物体周期性运动和机械波概述

1、物体周期性运动和机械波概述6.1 简谐振动的动力学特征6.2 简谐振动的特征量6.3 简谐振动的合成6.4 机械波的形成和传播6.5 平面简谐波6.6 波的能量与能流6.7 波的衍射、反射和折射6.8 波的干涉和驻波 振动是自然界中最普遍的一种运动形式。物体在平衡位置附近做往复的周期性运动，称为机械振动。电流、电压、电场强度和磁场强度围绕某一平衡值做周期性变化，称为电磁振动或电磁振荡。 一般地说，任何一个物理量的值不断地经过极大值和极小值而变化的现象，称为振动。 虽然各种振动的具体物理机制可能不同，但是作为振动这种运动的形式，它们却具有共同的特征。 本章主要讨论简谐振动和振动的合成，并简要介绍

2、阻尼振动、受迫振动和共振现象以及非线性振动。简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移 x（或角位移）随时间 t 按余弦（或正弦）规律变化的振动。 简谐振动的运动学定义x 可以是位移、电流、场强、温度6.1 简谐振动的动力学特征一、弹簧振子模型弹簧振子：弹簧 物体系统 平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置轻弹簧 质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体 可看作质点 简谐振动的判据受力微分方程令 其通解为：二、简谐振动的运动学方程简谐振动的微分方程 简谐振动的运动学方程令 三 谐振动振子的速度和振动加速度toTavxT/4T/4由图可见：x t+o以弹簧振子为例谐振动系统的能量 = 系

3、统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数四 简谐振动的能量动能势能情况同动能机械能简谐振动系统机械能守恒由起始能量求振幅xtTEoEtEk(1/2)kA2Ep实际振动系统 系统沿x轴振动，势能函数为Ep(x)，势能曲线存在极小值，该位置就是系统的稳定平衡位置。在该位置（取x=0）附近将势能函数作级数展开微振动系统一般可以当作谐振动处理6.2 简谐振动的特征量一 振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。若已知初始条件 由初始条件和系统本身情况决定频率 ：单位时间内振动的次数。二 周期 、频率、圆频率对弹簧振子角频

4、率 固有周期、固有频率、固有角频率周期T ：物体完成一次全振动所需时间。0 是 t =0 时刻的位相 初位相三 位相与相位差和位相与振幅的确定 位相，决定谐振动物体的运动状态 由初始条件和系统本身情况决定位相差 两振动位相之差。当 =2k , k = 0,1,2, 两振动步调相同,称同相当 = (2k+1) , k=0,1,2. 两振动步调相反,称反相2 超前于1 或 1 滞后于 2 位相差反映了两个振动不同程度的参差错落 四、简谐振动的旋转矢量表示法0t = 0 x t+0t = tox旋转矢量 确定 和研究振动合成很方便xv0 00 x0A/2例如，已知x参考圆(circle of ref

5、erence)0AA 0t+ox tt = 0 x = A cos( t + ) 则由左图给出用旋转矢量表示相位关系同相反相例：已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。解：设振动方程为故振动方程为一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动，其频率仍为合振动:6.3 简谐振动的合成用旋转矢量法讨论如 A1=A2 , 则 A=0两分振动相互加强两分振动相互减弱讨论若两分振动同相：若两分振动反相:合振动不是简谐振动式中随t 缓变随t 快变合振动可看作振幅缓变的准简谐振动二、两个同方向不同频率简谐振动的合成 拍分振动合振动当21时,拍 合振动忽强忽弱的现象拍频 单位时间内强

6、弱变化的次数xtx2tx1t*1、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成质点合振动的轨迹方程：分振动三 相互垂直简谐振动的合成合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线质点离开平衡位置的位移讨论合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线质点离开平衡位置的位移合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。 = 5/4 = 3/2 = 7/4 = 0 = = /2 = 3/4Q = /4P .时，逆时针方向转动。时，顺时针方向转动。*2、垂直方向不同频率 可看作两频率相等而 随t 缓慢变化，合运动

7、轨迹将按上页图依次缓慢变化。yxA1A2o-A2-A1两分振动频率相差很小为整数比合成轨迹为稳定的闭合曲线 李萨如图例如右图：x y2 13 13 2x = 0：y = 0 y x0波动是一切微观粒子的属性，与微观粒子对应的波称为物质波。各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，有类似的波动方程。机械振动在介质中的传播称为机械波。声波、水波电磁振动在真空或介质中的传播称为电磁波。前 言一、机械波形成 如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力，则称为弹性波。 弹性力：有正弹性力（压、张弹性力）和切弹性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切弹性力。1、有作机械振动的物体，即波源2、有连续的

8、介质6.4 机械波的形成和传播二、机械波传播过程的特征横波 振动方向与传播方向垂直，如电磁波纵波振动方向与传播方向相同，如声波。 横波在介质中传播时，介质中产生切变，只能在固体中传播。 纵波在介质中传播时，介质中产生容变，能在固体、液体、气体中传播。结论：机械波向外传播的是 波源（及各质点）的振动状态和能量。三、机械波的几何描述波场 - 波传播到的空间。波面 - 波场中同一时刻振动位相相同的点的面。波前（波阵面） - 某时刻波源最初的振动状态 传到的波面。波线（波射线）- 代表波的传播方向的射线。各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直.沿波线方向各质点的振动相位依次落后。波线波面波面波线平面波球

