高三数学一轮复习精品导学案：第五章数列(5.1等差数列及等比数列)

1、2011年高三数学一轮复习精品导学案：第五章 数 列【知识特点】（1）数列是高中数学的主要内容之一是高考的常考内容；（2）数列具有函数特征，又能构成独特的递推关系，故使得数列与函数、方程、不等式等知识有较密切的联系，因此高考命题时常将数列与函数、不等式、向量等交汇，考查学生的逻辑思维能力、运算推理能力，呈现出综合性强、立意新的特点；（3）数列、等差与等比数列的概念和性质、通项公式、前n项和公式等知识，突出了“小、巧、活”的特点，也提供了知三求二的理论依据；（4）数列的规律性较强，学习时一定要从其规律入手来计算、分析、解决有关问题。【重点关注】（1）要正确理解数列、等差、等比数列的基本概念，掌握

2、各公式之间的联系和内在规律，掌握公式的灵活运用，甚至要灵活地回归定义，巧用性质，使运算更简捷；（2）要善于运用函数与方程、化归与转化、分类讨论等思想方法去分析问题、解决问题；（3）本章另一重点是由递推公式得出数列，以及数列的前n项和Sn与通项之间的关系。体现了由特殊到一般的思维规律；（4）与数列有关的应用题也是高考考查的重点，特别是数列建模问题；（5）数列证明问题与数学归纳法的联系。【地位和作用】数列是函数大家庭中的一员，其特殊性在于其定义域是正整数，它是按一定次序排列的一列数，数列在中学数学中既具有相对的独立性，又具有较强的综合性，它是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，因此历年的高考中占有

3、较大的比重，在选择、填空题中，突出“小、巧、活”的特点。递推思想可以极大地激活人们探索与发现真理的能力，由给出的前若干项及an与an+1的关系式得到的数列叫递推数列，该关系式叫递推公式。高考命题中数列善于占有重要一席，而运用递推式是解题的起点。对于本章而言，从新课改近几年各省份的高考信息可以看出，高考命题呈现出以下几个特点：1、考查题型较为全面。选择、填空、解答均有所考查，一般一小一大，分值占10%，其中解答题难度较大；2、重点考查等差数列、等比数列的定义，通项公式和前n项和公式，注重在知识的交汇处命题，如数列与函数、方程、不等式等知识的综合应用。注意对观察、转化与化归能力及数学归纳法的考查；

4、3、预计今后高考仍将以等差数列、等比数列的定义，通项公式和前n项和公式为考点，同时与其他章节结合命题将是数列解答题的命题方向。第一节 等差数列与等比数列【高考目标定位】一、数列的概念与简单表示法1、考纲点击（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；（2）了解数列是自变量为正整数的一类函数。2、热点提示（1）已知数列的通项公式或递推关系，求数列的各项；（2）以数列的前几项为背景，考查“归纳推理”思想。二、等差数列及其前n项和1、考纲点击（1）理解等差数列的概念；（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应

5、的问题；（4）了解等差数列与一次函数的关系。2、热点提示（1）以考查通项公式、前n项和公式为主，同时考查“方程思想”；（2）以选择题、填空题的形式考查等差数列的性质；（3）数列与函数交汇是解答题综合考查的热点。三、等比数列及其前n项和1、考纲点击（1）理解等比数列的概念；（2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；（3）能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；（4）了解等比数列与指数函数的关系。2、热点提示（1）以定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定；（2）以考查通项公式、前n项和公式为主，同时考查等差数列、等比数列的综合应用；3、以选择、填空的形式考查等比数

6、列的性质。【考纲知识梳理】一、数列的概念与简单表示法1、数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。2、数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列其中递减数列常数列按其他标准分类有界数列存在正数M，使摆动数列的符号正负相间，如1，-1，1，-1，3、数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法。注：数列可以看作一个函数，其定义域是正整数集（或它的有限子集1，2，3，n）,可表示为。4、数列的通项公式如果数列的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列

7、的通项公式。注：数列的通项公式不唯一，如数列-1，1，-1，1，通项公式可以为或，有的数列没有通项公式。二、等差数列及其前n项和1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用d表示，其符号语言为：2、等差数列的通项公式若等差数列的首项为，公差是d,则其通项公式为。注：已知等差数列的第m项为，公差为d，则其第n项可以表示为：。3、等差中项如果三个数a,A,b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且有。4、等差数列的前n项和公式三、等比数列及其前n项和等比数列的相关概念相关名词等比数列的有关概念及公式

8、定义通项公式前n项和公式等比中项设a、b为任意两个同号的实数，则a、b的等比中项为：注：是a,b,c成等比的必要不充分条件，当b=0,a,c至少有一个为零时，成立，但a,b,c不成等比，反之，若a,b,c成等比，则必有【热点难点精析】一、数列的概念与简单表示法（一）由数列的前几项求数列的通项公式相关链接数列的通项公式（1）据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察观察分析，抓住以下几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等，并对此进行归纳、联想。（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着从特殊到一般的思想，由不完全归纳提出的

