑sin60白=300(m) .315. 13n 设正k棱枉的的底面边长为 x ,图为y ,则6x + y = 9 ,所以0 27V3(x-x2), 令42V (x )1 2 及 3x摊得 0 x)1,0V(x) =276 x xj 0 得 1 x：,即函 数V(x

31、)在(0,1)是增函数，在(1,3)是减函数，所以V(x)在x=1时取得最大值，此时 y = 3. 易知正六棱柱的外接球的球心是其上下中心连线的中点，如图所示，外接球的半径为OE=Jx2+Cy)2 =乎，所以外接球的表面积为 S=4nR2=13H16.如果“似周期函数 y = f(x)的“似周期”为-1 ,则f (x1) = -f(x),则f (x -2) = -f(x -1) = f (x),所以它是周期为 2的周期函数；假设函数 “*) = *是“似周期函数”，则存在非零常数T,使f (x+T) = Tf (x)对于xWR 恒成立，即x+T =Tx ,即(T -1)x-T =0恒成立，则T

32、 =1且T =0,显然不成立；设2*)=T 2,即2工=T ,易知存在非零常数T ,使2二=T成立，所以函数f(x) = 2x是“似周期函数”；如果函数 f(x) = cos0 x 是“似周期函数”，则 cos0(x+T) = cos侬 x+coT) =T cosx ,由诱导公式，得，当 T=1时，0 =2kn,kWZ ,当k = 1时， = (2k + 1)兀，k w Z ,所以 0 =kn,kw Z” ；故选.17 解析：(1)由 cosBsinC+(a-sin B )coSA +B )= 0 ,可得 cosBsinC 一(a -sin B )cosC = 0 ,即 sin A = a c

33、osC ,又 c = 1 ,所以 csin A = acosC , 由正弦定理得sin C sin A = sin AcosC ,因为 0 0,从而 sinC =cosC ,即 C =三4(2)由余弦定理 a2 +b2 -2abcosC =c2,得 a2 +b2 -U2ab=1 , TOC o 1-5 h z 2 , . 2f又 abwa ，所以 1义a2+b2 )M1,于是 a2+b2 W2 + 我 ,0,所以 12 k2(*)由 NA = ?.AF,NB = NBF 得: =2px上一点M (3,y0)到其焦点F的距离为4 ;抛物线的准线为x =2抛物线上点M(3,y0)到其焦点F的距离|

34、MF |等于到准线的距离d所以d =3 +B =4,所以p =22抛物线G的方程为y2 = 4x TOC o 1-5 h z 22二y x 2椭圆C2: + -2 =1(a b 0)的离心率e =,且过抛物线的焦点 HYPERLINK l bookmark3 o Current Document a b2F(1,0)21所以 b =1 , e2 =-222c a-1，口2二2,解得 a =2 a a22所以椭圆的标准方程为上 x- =121(n )直线I1的斜率必存在，设为k ,设直线l与椭圆C2交于A(x1, y), B(x2, y?)则直线I的方程为y=k(x1), N(0, -k) y

35、y = 4x -2 222联立方程组：r所以k2x2 (2k2+4)x+k2 = 0九(1 一%)=x,%(1x2) =x2 得：九=x11rxix21 - x2所以,口二. *x1(1 x2)x2(1 -x1)x x2 - 2x1x21fxi1 -x2(1 一 X )(1 一 x2)1一(x1 x2) x*2y =k(x -1)将(*)代入上式，得人+ N =Xi - X2 - 2 Xi X21 -(X| X2) X1X2(叫设 P(Xp, yp),Q(XQ, yQ)所以 S(Xp + XQ,yp + yQ),则 P(Xp,0),Q (%,0)F二三二.一OP OQ +OP OQ +1 =0

36、得 2XPXQ + yPyQ = 1(1)2/XP22 yQ22, 一Xq =1(3)(1)+(2)+(3) 得：1yp一yQL2，、2，(Xp Xq) 122即S(Xp +% +yQ)满足椭圆Czi5十pW的方程 命题得证21解析:(1) f (x)=2x+ =2x +2x+m又函数f (x)在定义域上是单调函数 X 1 X 11- f (x)之0或f (x) W 0在(一1,收)上恒成立若f (x)父0在(1,依)上恒成立，即函数f(x)是定义域上的单调地增函数，则 TOC o 1-5 h z -21、21 1m _ -2x 2x = -2(x+) + 在( 1,+*)上恒成立，由此可得

37、m之一；222若f (x) 0在(一1,收)上恒成立，则f (x) = 2x + m 0在(一1,y)上恒成立.即X 121 21 ,m -2x -2x = -2(x +-) + 3 在(一1,收)上恒成立.1、21- -2(x +-) +3在(1,=)上没有最小值，不存在实数 m使f(x)0在(一1,收)上恒成立.综上所述，实数m的取值范围是g,).(2)当 m = 1 时，函数 f (x) = x2 ln(x+1).令 g(x) = f (x) - x3 - -x3 x2 -ln(x 1)则 g (x)-3x2 2x -3x3 (x -1)2显然，当XW (0,)时，g(x) 0,所以函数g(x)在(0,)上单调