9、面波波面波线波线波面简谐波波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。*物体的弹性形变弹性形变：物体在一定限度的外力作用下形状和体积发生改变，当外力撤去后，物体的形状和体积能完全恢复原状的形变。(1)长变在弹性限度范围内，应力与应变成正比(2) 切变相对面发生相对滑移在弹性限度范围内，应力与应变成正比(3) 体变在弹性限度范围内，压强的改变与体应变的大小成正比振动状态（即位相）在单位时间内传播的距离称为波速 ，也称之相速。1、波速 u固体中纵波波速为G、 E为介质的切变弹性模量和杨氏弹性模量，为介质的密度固体中横波波速为在同一种固体介质中，横波波速比纵波波

10、速小些。四、机械波的特征量波源以及介质中各质点的振动都是谐振动。任何复杂的波都可以看成若干个简谐波叠加而成。T为弦中张力，为弦的线密度在弦中传播的横波波速为:在液体和气体只能传播纵波，其波速为：B为介质的体变模量，为密度理想气体纵波声速: 为气体的摩尔热容比，Mmol为气体的摩尔质量，T为热力学温度，R为气体的普适常数，为气体的密度3、波长2、波的周期和频率波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点所需 的时间，用T 表示。波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目，用 表示。同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离。介质决定波源决定一、平面简谐波的波动方程平面简谐波：波面是平面。(

11、可当作一维简谐波研究） 一平面简谐波在理想介质中沿 x 轴正向传播，x 轴即为某一波线设原点振动表达式：y 表示该处质点偏离平衡位置的位移设 p 为 x 轴上的任一点，其坐标为 x6.5 平面简谐波p 点的振动方程？p点的振动方程：t 时刻 p 处质点的振动状态重复时刻O处质点的振动状态O点振动状态传到 p 点需时间 上式即沿 x 轴正向传播的平面简谐波的波动方程沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动为p点的振动落后原点振动的时间沿x轴负向传播的平面简谐波的波动方程若波源（原点）振动初位相不为零或波矢，表示在2 长度内所具有的完整波的数目二、波动方程的物理意义1、如果给定 x，如 x

12、= x0 x0 处质点的振动初相为为 x0 处质点落后于原点的位相 即 x0 处质点的振动方程则：y = y ( t )若 x0 = 则 x0 处质点落后于原点的位相为 2 是波在空间上的周期性的标志2、如果给定 t，如 t = t0 ，则：y = y ( x )表示给定时刻波线上各质点在同一时刻的位移分布，即给定了t0 时刻的波形同一波线上任意两点的振动位相差xyOx1x2同一质点在相邻两时刻的振动位相差T 是波在时间上的周期性的标志3、如 x, t 均变化，y = y ( x,t )包含了不同时刻的波形t 时刻的波形方程t + t 时刻的波形方程t 时刻，x 处的某个振动状态经过 t ，传

13、播了 x 的距离在时间 t内整个波形沿波的传播方向平移了一段距离 x行波*三、平面波的波动微分方程这个微分方程叫平面波（不限于平面简谐波）波动方程求 t 的二阶偏导数求 x 的二阶偏导数它反映了一切平面波的共同特征一、波的能量和能量密度 波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。有一平面简谐波质量为在 x 处取一体积元该质元的振动速度 该质元的动能为6.6 波的能量与能流该质元的弹性势能为该质元的总能量为：1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小 相等而且相位相同，同时达到最大，同时等于零说明：2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。能量密度 单位体积介质中所具有的

14、波的能量。平均能量密度 一个周期内能量密度的平均值。能流：单位时间内通过 介质中某一截面的能量。二、波的能流和能流密度平均能流：在一个周期内能流的平均值。能流密度（波强）：通过垂直于波动传播方向的 单位面积的平均能流。三、波的吸收 波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。波通过厚度为dx 的介质，其振幅衰减量为 - dA波强的衰减规律：实验给出：一、惠更斯原理惠更斯原理： 介质中波阵面（波前）上的各点，都可以看作为发射子波的波源，其后一时刻这些子波的包迹便是新的波阵面。6.7 波的衍射、反射和折射平面波t+t时刻波面ut波传播方向t时刻波面球面波

15、 tt + tt时刻波面 t+t时刻波面波的传播方向如你家在大山后,听广播和看电视哪个更容易? (若广播台、电视台都在山前侧)二、用惠更斯原理推导折射定律和反射定律 波的折射和折射定律 用作图法求出折射波的传播方向i1-入射角, i2-折射角CAi1i2n1t1t2BEn2 需要注意的是，波在被反射或折射后，由于波的传播方向发生了改变，波的传播方向与振动方向的夹角会随之改变，于是纵波可能变成横波或部分纵波部分横波。反之亦然。一、波的叠加 各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）不便，与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振动则是各列波在该处激起的振动的合成。

16、波传播的独立性原理或波的叠加原理：说明： 振动的叠加仅发生在单一质点上 波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上能分辨不同的声音正是这个原因6.8 波的干涉和驻波 两列波若频率相同、振动方向相同、在相遇点的位相相同或位相差恒定，则合成波场中会出现某些点的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵消），这种现象称为波的干涉。相干条件具有恒定的相位差振动方向相同两波源具有相同的频率满足相干条件的波源称为相干波源。二、波的干涉传播到p点引起的振动分别为： 在p点的振动为同方向同频率振动的合成。设有两个相干波源S1和S2发出的简谐波在空间p点相遇。 合成振动为：其中：由于波的强度正比于振幅，所以合振动的强度为： 对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。 其中：相长干涉的条件：相消干涉的条件：当两相干波源为同相波源时，相干条件写为相长干涉相消干涉 称为波程差波的非相干叠加1、驻波方程 驻波是两列振幅、频率相同，但传播方向相反的简谐波的叠加。三、驻波函数不满足它不是行波 它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的不同而不同。 驻波的特点：不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。1、波腹与