9、结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用或来调整。（3）观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列等）转换而使问题得到解决。例题解析例写出下列各数列的一个通项公式：思路解析：由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一。解答：（1）各项是从4开始的偶数，所以；（2）每一项分子比分母少1，而分母可写成21，22，23，24，25，故所求数列的一个通项公式可定为；（3）带有正负号，故每项中必须含有一个这个因式，而后去掉负号，观察可得。将第二

10、项-1写成。分母可化为3，5，7，9，11，13，为正奇数，而分子可化为12+1，22+1，32+1，42+1，52+1，62+1，故其一个通项公式可写为：；（4）将数列各项写为分母都是3，而分子分别是10-1，102-1，103-1，104-1，所以（二）由递推公式求数列通项公式相关链接1、由和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用化归法、累加法、累乘法等。（1）构造等比数列，已知首项，递推关系为，求数列的通项公式的关键是将转化为的形式，其中a的值可由待定系数法确定，即（2）已知且可以用累加法，即，。所有等式左右两边分别相加，得即：（3）已知且可以用累乘法，即，所有等式左右两边分别相乘

11、，得注：并不是每一个数列都有通项公式，如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上也可以不止一个。2、由与的关系求由求时，要分n=1和n2两种情况讨论，然后验证两种情况可否用统一的解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示为。例题解析例根据下列条件，确定数列的通项公式。思路解析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化，而后利用与的关系求解。解答：（1）（2）累乘可得，故（3）注：已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想的方法，以及累加=（-）+（-）+（-）+；累乘：=等方法。（二）数列的单调性及其应

12、用例(12分)已知数列的前n项和为,并且满足（1）求的通项公式；（2）令，问是否存在正整数m,对一切正整数n，总有，若存在，求m的值；若不存在，说明理由。思路解析：（1）(2)由已知得的表达式求最大项得结论.解答:(1)令n=1,(2) 注:(1)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用作差法，作商法，结合函数图象等方法。（2）求最大项，则满足；若求最小项，则满足。二、等差数列及其前n项和（一）等差数列的判定相关链接1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，第二种是利用等差中项，即。2、解选择题、填空题时，亦可用

13、通项或前n项和直接判断。（1）通项法：若数列的通项公式为n的一次函数，即=An+B,则是等差数列；（2）前n项和法：若数列的前n项和是的形式（A，B是常数），则是等差数列。注：若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可。例题解析例已知数列的前n项和为，且满足（1）求证：是等差数列；（2）求的表达式。思路解析：（1）与的关系结论；（2）由的关系式的关系式解答：（1）等式两边同除以得-+2=0，即-=2（n2）.是以=2为首项，以2为公差的等差数列。（2）由（1）知=+（n-1）d=2+(n-1)2=2n,=,当n2时，=2=。又，不适合上式，故。（二）等差数列的基本运算相

14、关链接1、等差数列的通项公式=+（n-1）d及前n项和公式，共涉及五个量，d,n, ,知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题；2、数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。注：因为，故数列是等差数列。例题解析例已知数列的首项=3，通项，且，成等差数列。求：（1）的值；（2）数列的前n项和的公式。思路解析：（1）由=3与，成等差数列列出方程组即可求出；（2）通过利用条件分成两个可求和的数列分别求和。解答：（1）由=3得又，得由联立得。（2）由（1）得，（三）等差数列的性质相关链接1、等差数列的单调性：等差数列

15、公差为d，若d0,则数列递增；若d0,d0,且满足，前n项和最大；（2）若a10，且满足，前n项和最小；（3）除上面方法外，还可将的前n项和的最值问题看作关于n的二次函数最值问题，利用二次函数的图象或配方法求解，注意。例题解析例1在等差数列中，其前n项和为。（1）求的最小值，并求出取最小值时n的值；（2）求。思路解析：（1）可由已知条件，求出a1,d,利用求解，亦可用利用二次函数求最值；（2）将前面是负值的项转化为正值求解即可。解答：（1）设等差数列的首项为，公差为，令，当n=20或21时，最小且最小值为-630.（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数。例2已知数列是

16、等差数列。（1）若（2）若思路解析：（1）由通项公式或前n项和公式得和的关系，通过解方程组求得和，进而求得和。（2）利用等差数列数列的性质可使问题简化。解答：设首项为，公差为，（1）方法一：由，得解得方法二：由，（2）方法一：由已知可得解得方法二：是等差数列，可设则-得方法三： =注：（1）灵活运用性质，求等差数列中的量，可以简化运算，提高解题速度及准确性；（2）在应用性质：若则时，首先要找到项数和相等的条件，然后根据需要求解，解决此类问题要有整体代换的意识。（四）等差数列的综合应用例已知是正数组成的数列，且点（）在函数y=x2+1的图象上。求数列的通项公式；若数列满足b1=1,bn+1=bn

17、+,求证：。思路解析：（1）利用点在函数图象上代入即可得与的关系，易求得；（2）可先求，利用累加法或迭代法求得，而后作差比较即可，也可不用求而直接利用已知关系式迭代求证即可。解答：方法一：（1）由已知得，即，又，所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列。故=1+（n-1）1=n.由（1）知：= n，从而，。方法二：（1）同方法一；（2）因为，所以注：数列志函数、不等式、解析几何结合命题是高考考查的热点，以函数为载体，求解数列问题时要看清它们之间的关系，灵活应用它们是关键，在证明数列中不等问题时，要弄清题意，灵活采用证明不等式的常用方法，本例采用了求差比较法，也是高考常考方法之一，可适当变形以解

18、决它们。三、等比数列及其前n项和（一）等比数列的判定相关链接等比数列的判定方法有：（1）定义法：若，则是等比数列；（2）中项公式法：若数列中，则数列是等比数列；（3）通项公式法：若数列通项公式可写成，则数列是等比数列；（4）前n项和公式法：若数列的前n项和，则数列是等比数列；注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可。例题解析例在数列中，。证明数列是等比数列；求数列的前n项和；证明不等式对任意皆成立。思路解析：证明一个数列是等比数列常用定义法，即，对于本例（1）适当变形即可求

19、证，证明不等问题常用作差法证明。解答：（1）由题设得。又所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列。（2）由（1）可知，于是数列的通项公式为。所以数列的前n项和。（3）对任意的，所以不等式对任意皆成立。（二）等比数列的的运算相关链接等比数列基本量的运算是等比数列中一类基本问题，数列中有五个量，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）所求问题可迎刃而解。解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程。注：在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目用求和公式。例题解析例设数列的前n项和为，且

20、=2-2；数列为等差数列，且。求数列的通项公式；若，为数列的前n项和，求证：。思路解析：（1）得结论；（2）放缩得结论。解答：（1）由=2-2，得，又=，所以=，由=2-2得-得，是以为首项，以为公比的等比数列，所以=。（2）为等差数列，从而-得=（三）等比数列性质的应用相关链接在等比数列中常用的性质主要有：（1）对于任意的正整数若，则特别地，若；（2）对于任意正整数有；（3）若数列是等比数列，则也是等比数列，若是等比数列，则也是等比数列；（4）数列仍成等比数列；（5）数列是等比数列（q-1）；（6）等比数列的单调性注：等比数列中所有奇数项的符号相同，所有偶数项的符号也相同。例题解析例已知等比

21、数列前n项的和为2，其后2n的和为12，求再往后3n项的和。思路解析：由已知条件，根据前n项和公式列出关于首项和公比及n的两个方程，应能解出和关于n的表达式，这样可能较繁琐又不便于求出结果，若采用整体处理的思想，问题就会变得简单，也可采用等比数列的性质问题简化。解答：方法一：利用等比数列的性质。由已知，.注意到也成等比数列,其公比为,于是,问题转化为已知:方法二:利用求和公式.如果公比q=1,则由于,可知,与条件不符,q1,由求和公式,得又式除以式得，又再往后3n项的和为式除以式得。【感悟高考真题】1.（2010浙江理数）（3）设为等比数列的前项和，则（A）11 （B）5 （C） （D）解析：

22、解析：通过，设公比为，将该式转化为，解得=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题2.（2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列中，那么（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【答案】C 【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.【解析】3. （2010辽宁理数）（6）设an是有正数组成的等比数列，为其前n项和。已知a2a4=1, ,则（A） (B) (C) (D) 【答案】B【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。【解析】由a2a4=1可得，因此，又因为，联力两式有，所以

23、q=,所以，故选B。4. （2010辽宁文数）（14）设为等差数列的前项和，若，则 。解析：填15. ,解得，5. （2010天津文数）（15）设an是等比数列，公比，Sn为an的前n项和。记设为数列的最大项，则= 。【答案】4【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。因为8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。【温馨提示】本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.6. （2010上海文数）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题

24、满分6分，第2个小题满分8分。已知数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列；(2)求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.解析：(1) 当n1时，a114；当n2时，anSnSn15an5an11，所以，又a11150，所以数列an1是等比数列；(2) 由(1)知：，得，从而(nN*)；由Sn1Sn，得，最小正整数n157. （2010江西理数）22. （本小题满分14分）证明以下命题：对任一正整a,都存在整数b,c(bc)，使得成等差数列。存在无穷多个互不相似的三角形，其边长为正整数且成等差数列。【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 （1）考虑到结构要证，；类

25、似勾股数进行拼凑。证明：考虑到结构特征，取特值满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。证明：当成等差数列，则，分解得：选取关于n的一个多项式，做两种途径的分解对比目标式，构造，由第一问结论得，等差数列成立，考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。任取正整数m，n，若m，相似：则三边对应成比例， 由比例的性质得：，与约定不同的值矛盾，故互不相似。【考点精题精练】一、选择题1、设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且，则下列结论错误的是（C）A.d0B.a70C.S9S5D.S6与S7均为Sn的最大值解析：由S5S6得a1+a2+a3+a50，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S7S8，得a8S5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0，由题设a7=0，a80，显然C选项是错误的。2、（2）等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ C ）A.130 B.170 C.210 D.260解析：由题意得方程组，视m为已知数，解得，3、（2010届辽宁锦州高三期末考试（理）公差不为零的等差数列中，数列是等比数列，且 （D）（A）2 （B）4（C）8（D）164、（20